数学（理）卷·2019届江西省南昌市第二中学高二下学期第一次月考（2018-04）

数学（理）卷·2019届江西省南昌市第二中学高二下学期第一次月考（2018-04）

南昌二中2017－2018学年度下学期第一次月考 高二数学（理）试卷 命题人：曹开文 审题人：刘蓓蓓 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）‎ ‎1．给出下列四个命题，其中正确的是 ( )‎ ‎①空间四点共面，则其中必有三点共线； ‎ ‎②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；‎ ‎③空间四点中存在三点共线，则此四点共面； ‎ ‎④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④‎ ‎2．在空间中，下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A．若直线//平面，直线//，则//； ‎ B．若//平面，//平面，，则//‎ ‎ C．若，，则//； ‎ D．若//，，则//平面 ‎3．.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是(　 )‎ A．　　　　　　　　 B．‎ C． D．‎ ‎4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　 )‎ A．6 ‎ B．8 ‎ C．2＋3 ‎ D．2＋2 ‎5．已知、是异面直线，平面，平面，则、的位置关系是 （ ）‎ A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 ‎6． 关于直线与平面，有以下四个命题：‎ ‎①若且，则；②若且，则；‎ ‎③若且，则；④若且，则；‎ 其中真命题的序号是 （ )‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎7．在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．如图,各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段 ‎、上的动点,且 平面,则这样的有 ( )‎ ‎ A. 1条 B. 2条 ‎ ‎ C. 3条 D. 无数条 ‎9．从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60,则二面角B－PA－C的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图 中的值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C. ‎ D．[‎ ‎11．已知正三棱锥P—ABC的高PO的长为，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥P—ABC的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，在三棱锥中，，，‎ 则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）‎ ‎1‎ ‎1‎ 俯视图 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 正视图 ‎1‎ 侧视图 ‎13．一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为————‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎·E F·‎ ‎·P 14． 如图：长方体ABCD—ABCD中，AB=3，AD=AA=2，‎ E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P为CD 上动点，当EF⊥CP时，PC= ． ‎ A B C E F ‎15．在直三棱柱ABC－ABC中，AB＝BC＝，BB＝2，ABC＝90，E、F分别为AA、CB的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ‎ ‎16．如右图，三棱柱中，E,F分别是AB、‎ AC的中点，平面将三棱柱分成体积为两 部分，则 ：＝ .‎ 三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）如图四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的三等分点。‎ ‎（Ⅰ）证明：AN∥平面MBD；[]‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥N—MBD的体积。‎ ‎18．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。‎ ‎（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；‎ A B C E D M ‎·‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 左视图 俯视图 直观图 ‎（Ⅱ）求点C到平面MAB的距离。‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。‎ ‎（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）在线段AN上是否存在一点S，使ES⊥平面AMN？‎ 若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1　　中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，‎ 侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1 ．[]‎ ‎（１）求证： GE∥侧面AA1B1B ；‎ ‎（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求直线与曲线C围成的区域面积； ‎ ‎（Ⅱ）点在直线上，点，过点作曲线C的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数， ．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间．‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，方程在区间上只有一个零点．[]‎ ‎（Ⅲ）设，其中若恒成立，求的取值范围．‎ ‎[]‎ ‎南昌二中2017－2018学年度下学期第一次月考 高二数学（理）参考答案 一．选择题：ADCBA DCDCC CA 二．填空题 ‎ 13．； 14．2 15．； 16．‎ 三．解答题 A B C E D M ‎·‎ N H ‎17．（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC的中点，∵M、N为侧棱 PC上的三等分点，∴CM=MN，∴OM∥AN，∵OM平面MBD，‎ AN平面MBD，∴AN∥平面MBD；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎18．解：由题意知，EA平面ABC，DC平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，‎ ABAC，且AC=2。‎ ‎（Ⅰ）∵EA平面ABC，∴EAAB，又ABAC，∴AB平面ACDE ‎∴四棱锥B—ACDE的高，又梯形ACDE的面积S=6‎ ‎∴，表面积S=‎ ‎.‎ A B C D M N E S x y z ‎（Ⅱ）M到AB的距离MN=，设C到面MAB的距离为，由得：‎ ‎,∴‎ ‎19．解法一：（Ⅰ）如图，以D为坐标原点，建立空间坐标系D—xyz 依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，M(0,0,1)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，‎ E(,1,0).∴,‎ ‎∴‎ ‎∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为 ‎（Ⅱ）假设在AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵‎ 设，又 ‎∴‎ ‎∵⊥平面AMN，∴‎ 此时，∴，所以线段AN上存在点S，且当时，ES⊥平面AMN。‎ 解法二：（Ⅰ）延长AD至F，使DF=EB，连EF,MF,BD，∵EB//DF，∴四边形DBEF为平行四边形，∴DB∥=EF，又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB,‎ 又∵MD=NB，∴四边形MNEF为平行四边形。∴MF∥=BD，∴四边形MNEF为平行四边形。MF∥=NE，∴∠AMF为异面直线AM与NE所成的角或它的补角。‎ A B C D M N E F R S P ‎∴‎ 在△AMF中，,‎ ‎∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为 ‎（Ⅱ）存在点S为AN的中点，使ES⊥平面AMN，‎ 取AN的中点S，连结ES，再取AM,DC的中点R,P，连结RS,RP,EP。则EP∥=BD，RS∥=MN 又MD∥=NB，∴MNBD为平行四边形。‎ ‎∴MN∥=BD，∴EP∥=RS，∴SE∥=RP，∵，S为AN中点 ‎∴SE⊥AN，同理RP⊥AM，∴ES⊥AM，又AMAN=A，∴ES⊥平面AMN ‎∵AN=,S为AN的中点，∴。‎ ‎∴线段AN上存在点S， 使ES⊥平面AMN。此时。‎ 20． ‎（解法一：(1)延长B1E交BC于F, ∵ΔB1EC1∽ΔFEB,　BE＝ＥＣ1∴ＢＦ＝Ｂ1Ｃ1＝ＢＣ，‎ 从而Ｆ为ＢＣ的中点．∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且＝＝，‎ ‎∴GE∥AB1，又GE侧面AA1B1B， ∴GE∥侧面AA1B1B　　　　　　‎ ‎（２）在侧面AA1B1B内，过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2，‎ ‎∴∠B1ＢＨ＝６０0，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝．在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B1Ｔ．由三垂线定理有B1Ｔ⊥ＡＦ，又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ，∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角． ∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３０0，　∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝，‎ 在ＲｔΔB1ＨＴ中，ｔａｎ∠B1ＴＨ＝＝.‎ 解法二：向量法（略）‎ ‎21：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为，由题意可得， ，化简得， 联立方程组，解得或，所以直线 与曲线C围成的区域面积为； ‎ ‎（Ⅱ）设、，则由题意可得，切线的方程为，切线的方程为，再设点，从而有，所以可得出直线AB的方程为，即． ‎ 联立方程组，得，又，所以有，‎ 可得， ，‎ ‎ ，‎ 所以常数．‎ ‎22解析（）由已知，令，则，令，‎ 则，故的单调减区间为，单调增区间为．‎ ‎（）设， ，则，‎ 由（）可知在，上单调递增，且， ，‎ ‎∴在上只有个零点，故当，方程在区间上只有一个零点．‎ ‎（）， ， 的定义域是，‎ ‎，令，则，‎ 由（）得，在区间上只有一个零点，且是增函数，不妨设的零点是，‎ 则当时， ，即， 单调递减．‎ 当时， ，即， 单调递增，‎ ‎∴函数的最小值为 ， ‎ 由，得，故，‎ 根据题意，即，解得，故实数的取值范围是．‎