2012泉州1月份质检文数试卷

2012泉州1月份质检文数试卷

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 ‎2012年泉州市普通中学高中毕业班质量检测 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集，集合,，则图中阴影部分表示的集合为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，则复数的实部等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．命题“，都有”的否定是 A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 ‎4. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且，则等于 A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ ‎5．已知函数的图象是连续不断的，的对应值如下表：‎ 在下列区间内，函数一定有零点的是 A． B． C． D． ‎ ‎6．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7.设向量，，下列向量与不可能垂直的是 A． B. C． D．‎ ‎8．圆与直线相切于点，则直线的方程为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是 ‎10．设实数、满足约束条件，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎11．设函数是定义在上的以为周期的偶函数，若，则实数的取值范围是 A． B. C. D. ‎ ‎12. 计算机内部都以二进制字符表示信息．若，其中或（）, ‎ 则称是长度为的字节；设，，用表示满足（）的的个数．如，，则．‎ 现给出以下三个命题：‎ ① 若，，则；‎ ② 对于给定的长度为的字节，满足的长度为的字节共有个；‎ ③ 对于任意的长度都为的字节，，，恒有．‎ 则其中真命题的序号是 A．① B．①② C．①③ D．②③ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直方图，样本中重量超过克的产品数量应为 件．‎ ‎14.在棱长为的正方体 内等可能地任取一点，则该点到顶点的距离小于的概率是 ．‎ ‎15.定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算__ _．‎ ‎16．定义域为的函数，若存在常数，使得对于任意，当时，总有，则称点为函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心的横坐标为，则可求得：‎ ‎ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知、两个盒子中分别装有标记为，，，的大小相同的四个小球，甲从盒中等可能地取出个球，乙从盒中等可能地取出个球．‎ ‎（Ⅰ）用有序数对表示事件“甲抽到标号为的小球，乙抽到标号为的小球”，试写出所有可能的事件；‎ ‎ （Ⅱ）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此规则是否公平？请说明理由．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知向量，向量，，.‎ ‎（Ⅰ）试用“五点作图法”作出函数的图象；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ) 若,求的取值范围；‎ ‎（ⅱ）若方程的两根分别为，试求的值.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在三棱柱中，面，，、分别在线段和上，，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若为线段的中点，求三棱锥的体积；‎ ‎(Ⅲ)试探究满足平面的点的位置，并给出证明.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，设、分别是圆和椭圆的弦，端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的短轴长为，离心率为，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦过定点，试探究弦 是否也必过某个定点.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列的首项，前项和为，数列是公比为的等比数列．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列中是否存在不同的三项,使得为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图象与轴相切于点.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与过坐标原点的直线相切于点，且，‎ 证明：；（注：是自然对数的底）‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线的倾斜角为，试证明：.‎ 答题卡第18题应附图：‎ y x O 答题卡第19题应附图：‎ 答题卡第20题应附图：‎ ‎2012年泉州市普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B ‎ ‎7．B 8．A 9．B 10．A 11．B 12．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.‎ ‎ 13．12 14． 15．1 16．.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.本小题主要考查古典概型等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合的思想.满分12分.‎ 解：（I）．甲、乙二人抽到的小球的所有情况为：‎ ‎、、、、、、、、、、、、、、、，共16种不同情况．………………………………6分 ‎（Ⅱ）．甲抽到的小球的标号比乙大，有、、、、、，共6种情况，………………………………8分 故甲胜的概率，乙获胜的概率为．………………………………11分 因为，所以此游戏不公平．………………………………12分 ‎18.本小题主要考查平面向量、三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）.……………3分 令，则，.列表：‎ ‎………………………………5分 描点画图，即得函数的图象，如图所示.‎ ‎ ‎ ‎………………………………7分 ‎（Ⅱ）（ⅰ)即，‎ ‎∵，∴，且 ‎ ‎∴的取值范围为. ……………9分 ‎（ⅱ）∵是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∵当时，函数的图象关于直线对称，……10分 ‎∴， ‎ ‎∴.………………………………12分 ‎19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥的体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化的思想.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)证明： 面，面，. ………………………1分 又 ‎………………………………3分 又………………………………4分 ‎(Ⅱ)解：∵∥，由(Ⅰ)知 ‎∴，………………………………6分 ‎ ………………………………8分 ‎(Ⅲ)解法一：当时，平面.………………………………9分 理由如下：在平面内过作交于，连结.‎ ‎，，‎ 又且，‎ 且，‎ 四边形为平行四边形，，……………………………11分 又面，面，‎ 平面.………………………………12分 解法二：当时，平面.………………………………9分 理由如下： 在平面内过作交于，连结.‎ ‎，面，面，‎ 平面.‎ ‎，，‎ ‎，又面，面，‎ 平面.‎ 又面，面，，‎ 平面平面.………………………………11分 面，平面.………………………………12分 ‎20.本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）由题意得，，，…………………2分 解得：所以椭圆的方程为：……………4分 ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆的方程为：………5分 设、、、， ‎ ‎∵点在圆上， ∴，………①‎ ‎∵点在椭圆上， ∴，………②‎ 联立方程①②解得：，同理解得： ‎ ‎∴、.…………………………8分 ‎∵弦过定点，‎ ‎∴且，即，‎ 化简得……………10分 ‎ 直线的方程为：，即，‎ ‎ 由得直线的方程为：， ‎ ‎∴弦必过定点.……………12分 解法二：由（Ⅰ）得：圆的方程为：………5分 设、，‎ ‎∵圆上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆，‎ 又端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，‎ ‎∴、.…………………………8分 由弦过定点，猜想弦过定点. …………9分 ‎∵弦过定点，∴且，即……① …………10分 ‎,,‎ 由①得，‎ ‎∴弦必过定点.……………12分 ‎21.本小题主要考查等差数列、等比数列、反证法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合的思想.满分12分.‎ 解：（I）．，．‎ 因为数列是公比为的等比数列，所以．‎ 故．………………………………3分 当时，，‎ 当时，经检验，也成立，‎ 故．………………………………6分 ‎（Ⅱ）．数列中不存在不同的三项,使得为等差数列．……………………7分 理由如下：假设中存在等差数列，不失一般性，不妨设，即 ‎，‎ 则，………………………………9分 由（I），．‎ 故，即，即， ‎ 由知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．………………………………11分 故假设错误，从而数列中不存在不同的三项,使得为等差数列．………12分 ‎22.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想.满分14分.‎ 解：（Ⅰ）由，得. ……1分 ‎∵函数的图象与轴相切于点，‎ ‎∴，……① 且…….② ……2分 联立①②得，. ……3分 ‎∴. ……4分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎∵函数的图象与直线相切于点，直线过坐标原点, ‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 又∵在直线上，∴实数必为方程…….③的解. ……5分 令， 则，‎ 解得，得.‎ ‎∴函数在递减，在递增. ……7分 ‎∵,且函数在递减，‎ ‎∴是方程在区间内的唯一一个解,‎ 又∵,∴不合题意,即. ……8分 ‎∵，，函数在递增，‎ ‎∴ 必有. ……9分 ‎（Ⅲ）∵，∴，‎ 由③得， ……10分 ‎∵，且，∴.‎ ‎∵，∴， ……11分 ‎∵，，……13分 ‎∴，‎ ‎∵在单调递增，∴. ……14分