宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数学

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宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数学 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相 符。‎ ‎4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 参考公式：锥体的体积公式 ，其中是锥体的底面面积，是高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1． 已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2． 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的值为 ▲ ． ‎ ‎3． 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h的汽车中 抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速 ‎（第4题）‎ 不低于80km/h的汽车有 ▲ 辆．‎ ‎4． 如图是一个算法的伪代码，运行后输出S的值为 ▲ ．‎ 频率 组距 速度km/h ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.04‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎（第3题）‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎5．春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人 依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为 ▲ ．‎ ‎6. 设圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，则该圆锥的体积为　 ▲ 　cm3．‎ ‎7. 已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦 点重合，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 ▲ . ‎ ‎8. 已知数列前n项和为，，，则的值为 ▲ ．‎ ‎9． 已知正实数满足，则的最小值为 ▲ ． ‎ ‎10. 已知点，若圆上存在点M满足,则实数的取值范围是 ▲ . ‎ ‎11. 对于函数，如果是偶函数，且其图象上的任意一点都在平面区域 A B C D E P ‎(第12题)‎ 内，则称该函数为“V型函数”.下列函数：①；②； ‎ ‎③； ④.其中是“V型函数”的是 ▲ .（将符合条件 的函数序号都填在横线上）.‎ ‎12. 如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，‎ 以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于 点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上 的一点，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎13. 已知函数，设点…，‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎，…都在函数图象上，且满足，，‎ 则的值为 ▲ . ‎ ‎14. 已知函数 如果函数恰有2个不同的零 点，那么实数k的取值范围是 ▲ . ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 已知三角形ABC的面积是S，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，当三角形ABC的周长取得最大值时，求三角形ABC的面积S．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ A B C D S M N ‎(第16题)‎ 在四棱锥中，，底面ABCD是菱形．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点是棱AD的中点，点在棱SA上，‎ 且，求证：．‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图所示，桌面上方有一盏电灯，到桌面的距离可以变化，桌面上有一点到点的距离为（为常数），设，灯对点的照度与成正比、与长的平方成反比，且比例系数为正常数.‎ ‎（1）求灯对点的照度关于的函数关系式；‎ B ‎ θ ‎ A ‎ O ‎ a ‎ ‎(第17题)‎ ‎（2）问电灯与点多远时，可使得灯对点的照度最大？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ x y P A B D C l1‎ l2‎ O ‎(第18题)‎ 如图所示，椭圆的离心率为，右准线方程为，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点，与椭圆交于不同两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）证明：直线与直线交于点；‎ ‎（3）求线段长的取值范围.‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的都有.数列各项都是正整数，，，且数列是等比数列．‎ ‎ （1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）求满足的最小正整数．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求函数的定义域和单调区间；‎ ‎（2）当且时，若直线与函数的图象相切，求的值；‎ ‎（3）当时，若存在，使得，求的取值范围.‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ 本卷共4小题，每小题10分，共计40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．（本小题满分10分）‎ 已知矩阵的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，‎ 求直线：在矩阵对应的变换作用下得到的曲线的方程.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线的方程为．‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程和椭圆C的普通方程；‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎(2)若直线与椭圆C有公共点，求的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ A1‎ D C B1‎ ‎(第23题)‎ C1‎ B A 如图，在直三棱柱中，，，点在棱 上，且．‎ ‎ （1）求线段的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 已知，若对于任意，都有．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ 高三数学参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．； 2．； 3．20； 4．13； 5.; ‎ ‎6.； 7.； 8. 1013 9．； 10. ；‎ ‎11. ③④； 12. ； 13.； 14. . ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15解：（1）由得， ‎ 所以. ………… …………………………2分 在三角形ABC中得，………………4分 所以,， ……………………………7分 ‎（2）在三角形ABC中，，‎ 所以，‎ 即，…………………………10分 高三数学 第21页（共4页）‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以，‎ 所以周长的最大值为，此时，‎ 所以面积.……………………………14分 解法二：在三角形ABC中得 所以周长 ‎ ……………………………10分 由得，当时，周长取得最大值为 此时 所以面积.……………………………14分 ‎16解：（1）因为，，‎ A B C D S M N ‎(第16题)‎ 所以， ………………………………2分 又因为底面ABCD是菱形，得，‎ 由SA，AC都在面SAC内，且，‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ 所以，………………………………5分 由，得；…………7分 ‎（2）由底面ABCD是菱形，得 所以………………9分 又因为，‎ 所以 ，‎ 所以…，………………………11分 因为，‎ 所以.………………………………14分 ‎17解：（1）因为，………………3分 又，‎ 所以，…………6分 ‎（2）令，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 由得，………………………10分 ‎,则单调递增；‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎,则单调递减，…………………12分 取得最大值，此时，‎ 时，取得最大值，‎ 答：当电灯与点的距离为时，可使得灯对点的照度最大. ……14分 ‎18解：（1）由 ‎ 得，，‎ 所以椭圆的方程.………………………………………………4分 ‎（2）设直线，，‎ 联立，消得， ‎ ‎， …………………………………6分 又， ‎ ‎，………8分 ‎，故点三点共线，即直线经过点 同理可得直线经过点，‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ 所以直线与直线交于点. …………………………10分 ‎（3）由（2）可知 ‎…………………………12分 令 又由得所以 ‎ ……………………………………14分 在上恒成立 在上单调递增 ‎， ，‎ ‎. …………………………………………………16分 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎19解：（1）当时，，即，‎ ‎ ，‎ 由得； …………………………………………………1分 当时，由得，‎ 所以两式相减得， ‎ 所以， …………………………3分 由知 所以 所以数列是首项，公差的等差数列. …………………5分 ‎(2)由（1）得， ‎ 由 ‎ 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列 所以， …………………………………………………7分 又，‎ 所以，即.…………………………10分 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎（3）由，‎ 所以，……………………………………12分 设，‎ 则，‎ 令得，‎ 由得，‎ 所以，………………14分 又因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎，‎ 所以当时，，‎ 所以满足的最小正整数为5. …………………………16分 ‎20解（1）由得的定义域， ‎ ‎ ，………………………………………………2分 由得，‎ 由得，‎ 所以的单调增区间为，‎ 单调减区间为和；………………………………………4分 ‎（2）设与相切于点，‎ ‎，且，‎ ‎，化简得，………………………6分 ‎，‎ 令，‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎，‎ 由得，由得，‎ 在单调递增，在单调递减，………8分 ‎，‎ 在上有唯一解，‎ ‎.………………………………………10分 ‎（3）令，依题意知，‎ 的值域为，………12分 ①当，即时，，‎ 单调递增，‎ ‎，‎ 解得，不合题意，‎ ②当，即时，，‎ 单调递减，‎ ‎，‎ 解得，满足题意，………………………………………14分 高三数学 第21页（共4页）‎ ③当时，存在唯一满足，‎ 时，；时，，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ ‎，‎ 解得 ，‎ 这与矛盾，不合题意，‎ 综上所述，的取值范围为.………………………………………16分 数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准 ‎21解：由得，‎ 所以，， ……………………………2分 设是直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下得到点，且在曲线上，‎ 由得，…………………………4分 高三数学 第21页（共4页）‎ 所以， …………………………6分 代入曲线的方程得，‎ 所以曲线的方程. ……………………………10分 ‎22解:(1)，得，…………………2分 由，‎ 得. ……………………………………5分 ‎(2)由消去得.‎ 因为直线与椭圆C有公共点,‎ 所以,即．……………7分 所以的取值范围是，‎ 所以的取值范围是.………10分 ‎23解：在直三棱柱中，由则以为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则,‎ A1‎ D C B1‎ ‎(第23题)‎ C1‎ B A ‎ 所以,‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎ 设，则,‎ ‎（1）由得,‎ 所以,‎ 所以=．……………………………………………3分 ‎（2）由，取的一个法向量为,‎ 设的一个法向量,‎ 由（1）知 又因为,‎ 所以，取，‎ 则,…………………6分 所以,‎ 所以．‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………10分 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎24解（1）由,‎ ‎ 所以,………………………………………………………………2分 ‎（2）,‎ 所以，‎ 令，，‎ 首先考虑＋＝＋ ‎＝ ‎＝＝，‎ 则＝(＋)，‎ 因此－＝(－)． ………………………………6分 故 ‎ ‎ ‎＝ (－＋－＋…＋－)‎ ‎＝ (－)＝(－1)‎ 高三数学 第21页（共4页）‎ ‎＝． ………………………………………………………………………10分 高三数学 第21页（共4页）‎