数学文卷·2019届安徽省滁州市定远县民族中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届安徽省滁州市定远县民族中学高二上学期期末考试（2018-01）

绝密★启用前 定远民族中学2017-2018学年度上学期期末考试卷 高二（文科）数学 注意事项： ‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1.一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A. B. C. D.‎ ‎2.给岀四个命题： (1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； (2)为两个不同平面，直线，直线，且，,则a∥b; (3为两个不同平面，直线，，则; (4)为两个不同平面，直线，,则. 其中正确的是（ ） A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）‎ ‎3.α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（　　） A.α⊥β，且a⊥β B.α∩β=b，且a∥b C.a∥b，且b∥α D.α∥β，且a⊂β ‎4.如图,在直三棱柱中， ，过的中点作平面的垂线，交平面于，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是　(　　)‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎6.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则　(　　)‎ A. BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 B. EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C. HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 D. EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形 ‎7.如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ） ‎ A. 30° B. 60°‎ C. 90° D. 120°‎ ‎8.如图所示，在长方体中， ， ， ， ， 为线段上的动点，且， ， 为线段上的动点，且， 为棱上的动点，则四棱锥的体积（ ）‎ A. 不是定值，最大为 B. 不是定值，最小为 C. 是定值，等于 D. 是定值，等于 ‎9.如图，在矩形中，点分别在边上， ,沿直线将翻折成，使二面角为直角，点分别在线段上，沿直线将四边形向上折起，使与重合，则线段（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎10.在正方体中， 是棱的中点， 是侧面内的动点，且平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（ ）‎ A. 点的轨迹是一条线段 B. 与不可能平行 C. 与是异面直线 D. ‎ ‎11.在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.如图， 是用斜二测画法画出的直观图，其中， ， ， 轴，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于    ． ‎ ‎14.如图为某几何体的三视图，则其体积为__________．‎ ‎15.已知在直角梯形中， ， ， ，将直角梯形沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为__________．‎ ‎16.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状；‎ ‎②水面四边形的面积不改变；‎ ‎③棱始终与水面平行；‎ ‎④当时， 是定值．‎ 其中正确说法是__________．‎ 三、解答题 ‎17.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R分别在棱AB、BB1、CC1上，且PD、QR相交于点O．求证：O、B、C三点共线． ‎ ‎18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，点D是BC的中点，BC=BB1 ． （1）求证：A1C∥平面AB1‎ D； （2）M为棱CC1的中点，试证明：MB⊥AB1 ． ‎ ‎19.在三棱柱中，侧棱底面，，，。‎ ‎（Ⅰ）若为线段上一点，且，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若分别是线段的中点，设平面将三棱柱分割成左、右两部分，记它们的体积分别为和，求。‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面是矩形， 底面， ， ，点是的中点，点在边上移动.‎ ‎（1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）证明：无论点在边的何处，都有.‎ ‎21.如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面， ‎ ‎,，点是线段上靠近点的三等分点.‎ ‎（Ⅰ）求证: ；‎ ‎（Ⅱ）若是边长为的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎22.在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ， ，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面．‎ ‎（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小．‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1.A2.C3.D4.C5.B6.B7.B8.D9.A10.B11.B12.C ‎13.2‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.①③④‎ ‎17.证明：∵QR∩PD=O，∴O∈QR且O∈PD， ∴O∈面BCC1B1且O∈面ABCD， 又面ABCD∩面BCC1B1=BC ∴O∈BC， ∴O、B、C三点共线． ‎ ‎18.证明：（1）连接A1B交AB1于E， 由题意知E是A1B中点， ∵点D是BC的中点，∴在△A1CB中ED是三角形的中位线， ∴ED∥A1C， ∵ED⊂平面AB1D，A1C不包含于平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D． （2）∵BC=BB1 ， ∴A1B1BA是菱形，∴AB1⊥A1B， 连结EM，AM，B1M，BM，A1M， ∵E是AB1中点，M是CC1中点， ∴EM⊥平面A1B1BA，∴A1C⊥EM， ∴A1C⊥平面A1‎ BM， ∵MB⊂平面A1BM，∴MB⊥AB1 ． ‎ ‎ 19．‎ ‎（Ⅰ）证明：如图所示，在平面中，过点作，与相交于点。因为，所以，所以，， ，四点在同一平面内。平面平面。由，得。，所以。，，所以，，所以，所以，即。又由底面，得。‎ 又且平面，平面。所以平面。‎ ‎（Ⅱ）解：如下图所示，当，分别是，中点时，直线与棱相交于的中点。连接，。则三角形就是平面截三棱柱的截面。‎ 截面右侧为四棱锥。所以。又三棱柱的体积。‎ 所以。‎ ‎20.‎ 证明：（1）当点为的中点时， 与平面平行，‎ 在中， 、分别为、的中点， .‎ 又平面，而平面， 平面.‎ ‎（2）证明： 平面， 平面，‎ ‎.又， ，‎ ‎， 平面，‎ 平面，又平面， .‎ 又，点是的中点， .‎ 又， 、平面，‎ 平面.‎ 平面， .‎ ‎21.（Ⅰ）作于……①,连接，‎ ‎∵平面平面，且 ，∴面. ‎ ‎∵，∴,∴，‎ 又∵，∴……②‎ 又,由①②，得面，又面，∴. ‎ ‎（Ⅱ）∵是边长为的等边三角形，‎ ‎∴如图建立空间坐标系， ‎ ‎ 设面的法向量为，‎ ‎，令，得 ‎， ‎ ‎，设与面所成角为 ‎∴直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎22.‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵面面，面面， 面，‎ ‎∴面．‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵面面，面 ， 面，‎ ‎∴面，以为原点， 所在的直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 不妨设，由，‎ ‎∴， ， ．‎ ‎∴， ．‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 令，则， ．‎ ‎∴．‎ 取平面的一个法向量，‎ ‎∴．‎ ‎∴面和面的二面角（锐角）的大小为．‎ ‎（Ⅲ）在棱上存在一点使得面，此时．‎ 理由如下： 为的中点，‎ 取的中点，连接， ， ，‎ 则， ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴面面，‎ ‎∵面，‎ ‎∴面．‎