黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

哈师大附中2017级高三10月月考数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若集合，且，则集合可能是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出A＝（0，2），根据A∪B＝A可得出B⊆A，依次看选项中哪个集合是A的子集即可．‎ ‎【详解】A＝（0，2）；‎ ‎∵A∪B＝A；‎ ‎∴B⊆A；‎ 选项中，只有{1}⊆A．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于基础题．‎ ‎2.已知复数满足，则复数的共轭复数对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则首先求得z的值，然后求解其共轭复数即可确定其所在的象限.‎ ‎【详解】由题意可得：，则，‎ 故，其所对的点位于第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所在象限的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.下列判断正确的是（ ）‎ A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数的最小值为2‎ C. 当时，命题“若，则”为真命题 D. 命题“，”的否定是“，”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解对数不等式之后即可考查选项A是否正确，利用换元法可确定选项B中函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D是否正确.‎ ‎【详解】逐一考查所给命题的真假：‎ 对于选项A：由可得，即，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；‎ 对于选项B：令，‎ 由对勾函数的性质可知函数单调递增，其最小值为，则题中的命题为假命题；‎ 对于选项C：考查其逆否命题：“若，则”，‎ 很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；‎ 对于选项D：命题“，”的否定是“，”，则题中的命题为假命题；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.‎ ‎4.若正项等比数列满足，则的值是 A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，解得，代入即可得结果.‎ 详解：设正项等比数列的公比为，‎ ‎， ‎ 所以，解得，‎ ‎，解得，‎ 则，故选D.‎ 点睛：本题主要考查数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考查推理能力与计算能力以及基本概念与基本公式的掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎5.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质和函数值的取值情况进行分析、判断可得结论．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数为偶函数，‎ 故函数的图象关于轴对称，故可排除A，C；‎ 又当，，所以，故可排除B．‎ 从而可得选项D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解．‎ ‎6.已知为的外接圆的圆心，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得的值即可确定的值.‎ ‎【详解】由题意可得：，且，‎ ‎，‎ ‎，∴∠AOB=90°.‎ 如图所示，建立平面直角坐标系，设，，‎ 由可知：，则：‎ ‎，，，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.已知，则，，，中值最大的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给选项中最大的数即可.‎ ‎【详解】由于，故，且.‎ 由指数函数的单调性可得：，，‎ 由幂函数的单调性可得：，‎ 综上可得，，，，中值最大的为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的乘积为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. .3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解数列的前2019项的乘积即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，故：‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 据此可得数列是周期为的周期数列，‎ 注意到，且：，‎ 故数列的前2019项的乘积为：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9.将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得函数的解析式为，函数的一个单调递减区间是，若函数在区间上为减函数，则，只要，∴，则的最大值为，故选B．‎ 点睛：已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间是单调区间的子集；‎ ‎10.已知数列满足，，则的最小值是（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知的数列递推式变形，可得，然后用累加法求出数列通项公式，‎ ‎【详解】解：由，得 ‎，‎ 即，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当时，上式成立，‎ 要取最小值，则要最大，‎ 当时，取最小值，最小值为1.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，以及有关最值的求解，考查学生的计算能力，是中档题.‎ ‎11.已知数列的前项和为，若，且，，则 的值为（ ）‎ A. －8 B. 6 C. －5 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，可得，通过构造等比数列，求得的通项公式，进而可以求出的值.‎ ‎【详解】对于，‎ 当时有，即 ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得：‎ ‎，‎ 由可得 即从第二项起是等比数列，‎ 所以，‎ 即，‎ 则，故，‎ 由可得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查递推式求通项公式，关键是要通过观察递推式构造出等比数列，利用等比数列来解决问题，本题难度较大，对学生的计算能力要求较高.‎ ‎12.设，分别是函数和的零点（其中），则 的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又由函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解.‎ ‎【详解】由，分别是函数和的零点（其中）可知是方程的解；是方程的解；‎ 则，分别为函数的图象与函数和函数的图象交点的横坐标； 设交点分别为 由，知；‎ 又因为和以及的图像均关于直线，‎ 所以两交点一定关于对称，‎ 由于点，关于直线的对称点坐标为，‎ 所以，‎ 有，，‎ 则，由于，故等号不能成立，‎ 的取值范围.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数，关键是要将零点问题转化为两个函数的图像的交点问题，充分利用函数的对称性，得到交点的对称性，难度较大.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 ‎【详解】详解：‎ 所以，‎ 所以，曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．‎ ‎14.平面向量与的夹角为，，，则______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先计算，再利用向量模的公式求.‎ 详解：由题得，‎ 所以 故答案为：.‎ 点睛：(1)本题主要考查向量模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)若，则.‎ ‎15.已知定义在上的奇函数满足，，为数列的前项和，且，_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中条件可推出函数是以为周期的周期函数，由可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出、的值，再利用周期性和奇函数的性质求出的值.‎ ‎【详解】对任意的，，当时，，得；‎ 当时，由得，‎ 上述两式相减得，整理得，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，.‎ ‎，，由于函数为奇函数，‎ ‎，，‎ 则函数是以为周期的周期函数，，‎ ‎，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性求值，同时也考查了利用前项和公式求数列的通项，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16.已知点为的重心，且，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，由于G为重心，利用重心性质-重心分中线的比为2：1，可得：‎ ‎，由于，‎ ‎，可得勾股定理，再根据条件利用正弦定理，将条件转化为边的关系，再利用正弦定理代入即可求出。‎ ‎【详解】解：如图：‎ 因为G为重心，‎ ‎，‎ 由于，‎ ‎，‎ 化，‎ 所以根据条件，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，其中对于重心的性质要牢记，重心分中线的比为2:1,本题是中档题，计算要仔细。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)首先利用绝对值三角不等式求得的最小值，据此得到关于a的不等式即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 或或，‎ 所以，或或，‎ 不等式解集为.‎ ‎（Ⅱ）即若存在，使得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎18.已知，.记 ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）画出函数在区间上的图象.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间是;对称轴方程是，；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)首先将函数的解析式整理为的形式，然后讨论函数的单调递增区间和函数的对称轴方程即可；‎ ‎(Ⅱ)首先利用函数的解析式列表，然后绘制函数图像即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 令，，‎ 则：，，‎ 据此可得的单调递增区间是.‎ 令，可得对称轴方程为，.‎ ‎（Ⅱ）列表可得函数值如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ 据此绘制函数图像如图所示：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，三角函数图象的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.若数列的首项，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记等差数列的前项和为，，，设，求证：数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用题中所给的递推关系式构造等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)由题意首先求得数列的首项和公差，据此即可确定数列的通项公式，据此确定数列的通项公式，最后错位相减求得其前n项和即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵数列的首项，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∴是首项为3，公比为3的等比数列，‎ ‎∴，.‎ ‎（Ⅱ）记等差数列的公差为，则：‎ ‎，，‎ 解得，，所以，，‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（1）－（2）得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查由递推关系式求解数列通项公式方法，错位相减求和的方法，数列中不等式的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为求角A，对，‎ 用两角和的正弦公式或倍角公式变形，所得结果继续用辅助角公式变形，即可求出的大小；‎ ‎（2）利用正弦定理，将周长转为为关于B的函数，然后根据B的范围求周长的取值范围。‎ ‎【详解】（1）∵，∴①，‎ ‎∵，‎ ‎∴②，‎ 又③，④，‎ 将①②③④代入已知，得，‎ 得，‎ 即，又，‎ ‎∴，‎ 即.‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 的周长的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，针对式子的变形，要带有目的性，求什么留什么，永远保证变量越少越好。‎ ‎21.已知正项数列满足，记数列前项和，，其中.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先令，求出，然后利用可得到间的关系，分类讨论求数列的通项公式；‎ ‎（2）用裂项求和求数列的前项和为，然后将恒成立问题转化为最值问题，即可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】（1），令，解得（舍）或 ‎，，两式作差得，‎ ‎，所以 当时，是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ 此时，‎ 当时，，此时（舍去）‎ 数列是递增数列，所以；‎ ‎（2）‎ ‎，，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的前 项和，其中将恒成立问题转化为最值问题来研究，是中档题。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）．然后对分类讨论求得函数的单调区间． （2），即为，令，则由已知在上有，从而求导确定函数的最值，从而由最值确定的取值范围．‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎①当时，，，‎ 在区间上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎②当时，，‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎③当时，，故的单调递增区间是.‎ ‎④当时，，在区间和上，；区间上 ‎，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎（2）设，‎ 由已知，在上有.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 增 ‎0‎ 减 所以，‎ 由（1）可知，‎ ‎①当时，在上单调递增，‎ 故，‎ 所以，，解得，故.‎ ‎②当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故.‎ 由可知，，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题的处理方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．‎ ‎ ‎