2018-2019学年江西省鹰潭市高二上学期期末质量检测数学（文）试题 解析版
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江西省鹰潭市 2018-2019 学年高二上学期期末质量检测数学
（文)试题
评卷人 得分
一、单选题
1．命题“若 a>b，则 a＋1>b”的逆否命题是( )
A．若 a＋1≤b，则 a>b B．若 a＋1
b
C．若 a＋1≤b，则 a≤b D．若 a＋11”是“x0 对一切 x∈R 恒成立；q：函数 f(x)
＝－(4－2a)x 在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题 是真命题, 是假命题，求实数
a 的取值范围。
【答案】
【解析】
试题分析：解决本题只需分别求出命题 和命题 为真时 的取值范围，然后将两者的交
集去掉，即将使两者同时为真的 值去掉，剩下的部分即为所求．
试题解析：当命题 为真时，命题中一元二次不等式对应方程的判别式:
,令 ；
当 命 题 为 真 时 ， 根 据 指 数 型 函 数 的 单 调 性 分 析 知 其 底 数
，
令 ，将集合 在数轴上表示如下：
由上图可知，当 时，命题 为假，命题 为真，当 时，命题 为真，命
题 为假
所以当命题 为真， 为假时，实数 a 的取值范围是 ．
考点：①命题与简易逻辑；②集合；③不等式和指数型函数；④简易逻辑与集合间
关系的内在联系．
20．某物流公司购买了一块长 AM＝90 米，宽 AN＝30 米的矩形地块 AMPN，规划建设
占地如图中矩形 ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C 在地块对角线
MN 上，B、D 分别在边 AM、AN 上，假设 AB 长度为 x 米．若规划建设的仓库是高度
与 AB 的长相同的长方体建筑，问 AB 长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空
间忽略不计)
【答案】AB 的长度为 60 米时仓库的库容最大
【解析】
【分析】
通过设 AB 的长度为 x 米，利用相似三角形可知 AD＝30 x，进而对仓库的库容 V（x）
x3+30x2（0＜x＜90）求导可知当 x＝60 时 V（x）有极大值也是最大值，代入计算即
得结论．
【详解】
因为 ，且 AM＝90，AN＝30.
所以 ND＝ ·AN＝ ，
得 AD＝AN－ND＝30-
仓库的库容 V(x)＝
＝
令 V′(x)＝ ，
得 x＝60 或 x＝0(舍去)．
当 x∈(0,60)时，V′(x)>0；
当 x∈(60,90)时，V′(x)<0.
所以当 x＝60 时，V(x)有极大值也是最大值
即 AB 的长度为 60 米时仓库的库容最大．
【点睛】
本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合能力，利用导数判断函数的单调性是解
决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．已知 M(x1，y1)是椭圆 ＝1(a>b>0)上任意一点，F 为椭圆的右焦点．
（1）若椭圆的离心率为 e，试用 e，a，x1 表示|MF|，并求|MF|的最值；
（2）已知直线 m 与圆 x2＋y2＝b2 相切，并与椭圆交于 A、B 两点，且直线 m 与圆的
切点 Q 在 y 轴右侧，若 a＝4，求△ABF 的周长．
【答案】（1）|MF|min＝a－ae（2）8
【解析】
【分析】
（1）设 F（c，0），则|MF| ，﹣a≤x1≤a，且 0＜e＜1，由此
能求出|MF|的最值．
（2）设 A(x0，y0)，B（x2，y2），(x0，x2>0)，在△OQA 中，由|AQ| ，|BQ| ，
求出|AB|+|AF|+|BF|＝2a，由此能求出△ABF 的周长．
【详解】
(1)设 F(c,0)，则|MF|＝ ，
又 ，则
所以|MF|＝
＝ ＝ ，
又－a≤x1≤a 且 00)，连接 OQ，OA，
在△OQA 中，|AQ|2＝ ＋ －b2，
又 ＝ ，所以|AQ|2＝
则|AQ|＝ ，同理|BQ|＝ ，
所以|AB|＋|AF|＋|BF|＝2a－ ＋ x0＋ x2＝2a，
又 a＝4，所以所求周长为 8.
【点睛】
本题考查线段最值的求法，考查三角形周长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆简单
性质的灵活运用．
22．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（3）证明： .
【答案】（1）函数 的递增区间为 ，函数 的递减区间为 ；（2）
；（3）见解析.
【解析】
试题分析：（1）对函数 求导得 ，对 进行分类讨论，即可得到函数的单
调区间；（2）由（1）可得， 时， 在 上是增函数，而 ， 不
成立，故 ，由（1）可得 ，即可求出 的取值范围；（3）由（2）知，
当 时，有 在 恒成立，即 ，进而换元可得 ，所
以 ，即可得证.
试题解析：（1）定义域为 ，
若 ， ， 在 上单调递增
若 ， ，
所以，当 时， ，当 时，
综上：若 ， 在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减
（2）由（1）知， 时， 不可能成立；
若 ， 恒成立 ， ，得
综上， .
（3）由（2）知，当 时，有 在 上恒成立，即
令 ，得 ，即
，得证.
点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题
时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；
（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的
特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.
