数学卷·2018届辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2．命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知x＞1，x+≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）‎ ‎4．已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎5．点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．29 B．31 C．33 D．36‎ ‎7．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎8．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知数列{an}中，an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（　　）‎ A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎11．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎12．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为　　．‎ ‎15．若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=　　．‎ ‎16．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎18．（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎19．在△ABC中，，，且△ABC的周长为．‎ ‎（1）求点A的轨迹方程C；‎ ‎（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．‎ ‎20．已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为．‎ ‎（1）求该双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为，求l的方程．‎ ‎21．已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．‎ ‎22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞‎ ‎0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求M的方程 ‎（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．‎ ‎【解答】解：的渐近线为y=，‎ ‎∵y=与3x±2y=0重合，‎ ‎∴a=2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：当a=0时，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，满足条件．‎ 当a≠0时，则满足，‎ 即，‎ 即0＜a＜1时，‎ 综上，不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R时，0≤a＜1，‎ 则p是q成立必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知x＞1，x+≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】问题转化为m≤（x+）min即可，根据基本不等式的性质求出（x+）的最小值即可．‎ ‎【解答】解：若x＞1，x+≥m恒成立，‎ 只需m≤（x+）min即可，‎ 而x+=（x﹣1）++1≥2+1=3，此时x=2取等号，‎ 故m≤3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，知a3=33，a4=31，利用等差数列的通项公式列出方程组，解得a1=37，d=﹣2，再由等差数列的前n项和公式得到Sn=﹣n2+36n，然后利用配方法能求出Sn达到最大值时n的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列，a1+a3+a5=99，a2+a4+a6=93，‎ ‎∴a3=33，a4=31，‎ ‎∴，‎ 解得a1=37，d=﹣2，‎ ‎∴‎ ‎=﹣n2+38n ‎=﹣（n﹣19）2+361，‎ ‎∴n=19时，Sn达到最大值S19=361．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由椭圆C： +=1，得a2=16，b2=12，‎ ‎∴，‎ ‎|PF|=，‎ ‎|AF|=a+c=6，‎ ‎∴△AFP的面积为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．29 B．31 C．33 D．36‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，‎ ‎∴a4=2．‎ ‎∵a4与2a7的等差中项为，‎ ‎∴a4 +2a7 =，‎ 故有a7 =．‎ ‎∴q3==，‎ ‎∴q=，‎ ‎∴a1==16．‎ ‎∴S5==31．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据不等式f（x）＞0的解集得出x的取值范围，再由f（﹣x）＜0得出﹣x的取值范围，从而求出不等式f（﹣x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解；由题意，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），‎ 所以f（x）＜0的解是：x＞3或x＜﹣1，‎ 于是由f（﹣x）＜0得：﹣x＞3或﹣x＜﹣1，‎ 解得x＜﹣3或x＞1；‎ 所以不等式f（﹣x）＜0的解集是 ‎（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．‎ ‎【解答】解：双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为 y=x，‎ 由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，‎ 则有=2，即有b=2a，‎ c==a，‎ 则离心率为e==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知数列{an}中，an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（　　）‎ A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an﹣1（n≥2），且b1=a2，可得q=an﹣an﹣1=﹣4，b1=a2=﹣3．再利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an﹣1（n≥2），且b1=a2，‎ ‎∴q=an﹣an﹣1=﹣4n+5﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3．‎ ‎∴bn=﹣3×（﹣4）n﹣1．‎ ‎∴|bn|=3×4n﹣1，‎ 则|b1|+|b2|+…+|bn|=3×（1+4+42+…+4n﹣1）=3×=4n﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（　　）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，‎ 根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，‎ ‎∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，‎ ‎∴=，‎ ‎∵y12=4x1，‎ ‎∴解得x1=或x1=4，‎ ‎∵|AF|＞2，‎ ‎∴x1=4，‎ ‎∴A点到原点的距离为=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．‎ ‎【解答】解：由题意作出其平面区域，‎ 由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，‎ 将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，‎ z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，‎ 则﹣a，‎ 则a，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的焦点在x轴上，设左焦点为F1，根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．则2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，由椭圆的离心率e===，由α∈[，]，根据正弦函数的图象及性质，求得椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率的最大值．‎ ‎【解答】解：已知椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，‎ 椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，‎ 则：连接AF，AF1，AF，BF 所以：四边形AFF1B为长方形．‎ 根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，‎ ‎∠ABF=α，则：∠AF1F=α．‎ ‎∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，‎ 由椭圆的离心率e===，‎ 由α∈[，]，‎ α+∈[，]，‎ sin（α+）∈[，1]，‎ sin（α+）∈[，]，‎ ‎∈[，]，‎ ‎∴e∈[，]，‎ 故椭圆离心率的最大值．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，所以p：．‎ 由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+‎ ‎1，即q：a≤x≤a+1，‎ 要使p是q的充分不必要条件，则，解得 所以a的取值范围是[0，]，‎ ‎ 故答案为：[0，]．‎ ‎　‎ ‎14．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=1且y=1时，z最大值=a+b=2．由此再利用基本不等式求最值，可得的最小值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABO及其内部，其中A（1，1），‎ B（，0），0为坐标原点 设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，‎ 由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（1，1）=a+b=2，‎ 因此， =（a+b）（）=（2+）‎ ‎∵a＞0且b＞0，，∴≥2，‎ 当且仅当a=b=1时，等号成立 ‎∴的最小值为：2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=　2n2+6n　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：令n=1，得=4，∴a1=16．‎ 当n≥2时，‎ ‎++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．‎ 与已知式相减，得 ‎=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，‎ ‎∴an=4（n+1）2，n=1时，a1适合an．‎ ‎∴an=4（n+1）2，‎ ‎∴=4n+4，‎ ‎∴++…+==2n2+6n．‎ 故答案为2n2+6n ‎　‎ ‎16．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　7　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆+=1可得焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a．圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1，r1=1；圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2，r2=2．利用|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．即可得出．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1可得a=5，b=4，c=3，因此焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．‎ ‎|PF1|+|PF2|=2a=10．‎ 圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（﹣3，0），r1=1；‎ 圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2．‎ ‎∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．‎ ‎∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．‎ ‎（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5‎ 解得d=﹣2，a1=9，‎ 数列{an}的通项公式为an=11﹣2n ‎（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．‎ 因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．‎ 所以n=5时，Sn取得最大值．‎ ‎　‎ ‎18．（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】（1）根据一元二次方程的根的分布可得答案．‎ ‎（2）对二次项系数进行讨论求解．‎ ‎【解答】解：方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，‎ 即，，△=b2﹣4ac＞0，‎ 可得：‎ 解得：0＜m＜1．‎ 故得实数m的取值范围是（0，1）．‎ ‎（2）（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．‎ ‎①若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3．‎ 当m=﹣1时，不合题意；当m=3时，符合题意．‎ ‎②若m2﹣2m﹣3≠0，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．‎ 则：m2﹣2m﹣3＜0，△=b2﹣4ac＜0，‎ 解得：．‎ 故得实数m的取值范围是（﹣，3）．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，，，且△ABC的周长为．‎ ‎（1）求点A的轨迹方程C；‎ ‎（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4，|BC|=4．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．则2a=8，c=2，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．‎ ‎（2）设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=2．由A，B在椭圆上，可得，两式相减，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4，|BC|=4．‎ ‎∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．‎ ‎∴点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．‎ 设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．‎ 则2a=8，c=2，b2=a2﹣c2，‎ 联立解得a=4，b=2．‎ ‎．‎ ‎（2）设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=4，y1+y2=2．∵A，B在椭圆上，∴，‎ 两式相减，得∴，‎ ‎∴，∴直线方程为x+2y﹣4=0．‎ ‎　‎ ‎20．已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为．‎ ‎（1）求该双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为2的直线l在双曲线C上截得的弦长为，求l的方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设双曲线的标准方程：（a＞0，b＞0），由c=，渐近线方程：y=±x，，由c2=a2﹣b2=5，即可求得a和b的值，求得双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设l：y=2x+m，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，即可求得l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由抛物线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程：（a＞0，b＞0），‎ 由c=，渐近线方程：y=±x，‎ ‎∴=，即，即2a2=3b2，‎ 由c2=a2﹣b2=5，解得：a2=3，b2=2，‎ ‎∴双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）设l：y=2x+m，与双曲线的交点为：M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 则，整理得：10x2+12mx+3m2+6=0，‎ 由韦达定理可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴，‎ 解得，．‎ ‎∴l的方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n，即可证明数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求出数列{}的通项，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；‎ ‎（2）解：由（1）得 ‎∴an=；‎ ‎（3）解：∵Sn=++…+‎ ‎∴2Sn=++…+‎ 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3‎ ‎∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求M的方程 ‎（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．‎ ‎（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=‎ 即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），‎ 则，，相减得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又=，‎ ‎∴，即a2=2b2．‎ 联立得，解得，‎ ‎∴M的方程为．‎ ‎（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，‎ 联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，‎ ‎∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，‎ ‎∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．‎ 设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．‎ ‎∴|CD|===．‎ 联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，‎ ‎∴交点为A（0，），B，‎ ‎∴|AB|==．‎ ‎∴S四边形ACBD===，‎ ‎∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．‎ ‎∴四边形ACBD面积的最大值为．‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日