中考数学解题指导专题15：函数关系式的建立方法探讨

中考数学解题指导专题15：函数关系式的建立方法探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 15：函数关系式的建立方法探讨 “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括： 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量 关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学 习数学的兴趣和应用意识。”这是《课标》关于模型思想的一段描述。因此，各地中考试卷都有“方程（组）、 不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题 5 和 6 已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用 进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。 结合 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（ 1）应用待 定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应 用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。 一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数 解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函 数建模问题。 确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根 据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。 这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比 例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx，y=kx+b， ky x 的形式(其中 k、b 为待定系数， 且 k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c 为待定系数)，顶点 式 y=a (x－h) 2+k(a、k、h 为待定系数)，交点式 y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据 题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。 典型例题： 例 1：（2012 江苏南通 3 分）无论 a 取什么实数，点 P(a－1，2a－3)都在直线 l 上，Q(m，n)是直线 l 上的 点，则(2m－n＋3)2 的值等于 ▲ ． 【答案】16。 【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】∵由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上， ∴令 a=0，则 P1（－1，－3）；再令 a=1，则 P2（0，－1）。 设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∴ k b 3 b 1       ，解得 k2 b 1    。 2 ∴直线 l 的解析式为：y=2x－1。 ∵Q（m，n）是直线 l 上的点，∴2m－1=n，即 2m－n=1。 ∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。 例 2：（2012 山东聊城 7 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，﹣2）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 S△BOC=2，求点 C 的坐标． 【答案】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ∵直线 AB 过点 A（1，0）、点 B（0，﹣2）， ∴ k b 0 b= 2    ，解得 k2 b= 2    。 ∴直线 AB 的解析式为 y=2x﹣2。 （2）设点 C 的坐标为（x，y）， ∵S△BOC=2，∴ 1 2 •2•x=2，解得 x=2。 ∴y=2×2﹣2=2。 ∴点 C 的坐标是（2，2）。 【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0）、点 B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成 方程组，从而得到 AB 的解析式。 （2）设点 C 的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及 S△BOC=2 求出 C 的横坐标，再代入直线 即可求出 y 的值，从而得到其坐标。 例 3：（2012 湖南岳阳 8 分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣ ﹣清洗﹣﹣灌水”中水量 y（m3）与时间 t（min）之间的函数关系式． （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量 y（m3）与时间 t（min）的函数解析式； （2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 3 【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b， ∵图象经过（0，1500），（25，1000）， ∴ b=1500 25k+b=1000    ，解得： k= 20 b=1500    。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。 清洗阶段：y=0。 灌水阶段：设解析式为：y=at+c， ∵图象经过（195，1000），（ 95，0）， ∴ 195a+c=1000 95a+c=0    ，解得： a=10 b= 950    。∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。 （2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令 y=0，即 0=﹣20t+1500，解得：t=75。 ∴排水时间为 75 分钟。 清洗时间为：95﹣75=20（分钟）， ∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为 1500 m3， ∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。 【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0 和灌水 阶段解析式即可。 （2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与 x 轴交点坐标，即可得出答案。 例 4：（2012 湖南娄底 3 分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】 A． 1y 2x B． 2y x C． 2y x D． 1y x 【答案】B。 【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】设反比例函数图象设解析式为 ky x ， 4 将点（﹣1，2）代入 ky x 得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为 2y x 。故选 B。 例 5：（2012 江苏连云港 12 分）如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF ＝2，EF＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积； (3)将△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由． 【答案】解：(1)∵四边形 OCEF 为矩形，OF＝2，EF＝3， ∴点 C 的坐标为(0，3)，点 E 的坐标为(2，3)． 把 x＝0，y＝3；x＝2，y＝3 分别代入 y＝－x2＋bx＋c，得 c=3 4+2b+c=3   ，解得 b=2 c=3    。 ∴抛物线所对应的函数解析式为 y＝－x2＋2x＋3。 (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为 D(1，4)。∴△ABD 中 AB 边的高为 4。 令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD 的面积＝ 1 2 ×4×4＝8。 (3)如图，△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，CO 落在 CE 所在的直线 上，由（1）(2)可知 OA＝1，OC=3， ∵点 A 对应点 G 的坐标为(3，2)。 ∵当 x＝3 时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2， ∴点 G 不在该抛物线上。 【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的 5 性质，旋转的性质。 【分析】(1)在矩形 OCEF 中，已知 OF、EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函 数的解析式。 (2)根据(1)的函数解析式求出 A、B、D 三点的坐标，以 AB 为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可 求出△ABD 的面积。 (3)根据旋转条件求出点 A 对应点 G 的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行 判定即可。 例 6：（2012 江苏无锡 2 分）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1），且经过点 B（1，0），则抛物线的 函数关系式为 ▲ ． 【答案】y=﹣x2+4x﹣3。 【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1）， ∴可设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2+1。 又∵抛物线 y=a（x﹣2）2+1 经过点 B（1，0）， ∴（1，0）满足 y=a（x﹣2）2+1。 ∴将点 B（1，0）代入 y=a（x﹣2）2 得，0=a（1﹣2）2 即 a=﹣1。 ∴抛物线的函数关系式为 y=﹣（x﹣2）2+1，即 y=﹣x2+4x﹣3。 例 7：（2012 浙江宁波 12 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣1，0）， B（2，0），交 y 轴于 C（0，﹣2），过 A，C 画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长； （3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H． ①若 M 在 y 轴右侧，且△CHM∽△AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标； ②若⊙M 的半径为 4 55 ，求点 M 的坐标． 【答案】解：（1）∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣1，0）， B（2，0） 6 ∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（ x﹣2）， 将 x=0，y=﹣2 代入，得﹣2=a（0+1）（ 0﹣2），解得 a=1。 ∴抛物线的解析式为 y=（x+1）（ x﹣2），即 y=x2﹣x﹣2。 （2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1， 在 Rt△POC 中，由勾股定理，得 x2+22=（x+1）2， 解得，x= 3 2 ，即 OP= 。 （3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。 （i）如图 1，当 H 在点 C 下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x 轴，∴yM=﹣2。 ∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得 x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。 （ii）如图 2，当 H 在点 C 上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。 由（2）得，M′为直线 CP 与抛物线的另一交点， 设直线 CM′的解析式为 y=kx﹣2， 把 P（ ，0）的坐标代入，得 k﹣2=0，解得 k= 4 3 。 ∴y= x﹣2。 由 x﹣2=x2﹣x﹣2，解得 x1=0（舍去），x2= 7 3 。 此时 y= 4 7 102=3 3 9 。 ∴M′（ 7 10 39 ， ）。 ②在 x 轴上取一点 D，如图 3，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，使 DE= 4 55 ， 在 Rt△AOC 中，AC= 2 2 2 2AO +CO = 1 +2 = 5 。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC， ∴ AD DE=AC OC ，即 4 5AD 5= 25 ，解得 AD=2。 ∴D（1，0）或 D（﹣3，0）。 7 过点 D 作 DM∥AC，交抛物线于 M，如图 则直线 DM 的解析式为：y=﹣2x+2 或 y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2 时，即 x2+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2 时，即 x2+x﹣4=0，解得 12 1 17 1+ 17xx22   ， 。 ∴点 M 的坐标为（ 1 17 3+ 172  ， ）或（ 1+ 17 3 172   ， ）。 练习题： 1. （2012 上海市 10 分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y（万元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 8 2. （2012 山东菏泽 7 分）如图，一次函数 2y= x 23的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°．求过 B、C 两点直线的解析式． 3. （2012 甘肃兰州 4 分）近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的 焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为【 】 A． 400y= x B． 1y= 4x C． 100y= x D． 1y= 400x 4. （2012 广东佛山 8 分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2＋bx＋c 的解析式； ①y 随 x 变化的部分数值规律如下表： ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足 y=ax2＋bx＋c； ③已知函数 y=ax2＋bx＋c 的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数 y=ax2＋bx＋c 的三个性质． x －1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 9 5. （2012 山东莱芜 12 分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0，3)， 与 x 轴交于 A、B 两点． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求△ACD 的面积； (3)点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F．问是否存在点 E，使 得以 D、E、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 6. （2012 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过 坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点．分别过点 C、D(0，－2)作平行于 x 轴的直线 1l 、 2l ． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 相切； (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 的距离之和等于线段 MN 的长． 二、应用等量关系建立函数关系式：等量关系法，又可称作方程转化法，即根据等量关系列出 含有两个未知数的等式（二元方程），然后整理成函数形式。这种方法适用于“已知了关于变量之间的等 量关系（含公式）”类函数建模题。常用的寻找等等量量关关系系的的方方法法有有：：（（11））从从常常见见的的数数量量关关系系中中找找等等量量关关系系；； （（22））从从关关键键句句中中找找等等量量关关系系；；（（33））从题中反映的（或隐隐蔽蔽的的）基本数量关系确定等量关系。（有关几何问 题的等量关系我们在下面介绍） 10 典型例题： 例 1. （2012 宁夏区 10 分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶 3 元购进，5 元售出.这种“酸奶” 的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理. （1）该超市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为 x（瓶），销售酸奶的利润为 y（元）， 写出这一天销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这 20 瓶 酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？ （2）小明在社会调查活动中，了解到近 10 天当中，该超市每天购进酸奶 20 瓶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这 10 天每天销售酸奶的利润的平均数； （3）小明根据（2）中，10 天酸奶的销售情况统计，计算得出在近 10 天当中，其实每天购进 19 瓶总 获利要比每天购进 20 瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明. 【答案】解：（1）由题意知， 这一天销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式 为 y=5x－60 当 5x－60≥0 时，x≥12， ∴当天至少应售出 12 瓶酸奶超市才不亏本。 （2）在这 10天当中，利润为 25 元的有 1 天，30 元的有 2 天，35 元的有 2 天，40 元的有 5 天， ∴这 10 天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5 。 （3）小明说的有道理。理由如下： ∵在这 10 天当中，每天购进 20 瓶获利共计 355 元. 而每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式为： y=5x－57 在 10 天当中，利润为 28 元的有 1 天，33 元的有 2 天，38 元的有 7 天， 总获利为 28+33×2+38×7=360>355 。 ∴小明说的有道理。 【考点】一次函数的应用。 【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶 3 元购进，5 元售出，该超市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售，即可得出 y 与 x 的函数关系式，再利用 y 大于 0 得出 x 的取值范围。 （2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。 11 （3）利用每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式，得 出在 10 天当中，利润为 28 元的有 1 天，33 元的有 2 天，8 元的有 7 天，从而得出总利润，比较即可得出 答案。 例 2. （2012 新疆区 12 分）库尔勒某乡 A，B 两村盛产香梨，A 村有香梨 200 吨，B 村有香梨 300 吨，现 将这些香梨运到 C，D 两个冷藏仓库．已知 C 仓库可储存 240 吨，D 仓库可储存 260 吨，从 A 村运往 C， D 两处的费用分别为每吨 40 元和 45 元；从 B 村运往 C，D 两处的费用分别为每吨 25 元和 32 元．设从 A 村运往 C 仓库的香梨为 x 吨，A，B 两村运香梨往两仓库的运输费用分别为 yA 元，yB 元． （1）请填写下表，并求出 yA，yB 与 x 之间的函数关系式； C D 总计 A x 吨 200 吨 B 300 吨 总计 240 吨 260 吨 500 吨 （2）当 x 为何值时，A 村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值． 【答案】解：（1）填表如下： C D 总计 A x 吨 （200﹣x）吨 200 吨 B （240﹣x）吨 （60+x）吨 300 吨 总计 240 吨 260 吨 500 吨 由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000； yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。 （2）对于 yA=﹣5x+9000（0≤x≤200）， ∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数， ∴当 x=200 吨时，yA 最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）。 （3）设两村的运费之和为 W（0≤x≤200）， 则 W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920， ∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数， ∴当 x=0 时，W 有最小值，W 最小值为 16920 元。 ∴按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为 16920 元。 12 C D A 0 吨 200 吨 B 40 吨 240 吨 【考点】一次函数的应用。 【分析】（1）由A 村共有香梨 200 吨，从 A 村运往 C 仓库 x 吨，剩下的运往 D 仓库，故运往 D 仓库为（200 ﹣x）吨，由 A 村已经运往 C 仓库 x 吨，C 仓库可储存 240 吨，故 B 村应往 C 仓库运（240﹣x）吨，剩下 的运往 D 仓库，剩下的为 300﹣（240﹣x），化简后即可得到 B 村运往 D 仓库的吨数，填表即可。 由从 A 村运往 C，D 两处的费用分别为每吨 40 元和 45 元；从 B 村运往 C，D 两处的费用分别 为每吨 25 元和 32 元，由表格中的代数式，即可分别列出 yA，yB 与 x 之间的函数关系式。 （2）由第一问表示出的 yA 与 x 之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据 x 的系数为负数， 得到此一次函数为减函数，且 0≤x≤200，故 x 取最大 200 时，yA 有最小值，即为 A 村的运费较少时 x 的值。 （3）设两村的运费之和为 W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到 W 为 关于 x 的一次函数，且 x 的系数大于 0，可得出此一次函数为增函数，可得出 x=0 时，W 有最小值，将 x=0 代入 W 关于 x 的函数关系式中，即可求出 W 的最小值。 例 3. （2012 甘肃白银 10 分）衬衫系列大都采用国家 5.4 标准号、型（通过抽样分析取的平均值）．“号” 指人的身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围（领子大小），单位均为：厘米．下表是男士衬衫的部 分号、型和码数的对应关系： 号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 … 码数 … 38 39 40 41 42 … （1）设男士衬衫的码数为 y，净胸围为 x，试探索 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若某人的净胸围为 108 厘米，则该人应买多大码数的衬衫？ 【答案】解：（1）根据表可以得到号码每增大 1，则净胸围增加 4cm， 则 y 与 x 一定是一次函数关系，函数关系式是：x=84+4（y－38），即 1y x 174 （2）当 x=108 时， 1y 108 17=444   。 ∴若某人的净胸围为 108 厘米，则该人应买 44 码的衬衫。 【考点】一次函数的应用。 【分析】（1）根据表可以得到号码每增大 1，则净胸围增加 4cm，则 y 与 x 一定是一次函数关系，函数关 系式可以求得。 13 （2）把 x=108 代入（1）所求的函数解析式，即可求得码数。 例 4. （2012 湖北荆门 3 分）已知：多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式，则反比例函数 k1y= x  的解析式 为【 】 A． 1y= x B． 3y= x C． 或 D． 2y= x 或 2y= x 【答案】C。 【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。 【分析】∵多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式，∴k=±2。 把 k=±2 分别代入反比例函数 k1y= x  的解析式得： 1y= x 或 3y= x 。故选 C。 例 6. （2012 北京市 7 分）已知二次函数 2 3y (t 1)x 2(t 2)x 2     在 x0 和 x2 时的函数值相等。 （1） 求二次函数的解析式； （2） 若一次函数 y kx 6的图象与二次函数的图象都经过点 A ( 3 m) ， ，求 m 和 k 的值； （3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B,C（点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点 B,C 间 的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n(n 0) 个单位后得到的图象记为 C，同时将（2）中得到的直线 向上平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值范围。 14 【答案】解：（1）∵二次函数在 x0 和 x2 时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为 x1 。 ∴     2 t 2 12 t 1  ，解得 3t 2 。 ∴二次函数解析式为 2 3y x x22   1 。 （2）∵二次函数图象经过 A ( 3 m) ， 点， ∴    213m 3 3 622       × ，A（－3，－6）。 又∵一次函数 y kx 6的图象经过 A 点， ∴ 3k 6 6    ，解得 k4 。 （3）由题意可知，二次函数在点 B，C 间的部分图象的解析式为   1y x 3 x 12    ， 1 x 3 ≤ ≤ ， 则向左平移后得到的图象 C 的解析式为   y x 3 n x 1 n2     1 ， n 1 x 3 n  ≤ ≤ 。 此时一次函数 y 4x 6的图象平移后的解析式为 y 4x 6 n   。 ∵平移后的直线与图象 C 有公共点，∴两个临界的交点为 n 1 0， 与 3 n 0 ， 。 ∴当 x= n 1时，  0 4 n 1 6 n     ，即 2n 3 ； 当 x=3 n 时，  0 4 3 n 6 n    ，即 n6 。 ∴ 2 n63 ≤ ≤ 15 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。 【分析】（1）由二次函数在 x0 和 x2 时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为 0+2x =12 ，从 而由对称轴公式 bx =12a 可求得 3t 2 ，从而求得二次函数的解析式。 （2）由二次函数图象经过 A ( 3 m) ， 点代入 2 3y x x22   1 可求得 m6 ，从而由一次函数 y kx 6的图象经过 A 点，代入可求得 k4 。 （3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象 C 有公共点，求得公共点的坐标即可。 例 7. （2012 浙江嘉兴、舟山 12 分）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出 共 4800 元．设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 【答案】解：（1） 1400﹣50x。 （2）根据题意得： y=x（﹣50x+1400）﹣4800=﹣50x2+1400x﹣4800=﹣50（x﹣14）2+5000。 当 x=14 时，在范围内，y 有最大值 5000。 ∴当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 元。 （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0，即：50 （x﹣14）2+5000=0， 解得 x1=24，xz=4， ∵x=24 不合题意，舍去。 ∴当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。 【分析】（1）∵某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出， 当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆， ∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400 元， ∴公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x。 （2）根据已知得到的二次函数关系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可。 （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=50 （x-14）2+5000=0，求出 x 即可。 16 例 8. （2012 江苏常州 7 分）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多），进价为 40 元/件，以 60 元/件销售， 每天销售 20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件。现商场决定对 L 型服 装开展降价促销活动，每件降价 x 元（x 为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件 降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差） 【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润 Z=（60－40－x）（ 20＋3x）=－3x2＋40x+400 ∴当 b 40 2x= = =62a 3 3 时，函数 Z 取得最大值。 ∵x 为正整数，且 227 6 6 633<， ∴当 x=7 时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价 7 元，每天最大销售毛利润为 533 元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值，找出 x 最接近最值点的整数值即可。 例 9. （2012 江苏盐城 12 分） 知识迁移： 当 0a  且 0x  时，因为 2()ax x  ≥ 0 ,所以 2 axax≥ ,从而 ax x ≥ 2 a (当 xa 时取等号).记函数 ( 0, 0)ay x a xx    ,由上述结论可知：当 xa 时,该函数有最小值为 2 a . 直接应用：已知函数 1 ( 0)y x x与函数 2 1 ( 0)yxx, 则当 x  _________时, 12yy 取得最小值 为_________. 变形应用：已知函数 1 1( 1)y x x    与函数 2 2 ( 1) 4( 1)y x x     ,求 2 1 y y 的最小值,并指出取得该 最小值时相应的 x 的值. 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每 千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为 x 千米, 求当 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．．最低？最低是多少元？ 【答案】解：直接应用：1；2 。 17 变形应用：∵ 2 2 1 ( 1) 4 4( 1) ( 1)11 y x xxy x x       ， ∴ 2 1 y y 有最小值为 2 4 4 。 当 14x  ，即 1x  时取得该最小值。 实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为 y 元，则 20.001 1.6 360 360 3600000.001 1.6 0.001( ) 1.6xxy x xx x x        ， ∴当 360000 600x (千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本 最低， 最低成本为 0.001 2 360000 1.6 2.8   元。 例 10. （2012 湖北鄂州 10 分）某私营服装厂根据 2011 年市场分析，决定 2012 年调整服装制作方案， 准备 每周（按 120 工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共 360 件，且衬衣至少 60 件。已知每件服装的收入和 所需工时如下表： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 2 1 3 1 4 1 18 收入（百元）/件 3 2 1 设每周制作西服 x 件，休闲服 y件，衬衣 z 件。 （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有 x,y 的代数式表示衬衣的件数 z。 （2） 求 y 与 x 之间的函数关系式。 （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， 从工时数方面：由 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=120 整理得：z=480－2x－ 4 3 y。 （2）由（1）得 360－x－y=480－2x－ y，整理得：y=360－3x。 （3）由题意得总收入 s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720 由题意得 2x 60 x0 360 3x 0      ，解得 30≤x≤120。 由一次函数的性质可知，当 x=30 的时候，s 最大，即当每周生产西服 30 件，休闲服 270 件，衬衣 60 件时，总收入最高，最高总收入是 690 百元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含 x，y 的关系式表示 z。 （2）由（1）整理得：y=360－3x。 （3）由题意得 s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于 x 的一次函数。由题意得 ， 解得 30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。 练习题： 1. （2012 青海省 8 分）夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株 3.5 元，康乃馨每株 5 元．如果同一 客户所购的马蹄莲数量多于 1000 株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠 0.5 元．现某鲜花店向夏都花卉基地 采购马蹄莲 800～1200 株、康乃馨若干株，本次采购共用了 7000 元．然后再以马蹄莲每株 4.5 元、康乃馨 每株 7 元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？ （注：800～1200 株表示采购株数大于或等于 800 株，且小于或等于 1200 株；利润=销售所得金额﹣进货 所需金额） 2. （2012 四川巴中 9 分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件。如果每 19 件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元）。设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数），每个月的销售利润为 y 元， （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 3. （2012 辽宁锦州 10 分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单 价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能 高于 40 元. 设每件玩具的销售单价上涨．．了 x 元时（x．为正整数．．．．），月销售利润为 y 元. （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. （2）每件玩具的售价．．定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价．．定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 4. （2012 福建漳州 10 分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营 养食品，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表： 现要配制这种营养食品 20 千克，要求每千克至少含有 480 单位的维生素 C.设购买甲种原料 x 千克． (1)至少需要购买甲种原料多少千克? ( 2 )设 食 堂 用 于 购 买 这 两 种 原 料 的 总 费 用 为 y 元，求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ． 并 说 明 购 买 甲种原料多少千克时，总费用最少? 5. （2012 湖北十堰 10 分）某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件，需购买甲、乙两种材料．生产一件 A 产品需甲种材料 30 千克、乙种材料 10 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 20 千克．经测算，购 买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元，购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 105 元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ （2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元，且生产 B 产品不少于 28 件，问符合条件的 生产方案有哪几种？ （3）在（2）的条件下，若生产一件 A 产品需加工费 200 元，生产一件 B 产品需加工费 300 元，应选择 哪种生产方案，使生产这 50 件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 20 6. （2012 湖北恩施 8 分）小丁每天从某报社以每份 0.5 元买进报纸 200 分，然后以每份 1 元卖给读者，报 纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收入 为 y 元． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）如果每月以 30 天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元？ 7. （2012 湖南益阳 8 分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进 A、B 两种树苗共 17 棵，已知 A 种树苗每棵 80 元，B 种树苗每棵 60 元． （1）若购进 A、B 两种树苗刚好用去 1220 元，问购进 A、B 两种树苗各多少棵？ （2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费 用． 8. （2012 湖南常德 7 分）某工厂生产 A、B 两种产品共 50 件，其生产成本与利润如下表： 若该工厂计划投入资金不超过 40 万元，且希望获利超过 16 万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生 产方案获利润最大？最大利润是多少？ 9. （2012 湖南郴州 8 分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为 20 元的排球和单价为 80 元的篮球共 100 个． （1）设购买排球数为 x（个），购买两种球的总费用为 y（元），请你写出 y 与 x 的函数关系式（不要求写 出自变量的取值范围）； （2）如果购买两种球的总费用不超过 6620 元，并且篮球数不少于排球数的 3 倍，那么有哪几种购买方案？ （3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？ 10. （2012 四川内江 9 分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆 乙种花卉，搭配 A、B 两种园艺造型共 60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情 况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B 种造型的成本为 1500 元，试说明选用那种方 案成本最低？最低成本为多少元？ A 种产品 B 种产品 成本 （万元／件） 0.6 0.9 利润 （万元／件） 0.2 0.4 21 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 三、应用几何关系建立函数关系式：即在几何问题中，应用几何中的数量等量关系建立函 数关系式。常用的数量等量关系有面积公式，勾股定理，比例线段（相似三角形的相似比），锐角 三角函数，有关圆的公式等。 典型例题： 例 1. （2012 黑龙江哈尔滨 3 分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成 的另外三边总长应恰好为 24 米．要围成的菜园是如图所示的矩形 ABCD．设 BC 边的长为 x 米，AB 边的 长为 y 米，则 y 与 x 之间的函数关系式是【 】． (A)y=－2x+24(0 ， ∴此时，点 E 已在边 DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。 ∵当 22x 2  时，y= 2 2 2 2 2 5+2 2+4 = 22 2 2 < ， ∴此时，点 E 在边 AD 上，符合题意。 ∴当 时，点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上。 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。 【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE， ∴ DE DP CP CM ，即 y 4 x x1  。∴y=－x2＋4x。 （2）当点 E 与点 A 重合时，y=2，即 2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。 解得 x 2 2 。 （3）过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，则由点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上，可得△E D′A 与△D′P H 相似，由对应边成比例得得关于 x 的方程即可求解。注意检验。 练习题： 1. （2012 黑龙江哈尔滨 6 分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm) 的边与这条边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积 S(单位：cm2)随 x(单位：cm)的变化而变化． （1）请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； （2）当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大?最大面积是多少? 2. （2012 辽宁营口 12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个底 面是正方形的长方体包装盒． (1) 若折叠后长方体底面正方形的面积为 1250 2cm ，求长方体包装盒的高； 30 (2) 设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 )(cmx ，长方体的侧面积为 S )( 2cm ，求 S 与 x 的函数关系 式，并求 为何值时，S 的值最大． 3. （2012 江苏苏州 9 分）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合， 连接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（s），线段 GP 的长为 y（cm），其中 0≤x≤2.5. ⑴试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y =3 时相应 x 的值； ⑵记△DGP 的面积为 S1，△CDG 的面积为S2．试说明 S1－S2 是常数； ⑶当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长. 4. （2012 江苏苏州 8 分）如图，已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上 的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与⊙O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为  x 2 x 4<< . ⑴当 5x= 2 时，求弦 PA、PB 的长度； ⑵当 x 为何值时， PD PC 的值最大？最大值是多少？ 31 l P D C B O A 5. （2012 湖北鄂州 12 分）已知：如图一，抛物线 cbxaxy 2  与 x 轴正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 2xy  经过 A、C 两点，且 AB=2. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线 段 BC 于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位速度运动，（如图 2）；当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连 DP，若点 P 运动时间为 t 秒 ；设 OPED OPEDs   ，当 t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。 （3）在（2）的条件下，是否存在 t 的值，使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 。 6. （2012 湖北孝感 12 分）)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于点 A(－1，0)、B(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2)若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，求四边形 PMAC 的面积的最大值和此 时点 P 的坐标； (3)若点 P 是抛物线第一象限上的一个动点，过点 P 作 PQ∥AC 交 x 轴于点 Q．当点 P 的坐标为 时，四边形 PQAC 是平行四边形；当点 P 的坐标为 时，四边形 PQAC 是等腰梯 形(直接写出结果，不写求解过程)． 32 7. （2012 湖南株洲 8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=5 米，AC=12 米．M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒．运动时间为 t 秒． （1）当 t 为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当 t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值． 8. （2012 湖南衡阳 10 分）如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点 P 由点 B 出发沿 BA 方向 向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0＜t＜10 3 ）秒．解答如下问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP 的面积为S， ①求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； ②若我们规定：点 P、Q 的坐标分别为（x1，y1），（ x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量 PQ” 的坐标．当 S 取最大值时，求“向量 PQ”的坐标． 33 9. （2012 辽宁阜新 12 分）在平面直角坐标系中，二次函数 2y ax bx 2   的图象与 x 轴交于 A（－3， 0）， B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； 考生注意：下面的（3）、（4）、（ 5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的 首题评分，切记啊！ （3）在平面直角坐标系中，是否存在点 Q，使△BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写 出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； （4）点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 Q 作 QE 垂直于 x 轴，垂足为 E．是否存在点 Q，使 以点 B、Q、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； （5）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 10. （2012 贵州安顺 14 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm、6cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B，且 18a+c=0． （1）求抛物线的解析式． （2）如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向终点 B 移动，同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向终点 C 移动． ①移动开始后第 t 秒时，设△PBQ 的面积为 S，试写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围． ②当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？如 果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由． 34 四、应用分段分析建立函数关系式：对于自变量的不同的取值范围，函数有着不同的对应 法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数。它的函数关系式的建立， 就得分段分析，应用前述方法分别进行，最后归纳。 典型例题： 例 1. （2012 广东广州 12 分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过 20 吨，按每吨 1.9 元收费．如果超过 20 吨，未超过的部分按每吨 1.9 元收费，超过的部分按每吨 2.8 元收费．设某户每 月用水量为 x 吨，应收水费为 y 元． （1）分别写出每月用水量未超过 20 吨和超过 20 吨，y 与 x 间的函数关系式． （2）若该城市某户 5 月份水费平均为每吨 2.2 元，求该户 5 月份用水多少吨？ 【答案】解：（1）当 x≤20 时，y=1.9x； 当 x＞20 时，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18。 （2）∵5 月份水费平均为每吨 2.2 元，用水量如果未超过 20 吨，按每吨 1.9 元收费． ∴用水量超过了 20 吨。 ∴由 y=2.8x﹣18 得 2.8x﹣18=2.2x，解得 x=30。 答：该户 5 月份用水 30 吨。 【考点】一次函数的应用。 【分析】（1）未超过 20 吨时，水费 y=1.9×相应吨数；超过 20 吨时，水费 y=1.9×20+超过 20 吨的吨数×2.8。 （2）该户的水费超过了 20 吨，关系式为：1.9×20+超过 20 吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2。 例 2. （2012 浙江义乌 10 分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 0.5 小时后到达甲地， 游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他 们离家的路程 y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的 3 倍． （1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； 35 （2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地，求从家到乙地的路程． 【答案】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）。 在甲地游玩的时间是 1﹣0.5=0.5（h）。 （2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h） 如图，设直线 BC 解析式为 y=20x+b1， 把点 B（1，10）代入得 b1=﹣10。 ∴直线 BC 解析式为 y=20x﹣10 ①。 设直线 DE 解析式为 y=60x+b2， 把点 D（ 4 3 ，0）代入得 b2=﹣80。 ∴直线 DE 解析式为 y=60x﹣80②。 联立①②，得 x=1.75，y=25。 ∴交点 F（1.75，25）。 答：小明出发 1.75 小时（105 分钟）被妈妈追上，此时离家 25km。 （3）设从家到乙地的路程为 m km， 则点 E（x1，m），点 C（x2，m），分别代入 y=60x﹣80，y=20x﹣10， 得： 12 m+80 m+10x = x =60 20 ， 。 ∵ 21 10 1x x = =60 6 ，∴ m+10 m+80 1=20 60 6 ，解得：m=30。 ∴从家到乙地的路程为 30 km。 【考点】一次函数的图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是 1-0.5=0.5 小时。 （2）求得线段 BC 所在直线的解析式和 DE 所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得北妈妈追 上的时间。 36 （3）设从家到乙地的路程为 m km，则点 E（x1，m），点 C（x2，m）分别代入两直线方程，依妈 妈比小明早 10 分钟到达乙地列式求解。 本题另解：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为 n（km），根据妈妈比小明早到 10 分钟 列出有关 n 的方程， n n 10=20 60 60 ，解之即得 n 值。 例 3. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 10 分）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶 奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6 分钟后，张勤从家出发骑车到相距 1200 米的 药店给奶奶买药，停留 14 分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李老师家、 药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发 t（0≤t≤32） 分钟后师生二人离张勤家的距离分别为 S1、S2．S 与 t 之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： （1）李老师步行的速度为 ； （2）求 S2 与 t 之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象； （3）张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？ 【答案】解：（1）50 米/分。 （2）根据题意得： 当 0≤t≤6 时，S2=0， 当 6＜t≤12 时，S2=200t﹣1200， 当 12＜t≤26 时，S2=1200， 当 26＜t≤32 时，S2=﹣200t+6400， ∴S2 与 t 之间的函数关系式为         2 0 0 t 6 200t 1200 6 t 12 S = 1200 12 t 26 200t+6400 26 t 32 < < <          。 37 图象如图： （3）∵图中可见，李老师从家中出发步行前往张勤家家访经过（0，1600），（32，0）， ∴设 S1=kx＋b，则 32k+b=0 b=1600    ，解得 k= 50 b=1600    。 ∴S1=﹣50t+1600。 ∵图中可见，张勤与李老师相遇的时间在 6＜t≤12， ∴由 S1=S2 得，200t﹣1200=﹣50t+1600，解得 t=11.2。 ∴张勤出发 11.2 秒在途中与李老师相遇。 【考点】一次函数的应用，建立函数关系式，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。 【分析】（1）根据速度=路程÷时间，再结合图形，即可求出李老师步行的速度：1600÷32=50 米/分。 （2）根据题意分 0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32 四种情况进行讨论，即可得出 S2 与 t 之间 的函数关系式。 （3）由 S1=S2 得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出 t 的值即可。 例4. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量 的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应 将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 38 （2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x； 当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x； 当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。 ∴ 2 600x(0 x 10 x ) y 10x 700x(10 x 50 x ) 200x(x 50 x ) < >        ，且 整 ，且 整 ，且 整 为 数 为 数 为 数 。 （3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当   700x 352 10   时，利润y有最大值， 此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解。 （2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种 情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确 定销售单价。 例 5. （2012 四川攀枝花 3 分）如图，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 x 轴，D（5，4）， AD=2．若动点 E、F 同时从点 O 出发，E 点沿折线 OA→AD→DC 运动，到达 C 点时停 止；F 点沿 OC 运动，到达 C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度．设 E 运动秒 x 时，△EOF 的面积为 y（平方单位），则 y 关于 x 的函数图象大致为【 】 A． B． C． D． 【答案】 C。 【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和 直线的性质。 【分析】如图，过点 A 作 AG⊥OC 于点 G。 ∵D（5，4）， AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3。 ∴根据勾股定理，得 OA=5。 ∵点 E、F 的运动的速度都是每秒 1 个单位长度， 39 ∴点 E 运动 x 秒（x＜5）时，OE=OF=x。 ∴当点 E 在 OA 上运动时，点 F 在 OC 上运动，当点 E 在 AD 和 DC 上运动时，点 F 在点 C 停止。 （1）当点 E 在 OA 上运动，点 F 在 OC 上运动时，如图，作 EH⊥OC 于 点 H。 ∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴ EH OE AG OA ，即 EH x 45 。 ∴ 4EH x5 。∴ 2 EOF 1 1 4 2y=S OF EH x x x2 2 5 5        。 此时，y 关于 x 的函数图象是开口向上的抛物线。 故选项 A．B 选项错误。 （2）当点 E 在 AD 上运动，点 F 在点 C 停止时，△EOF 的面积不变。 ∴ EOF 1 1 1y=S OF EH OC AG 5 4 102 2 2           。 （3）当点 E 在 DC 上运动，点 F 在点 C 停止时，如图。 EF=OA＋AD＋DC﹣x =11﹣x，OC=5。 ∴  EOF 1 1 5 55y=S OC EF 5 11 x x+2 2 2 2          。 此时，y 关于 x 的函数图象是直线。 故选项 D 选项错误，选项 C 正确。故选 C。 例 6. （2012 四川内江 3 分）如图，正△ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A B C的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒）， 2y PC ,则 y 关于 x 的函数的图像 大致为【 】 A. B. C. D. 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。 【分析】如图，过点 C 作 CD 垂直 AB 于点 D，则 ∵正△ABC 的边长为 3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3。 ∴AD= 3 2 ，CD= 3 32 。 40 ①当 0≤x≤3 时，即点 P 在线段 AB 上时，AP=x，PD= 3 x2  （0≤x≤3）。 ∴ 22 2233y PC 3 + x x 3x+922               （0≤x≤3）。 ∴该函数图象在 0≤x≤3 上是开口向上的抛物线。 ②当 3＜x≤6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC=（6－x）（ 3＜x≤6）； ∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6）， ∴该函数的图象在 3＜x≤6 上是开口向上的抛物线。 综上所述，该函数为 2 2 x 3x+9 0 x 3y x 6 3 x 6<       （ ） （ ）（ ） 。符合此条件的图象为 C。故选 C。 例 7. （2012 辽宁营口 3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠B= 30 ．动点 P 从点 B 出发，沿 B-C-D 的 路线向点 D 运动．设△ABP 的面积为 y (B、P 两点重合时，△ABP 的面积可以看做 0)，点 P 运动的路程 为 x ，则 y 与 之间函数关系的图像大致为【 】 【答案】C。 【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】当点 P 在 BC 上运动时，如图， △ABP 的高 PE＝BPsiｎ∠B＝ 0 1si 30 2xxｎ ＝ ， ∴△ABP 的面积 1 1 1 1AB PE= 22 2 2 2y x x      。 当点 P 在 BC 上运动时，如图，△ABP 的高 PF＝BCsiｎ∠B＝1, ∴△ABP 的面积 11AB CF= 2 1 122y       。 41 因此，观察所给选项，只有 C 符合。故选 C。 例 8. （2012 山东烟台 3 分）如图，矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，点 Q 为 AB 上的动点（不与 A，B 重 合）．过 Q 作 QM⊥PA 于 M，QN⊥PB 于 N．设 AQ 的长度为 x，QM 与 QN 的长度和为 y．则能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是【 】 A． B． C． D． 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】如图，连接 PQ，作 PE⊥AB 垂足为 E， ∵过 Q 作 QM⊥PA 于 M，QN⊥PB 于 N， ∴S△PAB= 1 2 PE×AB， S△PAB=S△PAQ+S△PQB= ×QN•PB+ ×PA×MQ。 ∵矩形 ABCD 中，P 为 CD 中点，∴PA=PB。 ∵QM 与 QN 的长度和为 y， ∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB= ×QN×PB+ ×PA×MQ= PB（QM+QN）= PBy。 ∴S△PAB= PE×AB= PBy，∴ PE ABy PB  。 ∵PE=AD，∴PB，AB，PB 都为定值。 ∴y 的值为定值，符合要求的图形为 D。故选 D。 42 例 9. （2012 广东梅州 11 分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0）、 C（0，2 ）、 D（0，3 ），射线 l 过 点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°． （1）①点 B 的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ；（直接写 出答案） （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使△AMN 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由． （3）设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围． 【答案】解：（1）①（6，2 3 ）。 ②30。③（3，3 ）。 （2）存在。m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）当 0≤x≤3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 l∥BC∥OA， 可得 EF PE DC 3 1==OQ PO DO 333 ，∴EF= 1 3 （3+x）， 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 1 4 3 4 3S S EF OQ OC 3 x x 4 32 3 3      梯形 （ ） （ ）= 当 3＜x≤5 时，如图 2，   HAQEFQO EFQO 2 2 1S S S S AH AQ2 4 3 3 3 13 3 3x 4 3 x 3 x x3 2 2 3 2              = 梯形 梯形 。 当 5＜x≤9 时，如图 3， 43 12S BE OA OC 3 12 x23 23= x 12 33       （ ） （ ） 。 当 x＞9 时，如图 4， 1 1 18 3 54 3S OA AH 6 =2 2 x x     。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为：         2 43x 4 3 0 x 33 3 13 3 3x x 3 x 52 3 2S 23x 12 3 5 x 93 54 3 x9x < < >                  。 【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。 【分析】（1）①由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： ∵四边形 OABC 是矩形，∴AB=OC，OA=BC， ∵A（6，0）、 C（0，2 3 ）， ∴点 B 的坐标为：（6，2 ）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵ OC 2 3 3tan CAO = =OA 6 3 ，∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质，即可求得点 P 的坐标；如图：当点 Q 与点 A 重合时，过点 P 作 PE⊥OA 于 E， ∵∠PQO=60°，D（0，3 ）， ∴PE=3 。 ∴ 0 PEAE 3 tan60 。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点 P 的坐标为（3，3 ）。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案： 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点 N 与 Q 重合。 44 ∴点 P 与 D 重合。∴此时 m=0。 情况②，如图 AM=AN，作 MJ⊥x 轴、PI⊥x 轴。 MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600 3OA IQ OI sin60 3 m2      （ ） （ ） 又 1 1 3MJ AM= AN=2 2 2 ， ∴ 333m22（ ）= ，解得：m=3﹣ 3 。 情况③AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PK⊥OA 于 K，过点 M 作 MG⊥OA 于 G， ∴MG= 3 2 。 ∴ 00 PK 3 3 MG 1QK 3 GQ 2tan60 3 tan60     ， 。 ∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= 1 2 AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）分别从当 0≤x≤3 时，当 3＜x≤5 时，当 5＜x≤9 时，当 x＞9 时去分析求解即可求得答案。 例 10. （2012 福建漳州 14 分）如图，在 OABC 中，点 A 在 x 轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动 点 P 从点 O 出发，以 1cm／s 的速度沿线段 OA→AB 运动；动点 Q 同时．．从点 O 出发，以 acm／s 的速度沿线段 OC→CB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动． 设运动时间为 t 秒． (1)填空：点 C 的坐标是(______，______)，对角线 OB 的长度是_______cm； (2)当 a=1 时，设△OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为何值时，S 的值最大? (3)当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、M、P 为顶点的 三角形与△OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围． 45 【答案】解：（1）C(2，2 3 )，OB=4 7 cm。 （2）①当 0

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