云南省曲靖市师宗县2020年中考数学一模试卷 解析版

云南省曲靖市师宗县2020年中考数学一模试卷 解析版

‎2020年云南省曲靖市师宗县中考数学一模试卷 一、填空题（每小题3分，共6小题，18分）‎ ‎1．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围　 　．‎ ‎2．（3分）若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　 　．‎ ‎3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是　 　．‎ ‎4．（3分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　 　cm．‎ ‎5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是　 　．‎ ‎6．（3分）二次函数y＝的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3…＝∠An﹣1BnAn＝60°，菱形An﹣1BnAn∁n的周长为　 　．‎ 二、选择题（每小题4分，共32分）‎ ‎7．（4分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．（4分）从﹣5，，，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为无理数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝144°，则∠C的度数是（　　）‎ A．14° B．72° C．36° D．108°‎ ‎10．（4分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则的值是（　　）‎ A． B． C．﹣3 D．3‎ ‎11．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　）‎ A．10% B．15% C．20% D．25%‎ ‎12．（4分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎13．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤a﹣b+c＜0．其中正确的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎14．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎15．（6分）解方程 ‎（1）x2﹣6x＝﹣7；‎ ‎（2）x（x﹣2）＝6﹣3x．‎ ‎16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．‎ ‎17．（7分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．‎ ‎（1）求证：这个方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．‎ ‎18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．‎ ‎19．（7分）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．‎ ‎（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；‎ ‎（2）这个游戏公平吗？请说明理由．‎ ‎20．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n）．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．‎ ‎21．（9分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x 为非负整数），每个月的销售利润为y元．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？‎ ‎22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．‎ ‎（1）求证：∠FEB＝∠ECF；‎ ‎（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．‎ ‎23．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；‎ ‎（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2020年云南省曲靖市师宗县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题3分，共6小题，18分）‎ ‎1．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围　x≥1且x≠3　．‎ ‎【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x﹣1≥0；根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，则函数的自变量x取值范围就可以求出．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ 解得x≥1且x≠3，‎ 即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．‎ ‎2．（3分）若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　0或1　．‎ ‎【分析】需要分类讨论：‎ ‎①若m＝0，则函数为一次函数；‎ ‎②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：①若m＝0，则函数y＝2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；‎ ‎②若m≠0，则函数y＝mx2+2x+1，是二次函数．‎ 根据题意得：△＝4﹣4m＝0，‎ 解得：m＝1．‎ 故答案为：0或1．‎ ‎3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是　　．‎ ‎【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出让灯泡L1发光的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 共有6种等可能的结果数，其中能让灯泡L1发光的结果数为2，‎ 所以能让灯泡L1发光的概率＝＝．‎ 故答案为．‎ ‎4．（3分）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　3　cm．‎ ‎【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．‎ ‎【解答】解：圆锥的底面周长是：＝6π．‎ 设圆锥底面圆的半径是r，则2πr＝6π．‎ 解得：r＝3．‎ 故答案是：3．‎ ‎5．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是　4　．‎ ‎【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝2，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．‎ ‎【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，‎ ‎⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，‎ ‎∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝2，‎ ‎∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝4．‎ 故填空答案：4．‎ ‎6．（3分）二次函数y＝的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3…＝∠An﹣1BnAn＝60°，菱形An﹣1BnAn∁n的周长为　4n　．‎ ‎【分析】由于△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都是等边三角形，因此∠B1A0x＝30°，可先设出△A0B1A1的边长，然后表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得△A0B1A1的边长，用同样的方法可求得△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形An﹣1BnAn∁n的周长．‎ ‎【解答】解：∵四边形A0B1A1C1是菱形，∠A0B1A1＝60°，‎ ‎∴△A0B1A1是等边三角形．‎ 设△A0B1A1的边长为m1，则B1（，）；‎ 代入抛物线的解析式中得：（）2＝，‎ 解得m1＝0（舍去），m1＝1；‎ 故△A0B1A1的边长为1，‎ 同理可求得△A1B2A2的边长为2，‎ ‎…‎ 依此类推，等边△An﹣1BnAn的边长为n，‎ 故菱形An﹣1BnAn∁n的周长为4n．‎ 故答案是：4n．‎ 二、选择题（每小题4分，共32分）‎ ‎7．（4分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；‎ B、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎8．（4分）从﹣5，，，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为无理数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】从7个数中，找出无理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：在﹣5，，，﹣1，0，2，π这七个数中，无理数有，π，共2个数，‎ 则恰好为无理数的概率为．‎ 故选：B．‎ ‎9．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝144°，则∠C的度数是（　　）‎ A．14° B．72° C．36° D．108°‎ ‎【分析】先根据圆周角定理计算出∠A＝72°，然后根据圆内接四边形的性质求∠C的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠A＝∠BOD＝×144°＝72°，‎ 而∠A+∠C＝180°，‎ ‎∴∠C＝180°﹣72°＝108°．‎ 故选：D．‎ ‎10．（4分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则的值是（　　）‎ A． B． C．﹣3 D．3‎ ‎【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，再代入代数式＝计算可得．‎ ‎【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，‎ ‎∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，‎ 则＝＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎11．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　）‎ A．10% B．15% C．20% D．25%‎ ‎【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2＝后来数”得出方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：设平均每月的增长率为x，‎ 根据题意得：200（1+x）2＝288，‎ ‎（1+x）2＝1.44，‎ x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），‎ 答：平均每月的增长率为20%．‎ 故选：C．‎ ‎12．（4分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．‎ ‎【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；‎ 若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．‎ 故选项A正确；‎ 故选：A．‎ ‎13．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤a﹣b+c＜0．其中正确的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较两点到对称轴的距离可对④进行判断；利用当x＝﹣1时，代入结合图象，则可对⑤进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，‎ ‎∴b＝2a＞0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，‎ ‎∴c＜0，‎ ‎∴abc＜0，所以①错误；‎ ‎∵抛物线与x轴有2个交点，‎ ‎∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），‎ ‎∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确；‎ ‎∵点（﹣0.5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（﹣2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，‎ 而抛物线开口向上，‎ ‎∴y1＜y2；所以④错误；‎ ‎∵当x＝﹣1时，对应y值在x轴下方，‎ ‎∴a﹣b+c＜0，所以⑤正确．‎ 故选：B．‎ ‎14．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝BC＝2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD＝BD＝x，根据三角形面积公式得到y＝x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD＝CD＝4﹣x，根据三角形面积公式得到y＝﹣x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．‎ ‎【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝BC＝2，‎ 当0≤x≤2时，如图1，‎ ‎∵∠B＝45°，‎ ‎∴PD＝BD＝x，‎ ‎∴y＝•x•x＝x2；‎ 当2＜x≤4时，如图2，‎ ‎∵∠C＝45°，‎ ‎∴PD＝CD＝4﹣x，‎ ‎∴y＝•（4﹣x）•x＝﹣x2+2x，‎ 故选：B．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎15．（6分）解方程 ‎（1）x2﹣6x＝﹣7；‎ ‎（2）x（x﹣2）＝6﹣3x．‎ ‎【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案；‎ ‎（2）直接利用提取公因式法解方程进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣7，‎ 则x2﹣6x+9＝﹣7+9，‎ 故（x﹣3）2＝2‎ x﹣3＝±，‎ 解得：x1＝3+，x2＝3﹣；‎ ‎（2）x（x﹣2）＝6﹣3x x（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，‎ ‎（x﹣2）（x+3）＝0，‎ 则x﹣2＝0或x+3＝0，‎ 解得：x1＝2，x2＝﹣3．‎ ‎16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．‎ ‎【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；‎ ‎（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，‎ 线段BC旋转过程中所扫过得面积S＝＝．‎ ‎17．（7分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．‎ ‎（1）求证：这个方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（1）先计算△，化简得到△＝（2k﹣3）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；‎ ‎（2）利用求根公式计算出方程的两根x1＝2k﹣1，x2＝2，则可设b＝2k﹣1，c＝2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．‎ ‎【解答】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）‎ ‎＝4k2﹣12k+9‎ ‎＝（2k﹣3）2，‎ ‎∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，‎ ‎∴△≥0，‎ ‎∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；‎ ‎（2）解：∵x＝，‎ ‎∴x1＝2k﹣1，x2＝2，‎ ‎∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，‎ 当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k＝，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；‎ 当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．‎ 综上所述，△ABC的周长为10．‎ ‎18．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，由于∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD＝∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）‎ ‎（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A＝∠CBE＝45°，BE＝BF，从而可求出∠BEF的度数．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，‎ ‎∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE，‎ 在△ACD与△BCE中，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）‎ ‎（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠A＝45°，‎ 由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，‎ ‎∵AD＝BF，‎ ‎∴BE＝BF，‎ ‎∴∠BEF＝67.5°‎ ‎19．（7分）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．‎ ‎（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；‎ ‎（2）这个游戏公平吗？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；‎ ‎（2）先分别求出小明和小东的概率，再进行比较即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意画图如下：‎ ‎∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，‎ ‎∴P（小明获胜）＝＝；‎ ‎（2）∵P（小明获胜）＝，‎ ‎∴P（小东获胜）＝1﹣＝，‎ ‎∴这个游戏不公平．‎ ‎20．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n）．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）先把A点代入y2＝中求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；‎ ‎（2）设直线AB与y轴交于点C，如图，则C点坐标为（0，﹣1），根据三角形面积公式，利用S△AOB＝S△AOC+S△COB进行计算；‎ ‎（3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y2＝得m＝﹣2×1＝﹣2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y2＝﹣，‎ 把B（1，n）代入y＝﹣得n＝﹣2，‎ ‎∴B点坐标为（1，﹣2），‎ 把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y1＝ax+b得，解得，‎ ‎∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣1；‎ ‎（2）设直线AB与y轴交于点C，如图，‎ 当x＝0，得y＝﹣x﹣1＝﹣1，‎ ‎∴C点坐标为（0，﹣1）．‎ ‎∵S△AOB＝S△AOC+S△COB＝×1×2+×1×1＝；‎ ‎（3）由图象可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．‎ ‎21．（9分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？‎ ‎【分析】（1）根据题意，利用总利润＝（售价﹣成本）×数量即可列出关系式y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）．‎ ‎（2）根据（1）中所得的关系式．通过配方法，求得顶点式，再根据x的取值范围即可．‎ ‎（3）根据利润率＝（售价﹣成本）÷成本×100%即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）依题意，y＝（30﹣20+x）（180﹣10x），‎ 化简得，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x＜4，且x为整数），‎ ‎（2）由（1）得，y＝﹣10x2+80x+1800＝﹣10（x﹣4）2+1960，‎ ‎∵a＝﹣10＜0，‎ ‎∴当x＜4时，y随着x的增大而增大，‎ ‎∵0≤x＜4，且x为整数，‎ ‎∴当x＝3时，y最大＝﹣10（3﹣4）2+1960＝1950．‎ 故每件商品的售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润是1950元．‎ ‎（3）由题意，1920＝﹣10x2+80x+1800，‎ 整理得，x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2或x2＝6，‎ ‎∵0≤x＜4，且x为整数，‎ ‎∴x＝2，‎ ‎∴此时的售价为32元，则利润率为：×100%＝60%．‎ 故每件商品的售价为32元时，每个月的利润恰好是1920元，这时每件商品的利润率是60%．‎ ‎22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．‎ ‎（1）求证：∠FEB＝∠ECF；‎ ‎（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB＝90°，由于∠FEB+∠FOE＝90°，∠COB＝∠FOE ‎，所以∠FEB＝∠ECF；‎ ‎（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD＝CB＝6，OD⊥CE，则CE＝10，利用勾股定理可计算出BE＝8，设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，所以OE＝5，OC＝3，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，‎ ‎∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC，‎ ‎∴∠BCO+∠COB＝90°，‎ ‎∵EF⊥OG，‎ ‎∴∠FEB+∠FOE＝90°，‎ 而∠COB＝∠FOE，‎ ‎∴∠FEB＝∠ECF；‎ ‎（2）解：连接OD，如图，‎ ‎∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，‎ ‎∴CD＝CB＝6，OD⊥CE，‎ ‎∴CE＝CD+DE＝6+4＝10，‎ 在Rt△BCE中，BE＝＝8，‎ 设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8﹣r，‎ 在Rt△ODE中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，‎ ‎∴OE＝8﹣3＝5，‎ 在Rt△OBC中，OC＝＝3，‎ ‎∵∠COB＝∠FOE，‎ ‎∴△OEF∽△OCB，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴EF＝2．‎ ‎23．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；‎ ‎（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先求出点B，点C坐标，代入解析式可求解；‎ ‎（2）由抛物线的对称性可得AM＝BM，点A（1，0），由四边形COAM周长＝OC+OA+AM+CM＝4+BM+CM，则点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，即四边形COAM周长的最小值＝4+BC，由勾股定理可求解；‎ ‎（3）由菱形的性质可得△CPM是等腰三角形，分三种情况讨论，由两点距离公式可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，‎ ‎∴点B（3，0），点C（0，3），‎ ‎∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；‎ ‎（2）如图，连接AM，‎ ‎∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝2，‎ ‎∵点A与点B关于对称轴对称，‎ ‎∴AM＝BM，点A（1，0），‎ ‎∵点C（0，3），点A（1，0），点B（3，0），‎ ‎∴OA＝1，OC＝3，OB＝3，‎ ‎∵四边形COAM周长＝OC+OA+AM+CM，‎ ‎∴四边形COAM周长＝4+BM+CM，‎ ‎∴当点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，‎ ‎∴四边形COAM周长的最小值＝4+BC，‎ ‎∵BC＝＝＝3，‎ ‎∴四边形COAM周长的最小值＝4+3；‎ ‎（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴顶点P（2，﹣1），‎ 又∵点C（0，3），‎ ‎∴PC＝＝2，‎ 设点M（2，t），‎ ‎∴MC＝＝，‎ MP＝|t+1|，‎ ‎∵以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形，‎ ‎∴△CPM是等腰三角形，‎ 若MC＝MP，则＝|t+1|，‎ ‎∴t＝，‎ ‎∴点M（2，）；‎ 若MP＝PC，则2＝|t+1|，‎ ‎∴t1＝﹣1+2，t2＝﹣1﹣2，‎ ‎∴点M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；‎ 若MC＝PC，则＝2，‎ 解得：t3＝﹣1（不合题意舍去），t4＝7，‎ ‎∴点M（2，7）；‎ 综上所述：点M的坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）．‎