河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学（文）（A卷）试题

河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学（文）（A卷）试题

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）‎ 文科数学（A卷）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知四个命题：‎ ‎①如果向量与共线，则或；‎ ‎②是的必要不充分条件；‎ ‎③命题：，的否定：，；‎ ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.‎ 以上命题正确的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎4.若数列满足，，则的值为（ ）‎ A．2 B．-3 C． D．‎ ‎5.函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）‎ A．84平方里 B．108平方里 C．126平方里 D．254平方里 ‎8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎11.在中，，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知，分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. ‎ ‎13.设向量，，若，则 ．‎ ‎14.，满足约束条件：，则的最大值为 ．‎ ‎15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．‎ ‎16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18.四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求点到平面的距离.‎ ‎19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.‎ ‎（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：‎ 日均派送单数 ‎52‎ ‎54‎ ‎56‎ ‎58‎ ‎60‎ 频数（天）‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎10‎ 回答下列问题：‎ ‎①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；‎ ‎②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.‎ ‎（参考数据：，，，，，，，，）‎ ‎20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为1. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.‎ ‎21.已知函数，，在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的定义域为；‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.‎ 石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案 一、选择题 ‎1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 14. 3 15. 乙 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）设数列的公差为，且由题意得， ‎ 即，解得， ‎ 所以数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）得 ‎， ‎ ‎.‎ ‎18．（1）因为平面SDM，‎ 平面ABCD，‎ 平面SDM 平面ABCD=DM，‎ 所以，‎ 因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点.‎ 因为，‎ ‎.‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面，[来源:Z*xx*k.Com]‎ 平面平面，‎ 在平面内过点作直线于点，则平面，‎ 在和中，‎ 因为，所以，‎ 又由题知，‎ 所以， ‎ 由已知求得，所以，‎ 连接BD，则，‎ 又求得的面积为，‎ 所以由点B 到平面的距离为.网]‎ ‎19.解：（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式为： ，‎ 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：‎ ‎，k.Com]‎ ‎（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则 ‎， ‎ ‎，‎ 乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎②、答案一：‎ 由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.‎ 答案二：‎ 由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案.‎ ‎20解：‎ ‎（1）设由题， ‎ 解得，则，‎ 椭圆的方程为. ‎ ‎（2）设，，‎ 当直线的斜率不存在时，设，则，‎ 直线的方程为代入，可得，‎ ‎，，则，‎ 直线的斜率为，直线的斜率为，‎ ‎，‎ 当直线的斜率不存在时，同理可得. ‎ 当直线、的斜率存在时，，‎ 设直线的方程为，则由消去可得：‎ ‎，‎ 又，则，代入上述方程可得 ‎，‎ ‎，则 ‎，‎ 设直线的方程为，同理可得，‎ 直线的斜率为，‎ 直线的斜率为，‎ ‎.[来源:Zxxk.Com]‎ 所以，直线与的斜率之积为定值，即. ‎ ‎21．‎ 解：（Ⅰ）由题意，所以，‎ 又，所以， ‎ 若，则，与矛盾，故，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，‎ 由，可得，‎ 令， ‎ ‎，‎ 当时，，‎ 当时，‎ 设， ‎ ‎ ，‎ 故函数在上单调递增，又，‎ 所以当时，，当时，， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ‎ 故 故.‎ 法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，‎ 由，可得，‎ 令， ‎ ‎，‎ 令 当时，，单调递减，且；‎ 当时，，单调递增；且，‎ 所以在上当单调递减，在上单调递增，且，‎ 故，‎ 故.‎ 选作题 ‎22（1）由题意可知直线的直角坐标方程为， ‎ 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为， ‎ 所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 当时， ，‎ 所以△MON面积的最大值为. ‎ ‎23. 【解析】‎ ‎（1）由题意可知恒成立，令，‎ 去绝对值可得：，‎ 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； ‎ ‎（2）由（1）可知，所以， ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为. ‎ 石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案 ‎ ‎ 一、 选择题 ‎（A卷答案）‎ ‎ 1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD ‎ ‎ （B卷答案）‎ ‎1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 3 15. 乙 16. ‎ 三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎17. 解：（1）设数列的公差为，且由题意得，……………2分 即，解得，……………4分 所以数列的通项公式,………………………………6分 ‎（2）由（1）得 ‎，…………………………8分 ‎…………………10分 ‎.………………………12分.‎ ‎18． ‎ ‎（1）因为平面SDM,‎ 平面ABCD,‎ 平面SDM 平面ABCD=DM,‎ 所以……………………2分 因为,所以四边形BCDM为平行四边形，又，‎ ‎,所以M为AB的中点。…………………4分 因为 ‎…………………6分 ‎（２）因为， ，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面，[来源:Z*xx*k.Com]‎ 平面平面，‎ 在平面内过点作直线于点，则平面，‎ ‎……………………………7分 在和中，‎ 因为，所以，‎ 又由题知，‎ 所以， ‎ 由已知求得，所以……………………………9分 连接BD，则，…………………………………10分 又求得的面积为 所以由点B 到平面的距离为……………12分[来源:学科网]‎ ‎ ‎ ‎19.解：（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式为： …………………………3分 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：‎ ‎………………………6分[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则 ‎， ‎ ‎------------8分 乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则 ‎，‎ ‎-------------10分 ‎②、答案一：‎ 由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案。‎ 答案二：‎ 由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案。 --------12分 ‎20解：‎ ‎（1）设由题，--------------------2分 解得，则，‎ 椭圆的方程为.-------------------------------------------4分 ‎（2）设，，‎ 当直线的斜率不存在时，设，则，‎ 直线的方程为代入，可得 ‎，，则 直线的斜率为，直线的斜率为，‎ ‎，‎ 当直线的斜率不存在时，同理可得.----------------------------5分 当直线、的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，则由消去可得：‎ ‎，‎ 又，则，代入上述方程可得 ‎，‎ ‎，则 ‎ 7分 ‎ 设直线的方程为，同理可得 ----------------------------9分 直线的斜率为----------------11分 直线的斜率为，‎ ‎.[来源:Zxxk.Com]‎ 所以，直线与的斜率之积为定值，即. -----------------12分 ‎21．‎ 解：（Ⅰ）由题意，所以，‎ ‎…………2分 又，所以，…………4分 若，则，与矛盾，故，…………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，‎ 由，可得……… 6分 令， ‎ ‎，‎ 当时，……… 8分 当时，‎ 设， ‎ ‎ ，‎ 故函数在上单调递增，又，‎ 所以当时，，当时，， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，………… 10分 故 故………… 12分 法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，‎ 由，可得……… 6分 令， ‎ ‎，‎ 令 当时，，单调递减，且；…………8分 当时，，单调递增；且 所以在上当单调递减，在上单调递增，且………… 10分 故 故………… 12分 选作题 ‎22（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，………… 2分 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为，…………4分 所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即 …………5分 ‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（）‎ ‎ …………7分 ‎ ‎………………9分 ‎ ‎ 当时, ‎ 所以△MON面积的最大值为. ………………10分 ‎ ‎23. 【解析】‎ ‎（1）由题意可知恒成立，令，‎ 去绝对值可得：，‎ ‎………………3分 ‎ 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； ………………5分 ‎ ‎（2）由（1）可知，所以， ‎ ‎ ………………7分 ‎ ‎………………9分 ‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为. ………………10分 ‎