2019届二轮复习第1讲　函数的图像与性质学案（全国通用）

2019届二轮复习第1讲　函数的图像与性质学案（全国通用）

第1讲　函数的图像与性质 ‎1.[2017·全国卷Ⅰ] 函数y=的部分图像大致为(　　)‎ A　　 　　　B　　　 　　 C　　　 　　D 图M1-1-1‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 命题角度　函数图像的识别 解题策略:步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性、对称性等,初步排除选项(需观察选项,确定首先判断已知函数的什么性质);‎ 步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断)或特殊点描绘函数的大致图像得出答案. ‎ 注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;‎ ‎(2)有时需要关注由已知函数图像上下或者左右平移得到的对称性等.‎ ‎2.【引·全国卷】‎ ‎[2018·全国卷Ⅱ] 已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　)‎ A.-50 B.0 ‎ C.2 D.50‎ ‎【荐·地方卷】‎ ‎[2017·山东卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0] 时,f(x)=6-x,则f(919)=　　　　. ‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 命题角度　函数周期性为背景的问题 ‎①利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值.‎ ‎②求函数周期性的方法:‎ a:若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期.‎ b:若函数满足f(x+a)=-f(x),则2a是函数的一个周期.‎ c:若函数满足f(x+a)=,则2a是函数的一个周期.‎ ‎③对称性与周期性:‎ 如果一个函数y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数.具体如下:‎ a:关于两个点对称,若y=f(x)的图像关于点(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.‎ b:关于两条线对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为2|b-a|.‎ c:关于一条线和一个点对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且正周期为4|b-a|.‎ ‎3.(1)[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=(　　)‎ A.0 B.m C.2m D.4m ‎(2)[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 (　　)‎ A.f(x)在(0,2)单调递增 ‎ B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称 ‎ D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称 ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 命题角度　函数图像对称性为背景的问题 ‎①解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题.‎ 关键一:利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴.‎ 关键二:熟记关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:‎ a.f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称;‎ b.f(a+x)+f(b-x)=c⇔函数y=f(x)的图像关于点,对称;‎ c.f(a+x)=f(a-x)⇔函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;‎ d.f(a+x)=f(b-x)⇔函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.‎ ‎②(特殊法)将抽象函数f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=x+1.‎ ‎③一个函数图像的自身对称和两个不同函数的图像对称的区别.‎ ‎4.(1)[2017·全国卷Ⅱ] 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)‎ A.(-∞,-2) B.(-∞,1)‎ C.(1,+∞) D.(4,+∞)‎ ‎(2)[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 (　　)‎ A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 命题角度　复合函数单调性与奇偶性的判断 ‎①复合函数的单调性的解题策略:关键一,确定定义域,将原函数分解为基本函数(内函数与外函数);关键二,分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同增异减”来判断原函数在定义域内的单调性.‎ 注:外函数的定义域的确定需结合内函数的值域.‎ ‎②解决两函数的积的奇偶性的策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数.‎ 注:两个函数的定义域都要关于原点对称.‎ ‎5.(1)[2017·全国卷Ⅰ] 函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　) ‎ A.[-2,2] B.[-1,1]‎ C.[0,4] D.[1,3]‎ ‎(2)[2014·全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　　. ‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 命题角度　解抽象函数不等式 ‎①解决抽象函数不等式问题的依据是单调性的定义.‎ ‎②将抽象函数不等式变形为类似f(x1)>f(x2)的形式,结合单调性转化为常规不等式如x1>x2(或x10,所以可以排除A.而f(π)==0,所以可以排除D.故选C.‎ ‎2.【引·全国卷】‎ C　[解析] 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②,由①②可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.‎ ‎【荐·地方卷】‎ ‎6　[解析] 由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.‎ ‎3.(1)B　(2)C　[解析] (1)由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,‎ ‎∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(xi,yi)和(x'i,y'i)均满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,‎ ‎∴(xi+yi)=xi+yi=0+2·=m.‎ ‎(2)因为函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1],所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A,B错.由于函数y=-(x-1)2+1,x∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线x=1对称.故选C.‎ ‎4.(1)D　(2)C　[解析] (1)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).‎ ‎(2)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错;‎ ‎|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错;‎ f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;‎ ‎|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D也错.‎ ‎5.(1)D　(2)(-1,3)　[解析] (1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].‎ ‎(2)根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-20,即x>1时,f(x)+f(x-1)=4x+4x-1≥2,得x>1.‎ 综上,x的取值范围是.‎ ‎【自我检测】‎ ‎1.B　[解析] ⇒1c>b,故选A.‎ ‎(2)设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1).‎ 设x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x).‎ 综上可得,函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).‎ ‎【自我检测】‎ ‎1.B　[解析] A中,y=是偶函数,当x>0时,y==是减函数,不满足条件;‎ B中,y=x2+2|x|是偶函数,当x>0时,y=x2+2|x|=x2+2x是增函数,满足条件;‎ C中,y=|ln x|的定义域为(0,+∞),定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足条件;‎ D中,y=2-x在(0,+∞)上是减函数,且函数为非奇非偶函数,不满足条件.‎ 故选B.‎ ‎2.A　[解析] 由f(x)+g(x)=2x+x,得f(-x)+g(-x)=2-x-x,又由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,得f(x)-g(x)=2-x-x,联立方程消元可得f(x)=,∴f(log25)==.‎ ‎3.A　[解析] ∵f(x)=-f,∴f(x-3)=-f=f(x),∴f(x)是以3为周期的奇函数,∴f(2018)+f(2019)=f(-1)+f(0)=-f(1)=-log2(2-1)=0.‎ ‎4.C　[解析] 由题意,函数f(x)=+sin,‎ 令g(x)===+,则g(x)的图像的对称中心为点,‎ 所以g(x)+g(1-x)=1,则 令h(x)=sin,则点为函数h(x)图像的一个对称中心,则h(x)+h(1-x)=0,所以 所以故选C.‎ 小题3‎ 例3(1)C　(2)(2,2019)　[解析] (1)令f(x)=x2+,因为f(-1)=1>0,所以排除选项A,B,又因为f=-e<0,所以排除选项D.故选C.‎ ‎(2)如图,作出函数f(x)的图像,直线y=y0与函数f(x)的图像交于A,B,C三点.不妨设a0,即m>-1时,x≤,所以m+1≤,解得m≤-,所以-1

查看更多