2019年内蒙古赤峰中考数学试题（解析版）

2019年内蒙古赤峰中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年赤峰市中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}赤峰市二〇一九年初中学业水平考试 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共14小题，每小题3分，合计42分． ‎ ‎{题目}1．(2019年内蒙古赤峰)在－4、－、0、4这四个数中，最小的数是( )‎ A．4 B．0 C．－ D．－4‎ ‎{答案}D ‎{解析}负数比0和一切正数都小；比较两个负数大小，绝对值大的反而小，由|－4|＞|－|可得：－4＜－.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-1-2-1]有理数}‎ ‎{考点:有理数的大小比较}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}2．(2019年内蒙古赤峰)2013~2018年，我国与“一带一路”沿线国家货物贸易总额超过60000亿美元.将60000用科学记数法表示为( )‎ A．6×104 B．0.6×105 C．6×105 D．60×103‎ ‎{答案}A ‎{解析}科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10.若用科学记数法表示绝对值较大的数，则n的值等于该数的整数位数减去1，则a＝6，n＝5－1＝4，故60 000＝6×104.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-1-2-1]有理数}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3．(2019年内蒙古赤峰)下列运算正确的是( )‎ A．＋＝ B．x3·x2＝x5‎ C．(x3)2＝x5 D．x6÷x2＝x3‎ ‎{答案}B ‎{解析}‎ 选项 逐项分析 正误 A 和不是同类二次根式，故不能求和.‎ ‎×‎ B x 3·x2＝x3＋2＝x5.‎ ‎√‎ C ‎(x3)2＝x3×2＝x6.‎ ‎×‎ D x 6÷x2＝x6－2＝x4.‎ ‎×‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:同底数幂的除法}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．(2019年内蒙古赤峰)不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是( )‎ A．3个都是黑球 B．2个黑球1个白球 C．2个白球1个黑球 D．至少有1个黑球 ‎{答案}D ‎{解析}由于白球只有2个，其余的球都是黑球，故随机找出3个球肯定含有1个黑球，故至少有1个黑球是必然事件.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-25-1-1]随机事件}‎ ‎{考点:事件的类型}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．(2019年内蒙古赤峰)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )‎ A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱 ‎{答案}B ‎{解析}圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，故该图是圆锥的三视图.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:简单几何体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．(2019年内蒙古赤峰)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}解不等式x＋1≥2，得：x≥1；解不等式9－x＜2x，得：x＞3，则该不等式组的解集 为x≥1.用数轴表示该不等式组的解集，解集x≥1和x＞3都朝右边，数1处用实点表示，数3处用圈点表示，故选C.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．(2019年内蒙古赤峰)如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变)，能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}从下往上看，该玻璃容器下半部分的水平横截面越小，故水面高度的增长速度由慢至快；该玻璃容器上半部分是圆柱，水平横截面不变，故水面高度的增长速度匀速.综上所述，图象D符合题意.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}‎ ‎{考点:函数的图象}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．(2019年内蒙古赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是( )‎ A．2.5 B．3 C．4 D．5‎ ‎{答案}A ‎{解析}∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝5，∠COD＝90°.在Rt△COD中，OE是CD边上的中线，∴OE＝CD＝2.5.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:直角三角形斜边上的中线}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．(2019年内蒙古赤峰)某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率.设月平均增长率为x，根据题意列方程为( )‎ A．400(1＋x2)＝900 B．400(1＋2x)＝900‎ C．400(1－x)2＝900 D．400(1＋x)2＝900‎ ‎{答案}D ‎{解析}由题意可知四月份销售手机400(1＋x)万部，五月份销售手机400(1＋x)(1＋x)万部，即400(1＋x)2万部，由此可列方程为400(1＋x)2＝900.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}10．(2019年内蒙古赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )‎ A．30° B．40° C．50° D．60°‎ ‎{答案}D ‎{解析}∵OC⊥AB，∴点C是的中点，即＝，∴∠BOC＝∠AOC＝2∠ADC＝60°.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}11．(2019年内蒙古赤峰)如图，点P是反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于( )‎ A．－4 B．4 C．－2 D．2‎ ‎{答案}A ‎{解析}根据反比例函数的几何意义，可得：|k|＝2S△POM＝4.又∵双曲线经过第二象限，∴k＜0，故k＝－4.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的几何意义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}12．(2019年内蒙古赤峰)如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎{答案}C ‎{解析}∵∠ADE＝∠ACB，∠DAE＝∠CBA，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AE＝3.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}13．(2019年内蒙古赤峰)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( )‎ A．65° B．70° C．75° D．85°‎ ‎{答案}B ‎{解析}在△AEF中，∠AFE＝90°－∠A＝55°.∴∠DFC＝∠AFE＝55°.又∵∠ACB是△DCF的外角，∴∠ACB＝∠DFC＋∠D＝55°＋15°＝70°.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{考点:直角三角形两锐角互余}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．(2019年内蒙古赤峰)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕亲剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为( )‎ A．22019 B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}根据折叠的性质可知第1次操作剩余部分是个较小的正方形，且面积是原来正方形面积的一半，即.以此类推，第2次操作剩余部分的面积为×＝；第3次操作剩余部分的面积为××＝；……；故第2019次操作剩余部分的面积为××…×＝.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:规律－图形变化类}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，合计16分．‎ ‎{题目}15．(2019年内蒙古赤峰)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝______.‎ ‎{答案} x(x－y)2‎ ‎{解析}原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}16．(2019年内蒙古赤峰)如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的统计表和折线统计图.你认为甲、乙两名运动员，______的射击成绩更稳定.(填甲或乙)‎ 平均数 中位数 众数 甲 ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ 乙 ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎{答案}乙 ‎{解析}观察折线统计图，明显甲的数据波动比乙的数据波动大，而乙的数据相对平稳.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-20-2-1]方差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}17．(2019年内蒙古赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面 3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为_____m.(参考数据：sin38°≈0.62 cos38°≈0.79 tan38°≈0.78)‎ ‎{答案}8.1‎ ‎{解析}如图，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝38°，BC＝3.1m，则sin∠BAC＝，∴AB＝≈＝5(m)，故木杆折断之前的高度约为 8.1m.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}18．(2019年内蒙古赤峰)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________.(填上所有正确结论的序号)‎ ‎{答案}②③④‎ ‎{解析}∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴位于y轴的右边，∴x＝－＞0，∴b＜0，故结论①错误；由抛物线的对称性可知该抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，故当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，故结论②正确；由抛物线与y轴的交点是（0，－3），故直线y＝－1位于y＝0(x轴)与y＝－3之间，即直线y＝－1与抛物线有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＋1＝0有两个不相等的实数根，故结论③正确；观察抛物线图象，当x＜－1或x＞3时，抛物线位于x轴的上方，即y＞0，故结论④正确.综上所述，结论②③④正确.‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:抛物线与不等式（组）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计96分．‎ ‎{题目}19．(2019年内蒙古赤峰)先化简，再求值：‎ ‎÷＋，其中a＝|1－|－tan60°＋()－1.‎ ‎{解析}先将计算分式的除法运算，再计算分式的加减运算，化简a的值代入计算即可.‎ ‎{答案}解：原式＝·＋‎ ‎＝＋‎ ‎＝.‎ ‎∵a＝－1－＋2＝1，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎{分值}10分 ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}20．(2019年内蒙古赤峰)已知：AC是□ABCD的对角线.‎ ‎(1)用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE.(保留作图痕迹，不写作法)；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长.‎ ‎{解析}(1)分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧交于两点，连接该两个交点即可为AC的垂直平分线；‎ ‎(2)根据垂直平分线的性质计算即可.‎ ‎{答案}解：(1)如图所示：‎ ‎(2)如图，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5.‎ 又∵EF是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝CE，则CE＋DE＝AD.‎ ‎∴△DCE的周长为：CD＋DE＋CD＝AD＋CD＝5＋3＝8.‎ ‎{分值}10分 ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:与垂直平分线有关的作图}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{题目}21．(2019年内蒙古赤峰)赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应“书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动.为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.‎ ‎(1)随机抽取学生共_________名，2本所在扇形的圆心角度数是______度，并补全折线统计图；‎ ‎(2)根据调查情况，学生决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求两名学生读书数量均为4本的概率.‎ ‎{解析}(1)对比折线与扇形统计图，先求出样本容量，再根本比例关第求出扇形圆心角的度数；‎ ‎(2)先运用树状图或列表法列出所有等可能结果，然后找出两名学生读书数量均为4本的可能数，再根据概率公式计算即可.‎ ‎{答案}解：(1)50 216°‎ ‎【解析】∵16÷32%＝50(名)，故随机抽取的学生有50名；2本所在扇形的圆心角度数为：360°×＝216°.‎ ‎(2)设A表示读1本的学生，B表示读4本的学生，根据题意，列表如下，共12种等可能结果，而两个学生都是读4本的可能有2种，故任选两名学生都是读4本的概率为，即.‎ A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ A1‎ ‎——‎ ‎(A1，A2)‎ ‎(A1，B1)‎ ‎(A1，B2)‎ A2‎ ‎(A2，A1)‎ ‎——‎ ‎(A2，B1)‎ ‎(A2，B2)‎ B1‎ ‎(B1，A1)‎ ‎(B1，A2)‎ ‎——‎ ‎(B1，B2)‎ B2‎ ‎(B2，A1)‎ ‎(B2，A2)‎ ‎(B2，B1)‎ ‎——‎ ‎{分值}12分 ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:折线统计图}‎ ‎{题目}22．(2019年内蒙古赤峰)某校开展校园艺术系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元.请认真阅读结账时老板与小明的对话：‎ ‎(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？‎ ‎(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？‎ ‎{解析}(1)根据老板所说的话，列一元一次方程解决；‎ ‎(2)根据“两次购买奖品总支出不超过400元”列一元一次不等式解决.‎ ‎{答案}解：(1)设小原计划购买文具袋x个，根据题意，得：‎ ‎10x－8.5(x＋1)＝17，‎ 解得：x＝17.‎ 答：小明原计划购买文具袋17个.‎ ‎(2)设小明最多可购买钢笔y支，则签字笔可买(50－y)支，根据题意，得 ‎6.4y＋4.8(50－x)≤400－8.5×(17＋1)，‎ 解得：x≤4，则x可取最大整数为4.‎ 答：小明最多可购买4支钢笔.‎ ‎{分值}12分 ‎{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（商品利润问题）}‎ ‎{考点:一元一次不等式的应用}‎ ‎{题目}23．(2019年内蒙古赤峰)如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.‎ ‎(1)求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为2，求图阴影部分的面积.‎ ‎{解析}(1)连接OC，证明CE⊥OC即可；‎ ‎(2)将不规则图形转化为规则图形求解，即将阴影部分面积转化为扇形COD面积求解.‎ ‎{答案}(1)证明：如图，连接OC、OD.‎ ‎∵C、D是半圆AB的三等分点，‎ ‎∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，∠BAD＝60°，‎ ‎∴∠BAD＝∠BOC，‎ ‎∴OC∥AD.‎ 又∵CE⊥AE，‎ ‎∴CE⊥OC，‎ ‎∴CE是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵OC＝OD，∠COD＝60°，‎ ‎∴△COD是等边三角形，‎ ‎∴∠OCD＝∠BOC＝60°，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴S△ACD＝S△COD，‎ ‎∴S阴影＝S扇形COD＝×π×22＝π.‎ ‎{分值}12分 ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{题目}24．(2019年内蒙古赤峰)阅读下面材料：‎ 我们知道一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0，A、B、C是常数)的形式，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式d＝计算.‎ 例如：求点P(3，4)到直线y＝－2x＋5的距离.‎ 解：∵y＝－2x＋5，‎ ‎∴2x＋y－5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝－5.‎ ‎∴点P(3，4)到直线y＝－2x＋5的距离为：‎ d＝＝＝＝.‎ 根据以上材料，解答下列问题：‎ ‎(1)求点Q(－2，2)到直线3x－y＋7＝0的距离；‎ ‎(2)如图，直线y＝－x沿y轴向上平移2个单位得到另一个直线，求这两条平行直线之间的距离.‎ ‎{解析}(1)直线根据点与直线的距离公式计算即可；‎ ‎(2)先求出另一条直线的解析式，再直线y＝－x任取一点坐标，代入点与直线的距离公式计算即可.‎ ‎{答案}解：(1)d＝＝＝.‎ ‎(2)直线y＝－x沿y轴向上平移2个单位 ，得到直线y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.‎ 取直线y＝－x上的一点(0，0)，该点到直线x＋y－2＝0的距离为：‎ d＝＝＝.‎ ‎{分值}12分 ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{考点:一次函数图象的平移}‎ ‎{考点:其他一次函数的综合题}‎ ‎{题目}25．(2019年内蒙古赤峰)如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)在x轴上找一点E，使EC＋ED的值最小，求EC＋ED的最小值；‎ ‎(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB.若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎(备用图)‎ ‎{解析}(1)运用待定系数求抛物线的解析式即可；‎ ‎(2)作点C关于x轴的对称点，将EC＋ED转化到同一条直线上求其最小值；‎ ‎(3)利用圆周角定理求点P的位置，再求其坐标.‎ ‎{答案}解：(1)在直线y＝－x＋3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝3，故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，把点B、C的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得：‎ 解得：‎ 故该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.‎ ‎(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C’(0，－3)，则EC＝EC’，EC＋ED＝EC’＋ED.‎ 当点C’、E、D共线时，EC’＋ED的值最小，即EC＋ED的值最小.‎ 将抛物线的解析式配方，得：y＝－(x－1)2＋4，故点D的坐标为(1，4).‎ 故DC’＝＝5.‎ 设直线DC’的解析式为y＝mx＋n，代入点C’、D的坐标，得：‎ 解得：‎ 故直线DC’的解析式为y＝7x－3，易求点E的坐标为(，0).‎ 故当点E的坐标为(，0)，EC＋ED的值有最小值为5.‎ 图1图2‎ ‎(3)存在.‎ 如图2，连接BC交对称轴于点G，连接AG，由直线BC的解析式y＝－x＋3易知△BOC和△ABG都是等腰直角三角形，以点G为圆心，以GA为半径作圆交对称轴于点P，点P位于弦AB上方，由圆周角定理可知∠APB＝∠AGB＝45°＝∠OCB.易求AG＝BG＝PG＝2，则点P的纵坐标为2＋2，横坐标为1，故点P的坐标为(1， 2＋2).‎ 同理，如点P’的位置，点P’与点P关于x轴对称，此时∠AP’B＝∠AHB＝45°＝∠OCB，点P的坐标为(1，－2－2).‎ ‎{分值}14分 ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:最短路线问题}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{题目}26．(2019年内蒙古赤峰)【问题】‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过 点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.‎ 图1图2‎ ‎【探究发现】‎ ‎(1)如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；‎ ‎【数学思考】‎ ‎(2)如图3，若点P是AC上的任意一点(不含 端点A、C)，受(1)的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；‎ 图3图4‎ ‎【拓展引申】‎ ‎(3)如图4，在(1)的条件下，M是AB边上任意一点(不含 端点A，B)，N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q.这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值.‎ ‎{解析}(1)根据等腰三角形的性质证明；‎ ‎(2)根据“ASA”判定△PCD≌△PGD，由此证明结论；‎ ‎(3)根据比例的性质，建立比例等式，用BM表示出BQ的长，再根据表达式的性质求出最大值.‎ ‎{答案}(1)证明：∵CD∥AB，‎ ‎∴∠DCB＝∠ABC＝45°，‎ ‎∴△BCD是等腰直角三角形，‎ ‎∴DP＝DB.‎ ‎(2)∵CD∥AB，‎ ‎∴∠DCG＝∠ABC＝45°，则△CDG是等腰直角三角形，‎ ‎∴DC＝DG，∠CGD＝45°.‎ ‎∴∠PCD＝∠PCB＋∠DCG＝135°，∠BGD＝180°－∠DGC＝135°，‎ ‎∴∠PCD＝∠BGD.‎ 又∵∠CDG－∠PDG＝∠PDB－∠PDG，‎ ‎∴∠PDC＝∠BDG.‎ 在△PCD和△PGD中 ‎∴△PCD≌△PGD(ASA)，‎ ‎∴DP＝DB.‎ ‎(3)2‎ ‎【解析】如图，过点Q作QG⊥BM，垂足为点G，则△BGQ是等腰直角三角形.‎ 设BQ＝y，BM＝x，则QG＝BG＝y，AM＝BN＝4－x，MG＝x－y.‎ ‎∵CD∥AB，BD⊥CD，‎ ‎∴BD⊥AB，‎ ‎∴QG∥BD，‎ ‎∴＝，即＝，化简，得：y＝－x2＋x，‎ 将该函数配方，得：y＝－(x－2)2＋2.‎ 又∵x的取值范围为0＜x＜4，故当x＝2时，y有最大值，最大值为2，故BQ的最大值为2.‎ ‎{分值}14分 ‎{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:平行线分线段成比例}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎