高考数学三轮专项模拟试卷理概率与统计含解析

高考数学三轮专项模拟试卷理概率与统计含解析

概率与统计 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝(　　)‎ A．{－2，－1}　　　　　　 B．{－2}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1}‎ ‎【解析】　∵A＝(－1，＋∞)，B＝{－2，－1,0,1}，‎ ‎∴∁RA＝(－∞，－1]，故(∁RA)∩B＝{－2，－1}．‎ ‎【答案】　A ‎2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 ‎【解析】　不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样．‎ ‎【答案】　C ‎3．使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)‎ A．4　　　　 B．‎5　　‎　　 ‎ C．6　　　　 D．7‎ ‎【解析】　Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．‎ ‎【答案】　B ‎4．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(　　)‎ 图1‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】　设被污损的数字为a(0≤a≤9且a∈N)，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a，解得8＞a，即得0≤a≤7且a∈N，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P＝＝，故应选C.‎ ‎【答案】　C ‎5．(2013·山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为(　　)‎ 图2‎ A．0.2,0.2 B．0.2,0.8‎ C．0.8,0.2 D．0.8,0.8‎ ‎【解析】　第一次a＝－1.2时，输出a＝0.8.‎ 第二次a＝1.2时，输出a＝0.2.‎ ‎【答案】　C ‎6．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)‎ 图3‎ ‎【解析】　由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A.‎ ‎【答案】　A ‎7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　X的可能取值为1,2,3，‎ ‎∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，‎ ‎∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，‎ 由E(X)＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，得p＜或p＞(舍)，‎ ‎∴0＜p＜.‎ ‎【答案】　C ‎8．(2013·安徽高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b；‎ 由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，‎ 当f(x1)＝x1＜x2时，‎ 作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．‎ 即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．‎ ‎【答案】　A 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)‎ ‎9．(2013·广东高考改编)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是________．‎ ‎【解析】　由题意知x＋yi＝＝4－3i.‎ ‎∴|x＋yi|＝|4－3i|＝5.‎ ‎【答案】　5‎ ‎10．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．‎ ‎【解析】　第一步先排甲，共有A种不同的排法；第二步再排其他人，共有A种不同的排法，因此不同的演讲次序共有A·A＝480(种)．‎ ‎【答案】　480‎ ‎11．(2013·东北四市联考)已知x，y取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎6.1‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝________.‎ ‎【解析】　∵＝4，＝5.25，因线性回归方程通过样本点中心(，)，故有5.25＝0.95×4＋a，∴a＝1.45.‎ ‎【答案】　1.45‎ ‎12．(2013·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图4所示．‎ 图4‎ ‎(1)直方图中x的值为________；‎ ‎(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．‎ ‎【解析】　(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1，可求出x的值；(2)求出月用电量落在[100,250)内的频率，即可求得月用电量在[100,250)内的户数．‎ ‎(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4.‎ ‎(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，‎ 所以月用电量在[100,250)内的户数为100×0.7＝70.‎ ‎【答案】　(1)0.004 4　(2)70‎ ‎13．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)‎ ‎【解析】　(x＋y)5展开式的通项是Tr＋1＝Cx5－ryr，‎ 令r＝3得T4＝Cx2y3＝10x2y3，‎ ‎∴二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.‎ ‎【答案】　10‎ ‎14．(2013·东城模拟)已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．‎ ‎【解析】　依题意，所有(x，y)的结果为CC＝6种．‎ 若a⊥b，则a·b＝0，即3x－y＝0，而满足a⊥b的结果只有(1,3)．由古典概型概率计算公式得P＝.‎ ‎【答案】　 ‎15．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)‎ ‎【解析】　假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，‎ 则∴ 又s＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝1，‎ ‎∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.‎ 同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.‎ 由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.‎ ‎【答案】　1,1,3,3‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：‎ 休闲方式 性别　　　‎ 看电视 看书 合计 男 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 女 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎(1)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【解】　(1)依题意，随机变量X的取值为0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为P＝.‎ 根据题意可得X～B(3，)，‎ ‎∴P(X＝k)＝C()3－k()k，k＝0,1,2,3.‎ ‎∴E(X)＝np＝3×＝.‎ ‎(2)提出假设H0：休闲方式与性别无关系．‎ 根据样本提供的2×2列联表得 K2＝＝ ‎＝≈8.889>6.635.‎ 因为当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，所以我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“在20：00－22：00时间段性别与休闲方式有关”．‎ ‎17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)如图5是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；‎ ‎(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)‎ 图5‎ ‎【解】　(1)在‎3月1日至‎3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为.‎ ‎(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.‎ ‎(3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ ‎18．(本小题满分12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3‎ 乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5‎ ‎(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；‎ ‎(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；‎ ‎(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．‎ ‎【解】　(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：‎ ‎(2)因为甲＝乙＝8.5，又s＝0.27，s＝0.405，‎ 得s＜s，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．‎ ‎(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B(3，)．‎ 所以P(ξ＝k)＝C()3－k(1－)k＝C()3，‎ k＝0,1,2,3.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 图6‎ ‎19．(本小题满分13分)如图6所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，斜率为2的直线l过点A(2,3)．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．‎ ‎【解】　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由题意e＝＝，＋＝1，‎ 又∵c2＝a2－b2，‎ 解得：c＝2，a＝4，b＝2，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)．‎ ‎∵PQ⊥l，‎ ‎∴kPQ＝＝－，‎ 又∵ 两式相减得：＋＝0.‎ ‎∴＝－＝－×(－)＝，‎ 即＝，③‎ 又∵R(x0，y0)在直线l上，‎ ‎∴y0＝2x0－1，④‎ 由③④解得：x0＝2，y0＝3，‎ 所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，‎ 故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．‎ ‎20．(本小题满分13分)(2013·福州调研)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障时间x(年)‎ ‎02‎ ‎02‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；‎ ‎(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．‎ ‎【解】　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)依题意得，X1的分布列为 X1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X2的分布列为 X2‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ P ‎(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，‎ E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．‎ 因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．‎ ‎21．(本小题满分13分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ 图7‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【解】　(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.‎ 所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：‎ 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝C×0×3＝，‎ P(ξ＝1)＝C×1×2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×2×1＝，‎ P(ξ＝3)＝C×3×0＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ 即ξ的数学期望为1.‎