数学理卷·2018届河南省南阳市下期高二期终质量评估(2017-07)

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数学理卷·2018届河南省南阳市下期高二期终质量评估(2017-07)

南阳市2017年舂期高中二年级期终质量评估 数学试卷(理科)‎ ‎ 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。试卷满分150分。考试时间120分钟。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的﹒ ‎ ‎1.已知:,则=( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析:‎ ‎2.设随机变量~,随机变量~ ,若,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ 解析:因为,所以,所以.故~ ,因此,‎ y x O ‎1‎ ‎3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密度曲线在正方形內的部分)的点的个数的估计值为( )‎ A. B. C. D.‎ 附:若,则,‎ ‎ ‎ 解析:由题意知:,,‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以,落阴影部分的点的个数为1359.‎ ‎4.已知,的取值如下表,从散点图分析,与线性相关,且回归方程为,则=( )‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析:,,点()在直线上,故 ‎5.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则=(  )‎ ‎ A.35 B.‎48 ‎ C.63 D.80‎ 解析:方法一:找规律:3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,35=5×7,48=6×8,63=7×9‎ ‎ 方法二:由得:,解得:‎ ‎6.从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则另一张也是假钞的概率为(   )‎ A. B. C. D.‎ 解析:记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A,记“抽出的两张都是假币”为事件B,则 ‎7.函数的部分图象是( D ) ‎ ‎8、已知函数函数,其中,若函数在区间内恰好有两个零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:易知函数在区间内单调增加,在区间单调减少,从而函数在区间内恰好有两个零点,当且仅当 ‎ ,解得 ‎9.已知:,则=( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析:令,则,‎ ‎ 故 ‎10.已知数列各项的绝对值均为,为其前项和.若,则该数列的前七项的可能性有( )种.‎ ‎ A. B. C. D.42‎ 解析:由可知,前七项之中有5项为,2项为,故该数列前七项的排列有 ‎11.若f(x)=,则f(2017)=(   )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析:由题可知:当时,,所以,故 ‎12.已知定义在上函数是可导的,,且,则不等式的解集是( )(注:为自然对数的底数)‎ A. B. C. D.‎ 解析:设,则,因为,由已知可得,,即函数是单调减函数,,故,即,则有,‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分, 请将正确答案填在答题纸上.‎ ‎13.在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项互不相邻的概率为__________(用最简分数表示).‎ 解析:.‎ 由题意可知,展开式的通项为:(0,1,2,…,),则有,得.则当时,为整数,即在展开式的9项中,有3项为有理项,则所求的概率为 ‎14.若函数无极值点,则的取值范围是______.‎ 解析:答案: (数形结合)‎ ‎ ,设令,即,设,,易求过点的曲线的切线方程为,因此,由题意可得,,故 ‎15.已知结论:“在正△ABC中,若D是BC的中点,G是△ABC外接圆的圆心,则”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在正四面体ABCD中,若M是△BCD的三边中线的交点,O为四面体ABCD外接球的球心,则=  .‎ 解析:.‎ ‎【方法一】如图,设正四面体ABCD的边长为,其外接球的半径为,则有,,,故,则,在中,,解得,,即,,故.‎ ‎【方法二】:等体积法得H=4r ‎16.已知函数的导函数为,且,则=_______.‎ 解析:‎ ‎ 设,则,所以,, ‎ ‎ 令,求得,故,‎ ‎ 因此,,‎ ‎ 则有,得.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎ 已知:二项式展开式中所有项的二项式系数和为64,‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)若展开式所有项的系数和为,其中为有理数,求和的值.‎ 解析:(1)由题意,, ………………………………4分 ‎ (2)展开式的通项为() …………6分 则, …………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………10分 ‎【方法二】令,则,‎ 因为 故,,.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表:‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人?‎ ‎(2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率.‎ ‎(3)为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关,计算出,你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关?‎ 附:‎ 下面的临界值表供参考:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解析:(1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 ‎ ∴男生应该抽取人………………………………….4分 ‎(2)在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人,男生4人。 则从6名学生任取2名的所有情况为:种情况,其中恰有1名女生情况有:种情况, ‎ 故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为. ………………….8分 ‎(3)∵,且, ‎ ‎ 那么,我们有的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的……….12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(1)已知:,求证:;‎ ‎(2)已知:,求证:.‎ 解析:(1)不妨令,则,设,则 故在上是单调增加的,因此,,故.‎ 即:. ……………………………………………………6分 ‎ (2)【方法一】由(1)知,即,‎ ‎ 令,并相加得 ‎ ‎ ‎ 即得: …………………………………………12分 ‎【方法二——数学归纳法】‎ ‎ 证明:①当时,,即左边右边,命题成立;‎ ‎ ②假设当()时,命题成立,‎ ‎ 即成立,‎ ‎ 当时 ‎ 右边=‎ ‎ 由(1)知:令,有,即 ‎ 因此有:左边=‎ ‎ 故,左边右边,‎ ‎ 即,当时,命题成立.‎ ‎ 综上①②,当,成立.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 学校在军训过程中要进行打靶训练,给每位同学发了五发子弹,打靶规则:每个同学打靶过程中,若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击,否则将子弹打完.假设张同学在向目标射击时,每发子弹的命中率为.‎ (1) 求张同学前两发只命中一发的概率;‎ (2) 求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数的分布列与期望.‎ 解析:记“第发子弹命中目标”为事件,则相互独立,且,,其中 ‎(1)张同学前两发子弹只命中一发的概率为 ‎ ……………………4分 (2) 的所有可能取值为 ‎ ……………………………………6分 ‎ …………………………………8分 ‎ ……………………………9分 ‎ …………………………10分 综上,的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 故 ………………………………………………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人,则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.‎ ‎(1)该小组中男女学生各多少人?‎ ‎(2)9个学生站成一列队,现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队,问有多少种重新站队的方法?(要求用数字作答)‎ ‎(3)9名学生站成一列,要求男生必须两两站在一起,有多少种站队的方法?(要求用数字作答)‎ 解析:‎ (1) 设男生有人,则 ‎ ,即,解之得,‎ 故男生有人,女生有人. ……………………………………………………4分 (2) ‎【方法一】按坐座位的方法 ‎ 第一步:让6名男生先从9个位置中选6个位置坐,共有=60480种;‎ ‎ 第二步:余下的座位让3个女生去坐,因为要保持相对顺序不变,故只有1种选择;‎ ‎ 故,一共有种重新站队方法. ……………………………8分 ‎ 【方法二】除序法 ‎ 第一步:9名学生站队共有种站队方法;‎ ‎ 第二步:3名女生有种站队顺序;‎ ‎ 故一共有=种重新站队方法. …………………………………………8分 (3) 第一步:将6名男生分成3组,共有种;‎ ‎ 第二步:三名女生站好队,然后将3组男生插入其中,共有种 ‎ 第三步:3组男生中每组男生站队方法共有种 ‎ 故一共有:种站队方法.………………………………12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数().‎ ‎ (1)求的单调区间;‎ ‎ (2)曲线是否存在经过原点的切线,若存在,求出该切线方程,若不存在说明理由.‎ 解析:(1)的定义域为,‎ ‎ ‎ ‎ 令,则 ‎ 故函数在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎ , …………………………………………3分 ‎ 即当时,‎ ‎ 所以,的单调增区间为 ………………………………5分 ‎ (2)不妨设曲线在点处的切线经过原点,‎ ‎ 则有,即, ………………7分 ‎ 化简得:.(*)‎ ‎ 记,则,…………9分 ‎ 令,解得.‎ ‎ 当时,,当时,,‎ ‎ ∴是的最小值,即当时,.‎ ‎ 由此说明方程(*)无解,∴曲线没有经过原点的切线.………………12分
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