【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业

【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业

‎ 2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业 ‎1、已知一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是，则________‎ ‎2、已知三阶行列式，元素的余子式的值与代数余子式的值之和为 ．‎ ‎3、方程的解为______．‎ ‎4、定义四个数的二阶积和式.九个数的三阶积和式可用如下方式化为二阶积和式进行计算： .已知函数 ，则的最小值为__________. 5、求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.‎ ‎6、已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程．‎ ‎7、已知矩阵M＝的逆矩阵M－1＝，求实数m，n．‎ ‎8、已知，向量是矩阵的属于特征值-4的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.‎ ‎9、已知点在矩阵对应的变换作用下得到的点，求：‎ ‎（1）矩阵；‎ ‎（2）矩阵的特征值及对应的特征向量.‎ ‎10、已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点 ‎（1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.‎ ‎11、已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求与.‎ ‎12、已知矩阵不存在逆矩阵，求：‎ ‎（1）实数的值；（2）矩阵的特征向量.‎ ‎13、在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．‎ ‎14、求矩阵的特征值和特征向量.‎ ‎（2）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程（是参数），若圆与圆相切，求实数的值.‎ ‎15、已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．‎ ‎16、已知矩阵，，.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的逆矩阵.‎ ‎17、在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵的逆矩阵.‎ ‎18、已知矩阵将直线l：x＋y－1＝0变换成直线l′．‎ ‎(1)求直线l′的方程；‎ ‎(2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A－1‎ ‎；若不可逆，请说明理由．‎ ‎19、已知：点在变换：作用后，再绕原点逆时针转90°，得到点，若点的坐标为（-3,4），求点的坐标.‎ ‎20、已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值．‎ 参考答案 ‎1、答案：5‎ 由题意可得： ，则： ，‎ 据此可得： .‎ ‎2、答案：‎ 元素8的余子式为：6，元素8的代数余子式为：（﹣1）56，由此能求出元素8的余子式的值与代数余子式的值之和．‎ ‎【详解】‎ ‎∵三阶行列式，‎ ‎∴元素8的余子式为：6，‎ 元素8的代数余子式为：（﹣1）56，‎ ‎∴元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为：﹣6+6＝0.‎ 故答案为：0.‎ 名师点评：‎ 本题考查行列式的余子式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3、答案：‎ 方程可化为，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由得即，解得.‎ 故答案为 名师点评：‎ 本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型.‎ ‎4、答案：-21‎ 由题中新定义的运算可得：‎ ‎=(？9)×(2n+1)+2(n2+n)+n(n+2n)=5n2？16n？9，‎ ‎∵n∈N？,∴n=2时,f(n)的最小值为？21.‎ 名师点评：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。‎ ‎5、答案：‎ 试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程：，再根据曲线形状：菱形，计算其面积：．‎ 试题设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，‎ 则由，3分 得：即5分 所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，8分 所围成的图形为菱形，其面积为．10分 考点：矩阵变换 6、答案：.‎ 试题分析：分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．‎ 详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．‎ 设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．‎ 因为P0(x0，y0)在直线l:x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0.①‎ 由AB，即，‎ 得,即,②‎ 将②代入①得x－4y＋4＝0，‎ 所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0.‎ 名师点评：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. 7、答案：‎ 试题分析：根据矩阵的变换进行化简，列出方程组，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 所以解得 名师点评：‎ 本题主要考查了矩阵与变换的应用，其中解答中根据矩阵和变换，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 8、答案：，另一个特征值为1‎ 试题分析：利用A4，可得A，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．‎ ‎【详解】‎ 由已知，即，‎ 则所以所以矩阵，‎ 所以矩阵A的特征多项式为，‎ 所以矩阵A的另一个特征值为1‎ 名师点评：‎ 本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题． 9、答案：（1）；（2）时，对应特征向量：；时，对应特征向量：‎ ‎.‎ 试题分析：（1）根据矩阵的乘法公式计算即可；（2）写出矩阵的特征多项式，令＝0，得矩阵的特征值，即可得到特征向量.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），所以，，解得：,‎ 所以，.‎ ‎（2）矩阵的特征多项式 ‎，‎ 令＝0，得矩阵的特征值：或，‎ 时，，得一非零解：，对应特征向量：；‎ 时，，得一非零解：，对应特征向量：.‎ 名师点评：‎ 本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题． 10、答案：(1)(2)‎ 试题分析：（1）由可解得；（2）矩阵的特征多项式为 ‎，令，得矩阵的特征值为与，再分别求其相应的特征向量.‎ 试题 ‎（1）由 ‎（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 令，得矩阵的特征值为与 当时，‎ 矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为；‎ 当时，‎ 矩阵的属于特征值4的一个特征向量为. 11、答案：，‎ 试题分析：‎ 由向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量可得，由此可求得，从而可得，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得．‎ 试题 由已知得，‎ 所以 所以.‎ 设，‎ 则，‎ 即.‎ 解得，，，‎ 所以.‎ 综上，. 12、答案：(1)；(2)答案见解析.‎ 试题分析：（1）根据题意，将问题转化为行列式为0进行求解；（2）利用特征向量的定义进行求解.‎ 试题（1）由题意，即，解得；‎ ‎（2），即，所以，解得，‎ 时，，，属于的一个特征向量为；‎ 时，，，属于的一个特征向量为. 13、答案：12‎ 试题分析：依次实施变换，所对应的矩阵，分别求得点，，在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.‎ 试题依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．‎ 则，，．‎ ‎∴分别变为点．‎ ‎∴所得图形的面积为． ‎ ‎14、答案：（1）属于的一个特征向量，属于的一个特征向量为，‎ ‎（2），或.‎ 试题分析：（1）求得矩阵的特征多项式，令，求得M的特征值，分别将特征值代入二元一次方程组，即可求得其特征向量；（2）根据圆的极坐标方程和参数方程化圆方程为直角坐标方程，利用两圆相切即可求出.‎ 试题 ‎（1）‎ 由可得：，.‎ 由可得属于的一个特征向量 由可得属于的一个特征向量为 ‎（2）：，圆心，半径，‎ ‎：，圆心，边境.‎ 圆心距，‎ 两圆外切时，，；‎ 两圆内切时，，.‎ 综上，，或. 15、答案：‎ 试题分析：设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设所求二阶矩阵 因为有特征值，其对应的一个特征向量为 所以，且 所以，解得 所以 名师点评：‎ 本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题. 16、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：(1)由题得即得（2）由题得，即得的逆矩阵.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，，，‎ 所以即 ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 17、答案：.‎ 试题分析：‎ 应用结合矩阵变换的定义可得：，据此求解逆矩阵可得：.‎ 试题 设是直线上任意一点，其在矩阵对应的变化下得到 仍在直线上，‎ 所以得，与比较得，解得，故,‎ 求得逆矩阵. 18、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）任取直线上一点经矩阵变换后点为,利用矩阵乘法得出坐标之间的关系,求出直线的方程；(2)利用待定系数法,先假设所求的变换矩阵,再利用,建立方程组,解之即可.‎ 试题(1)在直线l上任取一点P(x0，y0)，‎ 设它在矩阵A＝对应的变换作用下变为Q(x，y)．‎ 则＝，∴即 又∵点P(x0，y0)在直线l：x＋y－1＝0上，∴＋－1＝0，‎ 即直线l′的方程为4x＋y－7＝0.‎ ‎(2)∵≠0，∴矩阵A可逆．设A－1＝，∴AA－1＝，‎ ‎∴解得∴A－1＝. 19、答案：.‎ 试题分析：在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．‎ 试题 根据题意知，在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，则由，得，∴，即. 20、答案：‎ 试题分析：先根据逆矩阵公式得逆矩阵，再根据矩阵运算得直线上一点坐标，代入可得斜率 试题矩阵，得，‎ 所以，‎ 将点代入直线得. ‎