2021届新高考版高考数学一轮复习精练:§2-2 基本不等式与不等式的综合应用(试题部分)

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文档介绍

2021届新高考版高考数学一轮复习精练:§2-2 基本不等式与不等式的综合应用(试题部分)

‎§2.2 基本不等式与不等式的综合应用 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一 基本不等式及其应用 ‎1.下列结论正确的是 (  )‎ A.当x>0且x≠1时,lg x+‎1‎lgx≥2‎ B.当x∈‎0,‎π‎2‎时,sin x+‎4‎sinx的最小值为4‎ C.当x>0时,x+‎1‎x≥2‎ D.当01     D.k≤0或k≥1‎ 答案 A ‎6.已知函数f(x)=x2+(2m-1)x+1-m,若对任意m∈[-1,0],都有f(x)>0成立,则实数x的取值范围为(  )‎ A.(-1,2)      B.(1,2)‎ C.(-∞,-1)∪(2,+∞)     D.(-∞,1)∪(2,+∞)‎ 答案 D ‎7.已知a>b>0,则a2+‎64‎b(a-b)‎的最小值为    . ‎ 答案 32‎ ‎8.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是    . ‎ 答案 ‎‎-‎2‎‎2‎,0‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一 利用基本不等式求最值 ‎1.(2018黑龙江七台河测试)已知m=8-n,m>0,n>0,则mn的最大值为(  )‎ A.4   B.8   C.16   D.32‎ 答案 C ‎2.(2019新疆第一次毕业诊断,10)函数y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则‎1‎m+‎2‎n的最小值是(  )‎ A.6   B.7   C.8   D.9‎ 答案 C ‎3.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列{an}满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得aman=32,则‎1‎m+‎4‎n的最小值为(  )‎ A.‎3‎‎4‎   B.‎9‎‎10‎   C.‎3‎‎2‎   D.‎‎9‎‎5‎ 答案 A 考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法 ‎4.(2018安徽安庆模拟,9)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈‎0,‎‎1‎‎2‎恒成立,则a的最小值是(  )‎ A.0   B.-2   C.-‎5‎‎2‎   D.-3‎ 答案 C ‎5.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为(  )‎ A.‎2‎   B.2‎2‎   C.4   D.‎‎9‎‎2‎ 答案 B ‎6.(2018山西太原一模,12)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时, f(x)=‎-x‎2‎+1,0≤x<1,‎‎2-‎2‎x,x≥1,‎若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是(  )‎ A.-1   B.-‎1‎‎2‎   C.-‎1‎‎3‎   D.‎‎1‎‎3‎ 答案 C ‎7.(2018江苏南京金陵中学月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是    . ‎ 答案 ‎‎1,‎‎5‎‎4‎ 应用篇知行合一 ‎【应用集训】‎ ‎1.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第三次联考,10)已知点A,B是函数y=2x图象上的相异两点,若点A,B到直线y=‎1‎‎2‎的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1)   B.(-∞,-2)   C.(-1,+∞)   D.(-2,+∞) ‎ 答案 B ‎2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是    . ‎ 答案 30‎ ‎3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=‎76 000vv‎2‎‎+18v+20l.‎ ‎(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为    辆/小时; ‎ ‎(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加    辆/小时. ‎ 答案 (1)1 900 (2)100‎ ‎【五年高考】‎ 考点一 基本不等式及其应用 ‎1.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则‎(x+1)(2y+1)‎xy的最小值为    . ‎ 答案 4‎‎3‎ ‎2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+‎1‎‎8‎b的最小值为    . ‎ 答案 ‎‎1‎‎4‎ ‎3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则a‎4‎‎+4b‎4‎+1‎ab的最小值为    . ‎ 答案 4‎ 考点二 不等式的综合应用 ‎4.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=x‎2‎‎-x+3,x≤1,‎x+‎2‎x,x>1.‎设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x‎2‎‎+a在R上恒成立,则a的取值范围是(  )‎ A.‎-‎47‎‎16‎,2‎      B.‎‎-‎47‎‎16‎,‎‎39‎‎16‎ C.[-2‎3‎,2]     D.‎‎-2‎3‎,‎‎39‎‎16‎ 答案 A ‎5.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.‎ ‎①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付    元; ‎ ‎②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为    . ‎ 答案 ①130 ②15‎ 教师专用题组 考点一 基本不等式及其应用 ‎1.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是    . ‎ 答案 8‎ 考点二 不等式的综合应用 ‎2.(2013课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=‎-x‎2‎+2x,x≤0,‎ln(x+1),x>0.‎若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,0]   B.(-∞,1]   C.[-2,1]   D.[-2,0]‎ 答案 D ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共40分)‎ ‎1.(2020届山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是(  )‎ A.lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎>lg x(x>0)     B.sin x+‎1‎sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)      D.‎1‎x‎2‎‎+1‎>1(x∈R)‎ 答案 C ‎2.(2020届西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则xy‎2x+y的最大值为(  )‎ A.‎1‎‎4‎   B.‎1‎‎5‎   C.‎1‎‎9‎   D.‎‎1‎‎12‎ 答案 C ‎3.(2020届山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+‎2x+4‎x‎2‎(x>0)的最小值为(  )‎ A.4+2‎2‎   B.4‎2‎   C.8   D.‎2‎+2‎ 答案 A ‎4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,‎1‎a+1‎+‎1‎b+1‎=1,则a+2b的最小值是(  )‎ A.3‎2‎   B.2‎2‎   C.3   D.2‎ 答案 B ‎5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax‎1‎x‎2‎的最大值是(  )‎ A.‎6‎‎3‎   B.‎2‎‎3‎‎3‎   C.‎4‎‎3‎‎3‎   D.-‎‎4‎‎3‎‎3‎ 答案 D ‎6.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当‎1‎a+‎25‎b取最小值时,n的值为(  )‎ A.6   B.7   C.8   D.9‎ 答案 D ‎7.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=‎2‎x‎-1‎‎2‎x‎+1‎+x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则‎1‎a+‎1‎b的最小值是(  )‎ A.1   B.‎9‎‎2‎   C.9   D.18‎ 答案 A ‎8.(2018河北衡水金卷(一),12)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式an+1‎n+1‎<2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为(  )‎ A.(-∞,-2]∪[2,+∞)     B.(-∞,-2]∪[1,+∞)‎ C.(-∞,-1]∪[2,+∞)     D.[-2,2]‎ 答案 A 二、多项选择题(共5分)‎ ‎9.(2020届山东烟台期中,11)下列结论正确的是(  )‎ A.若a>b>0,c‎ad B.若x>y>0,且xy=1,则x+‎1‎y>y‎2‎x>log2(x+y)‎ C.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>‎a‎1‎a‎3‎ D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-‎1‎‎8‎x2‎ 答案 AC 三、填空题(每题5分,共15分)‎ ‎10.(2020届上海复旦大学附中9月综合练,8)已知a‎2‎‎+2a+2‎x≤‎4‎x‎2‎‎-x+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是    . ‎ 答案 [-3,1]‎ ‎11.(2019福建三明第一中学期中,16)设a+2b=4,b>0,则‎1‎‎2|a|‎+‎|a|‎b的最小值为    . ‎ 答案 ‎‎7‎‎8‎ ‎12.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sin x≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是    . ‎ 答案 ‎‎-‎3‎‎2‎,12‎ 四、解答题(共45分)‎ ‎13.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,17)已知函数f(x)=2|x+1|-|x-a|(a∈R).‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤x+2的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+3|x-a|,当a=1时,函数g(x)的最小值为t,且‎2‎m+‎1‎‎2n=t(m>0,n>0),求m+n的最小值.‎ 解析 (1)当a=2时, f(x)=2|x+1|-|x-2|,∴2|x+1|-|x-2|≤x+2,可化为①x≤-1,‎‎-2(x+1)+x-2≤x+2‎或②‎-10,n>0)可得‎1‎‎2m+‎1‎‎8n=1,‎ ‎∴m+n=(m+n)·1=(m+n)‎1‎‎2m‎+‎‎1‎‎8n=‎1‎‎2‎+‎1‎‎8‎+n‎2m+m‎8n≥‎5‎‎8‎+2n‎2m‎·‎m‎8n=‎5‎‎8‎+‎2‎‎4‎=‎9‎‎8‎,当且仅当n‎2m=m‎8n且‎2‎m+‎1‎‎2n=4,即m=‎3‎‎4‎,n=‎3‎‎8‎时,取“=”,∴(m+n)min=‎9‎‎8‎.‎ ‎14.(2020届福建泉州实验中学第一次月考,19)已知函数f(x)=9x-m·3x+1-4.‎ ‎(1)若m=1,求方程f(x)=0的根;‎ ‎(2)若对任意x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,求m的取值范围.‎ 解析 本题主要考查指数型函数及不等式恒成立问题,同时考查了分离参数的方法,考查的核心素养是数学抽象及数学运算.‎ ‎(1)当m=1时, f(x)=9x-3x+1-4=9x-3·3x-4=(3x-4)(3x+1),令f(x)=0,可得3x=4或3x=-1(舍去),则x=log34,因此m=1时,方程f(x)=0的根是log34.‎ ‎(2)由已知∀x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,即9x-3m·3x-4≥-8恒成立,将3m分离出来可得,3m≤3x+‎4‎‎3‎x,令g(x)=3x+‎4‎‎3‎x,x∈[-1,1],设3x=t,则t∈‎1‎‎3‎‎,3‎,g(x)=h(t)=t+‎4‎t,t∈‎1‎‎3‎‎,3‎,而函数y=h(t)在‎1‎‎3‎‎,2‎上为减函数,在[2,3]上为增函数,∴h(t)min=h(2)=2+‎4‎‎2‎=4,由已知可得3m≤h(t)min,∴3m≤4,即m≤‎4‎‎3‎,∴实数m的取值范围是‎-∞,‎‎4‎‎3‎.‎ ‎15.(2019江西九江高三第一次十校联考,22)已知函数f(x)=x2-a‎2‎x+1.‎ ‎(1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若∃x∈[1,2], f(x)≥2成立,求实数a的取值范围.‎ 解析 (1)由题意得Δ=a‎2‎‎4‎-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的取值范围为[-4,4].‎ ‎(2)由题意得∃x∈[1,2],使a‎2‎≤x-‎1‎x成立.‎ 令g(x)=x-‎1‎x,x∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=‎3‎‎2‎,又∵∃x∈[1,2],a‎2‎≤g(x)成立,‎ ‎∴a‎2‎≤‎3‎‎2‎,解得a≤3,∴实数a的取值范围为(-∞,3].‎
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