2020版高中数学 第一章二项式定理

2020版高中数学 第一章二项式定理

‎1.3.1　‎二项式定理 学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ 知识点　二项式定理及其相关概念 思考1　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．‎ 答案　(a＋b)3＝a3＋‎3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋‎4a3b＋‎6a2b2＋4ab3＋b4.‎ 思考2　能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？‎ 答案　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)．‎ 梳理 二项式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理 二项式系数 C(k＝0,1，…，n)‎ 通项 Tk＋1＝Can－kbk 二项式定理的特例 ‎(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn ‎1．(a＋b)n展开式中共有n项．(　×　)‎ ‎2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　×　)‎ ‎3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　×　)‎ ‎4．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　√　)‎ 类型一　二项式定理的正用、逆用 例1　(1)求4的展开式．‎ 考点　二项式定理 题点　运用二项式定理求展开式 11‎ 解　方法一　4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.‎ 方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.‎ ‎(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.‎ 考点　二项式定理 题点　逆用二项式定理求和、化简 解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.‎ 引申探究 若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.‎ 答案　44‎ 解析　∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.‎ 反思与感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.‎ ‎(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．‎ 跟踪训练1　化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.‎ 考点　二项式定理 题点　逆用二项式定理求和、化简 解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.‎ 类型二　二项展开式通项的应用 例2　已知二项式10.‎ ‎(1)求展开式第4项的二项式系数；‎ ‎(2)求展开式第4项的系数；‎ ‎(3)求第4项．‎ 11‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 解　10的展开式的通项是 Tk＋1＝C(3)10－kk＝C310－kk· (k＝0,1,2，…，10)．‎ ‎(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120.‎ ‎(2)展开式的第4项的系数为C373＝－77 760.‎ ‎(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760.‎ 反思与感悟　(1)二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．‎ ‎(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.‎ 跟踪训练2　已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 解　(1)因为T3＝C()n－22＝‎4C，‎ T2＝C()n－1＝－‎2C，‎ 依题意得‎4C＋‎2C＝162，所以‎2C＋C＝81，‎ 所以n2＝81，n∈N*，故n＝9.‎ ‎(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC，所以＝3，k＝1，‎ 所以第二项为含x3的项为T2＝－‎2Cx3＝－18x3.‎ 二项式系数为C＝9.‎ 例3　已知在n的展开式中，第6项为常数项．‎ 11‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 解　通项公式为 Tk＋1＝C(－3)k＝C(－3)k.‎ ‎(1)∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得k＝(10－6)＝2，‎ ‎∴所求的系数为C(－3)2＝405.‎ ‎(3)由题意得， 令＝t(t∈Z)，‎ 则10－2k＝3t，即k＝5－t.∵k∈N，‎ ‎∴t应为偶数．‎ 令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8.‎ ‎∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.‎ 反思与感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ‎①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．‎ ‎(2)求二项展开式的特定项的常用方法 ‎①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；‎ ‎②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；‎ ‎③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．‎ 跟踪训练3　(1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　1‎ 11‎ 解析　展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k(－a)kk ‎＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．‎ 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，‎ 根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1.‎ ‎(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则n的二项展开式的常数项是________．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 答案　160‎ 解析　由题意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCx6－2k，‎ 令6－2k＝0得k＝3，∴常数项为C23＝160.‎ ‎1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于(　　)‎ A．9 B．‎10 C．11 D．8‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　B 解析　因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.‎ ‎2．1－‎2C＋‎4C－‎8C＋…＋(－2)nC等于(　　)‎ A．1 B．‎1 C．(－1)n D．3n 考点　二项式定理 题点　逆用二项式定理求和、化简 答案　C 解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.‎ ‎3.n的展开式中，常数项为15，则n的值为(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 11‎ 答案　D 解析　展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)n－k·(－1)k·k＝(－1)kCx2n－3k.令2n－3k＝0，得n＝k(n，k∈N*)，若k＝2，则n＝3不符合题意，若k＝4，则n＝6，此时(－1)4·C＝15，所以n＝6.‎ ‎4．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)‎ A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 答案　C 解析　24的展开式的通项为Tk＋1＝C·()24－kk＝C，故当k＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．‎ ‎5．求二项式(－)9展开式中的有理项．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 解　Tk＋1＝C·＝(－1)kC·，令∈Z(0≤k≤9)，得k＝3或k＝9，‎ 所以当k＝3时，＝4，T4＝(－1)‎3Cx4＝－84x4，‎ 当k＝9时，＝3，T10＝(－1)‎9Cx3＝－x3.‎ 综上，展开式中的有理项为－84x4与－x3.‎ ‎1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．‎ ‎2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．‎ ‎3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．‎ 一、选择题 ‎1．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　)‎ A．x4 B．x4＋1‎ 11‎ C．(x－2)4 D．x4＋4‎ 考点　二项式定理 题点　逆用二项式定理求和、化简 答案　A 解析　S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4，故选A.‎ ‎2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为(　　)‎ A．－20i B．15i C．20 D．－15‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式中的特定项 答案　D 解析　(1＋i)6展开式中的第3项为Ci2＝－15.‎ ‎3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)‎ A．－840 B．840‎ C．210 D．－210‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 答案　B 解析　在通项公式Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.‎ ‎4．在n的展开式中，若常数项为60，则n等于(　　)‎ A．3 B．6‎ C．9 D．12‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　B 解析　Tk＋1＝C()n－kk＝2kC.‎ 令＝0，得n＝3k.‎ 根据题意有2kC＝60，验证知k＝2，故n＝6.‎ ‎5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为(　　)‎ A．4 B．27‎ 11‎ C．36 D．108‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 答案　D 解析　Tk＋1＝C(3x)k，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第四项的系数为C33＝108.‎ ‎6．在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 答案　C 解析　二项展开式的前三项的系数分别为1，C·，C·2，由其成等差数列，可得‎2C·＝1＋C·2⇒n＝1＋，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展开式的通项Tk＋1＝Ck.若为有理项，则有4－∈Z，所以k可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.‎ ‎7．设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 答案　B 解析　依据分段函数的解析式，‎ 得f(f(x))＝f(－)＝4，‎ ‎∴Tk＋1＝C(－1)kxk－2.‎ 令k－2＝0，则k＝2，故常数项为C(－1)2＝6.‎ 二、填空题 11‎ ‎8.7的展开式中倒数第三项为________．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 答案　 解析　由于n＝7，可知展开式中共有8项，‎ ‎∴倒数第三项即为第六项，‎ ‎∴T6＝C(2x)2·5＝C·22＝.‎ ‎9．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________.‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　11‎ 解析　a＝C，b＝C.∵a∶b＝3∶1，‎ ‎∴＝＝，即＝3，‎ 解得n＝11.‎ ‎10．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m的值为________．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　2‎ 解析　由x10＝[m－(m－x)]10，[m－(m－x)]10的二项展开式的第9项为Cm2(－1)8·(m－x)8，‎ ‎∴a8＝Cm2(－1)8＝180，‎ 则m＝±2.又m>0，∴m＝2.‎ ‎11．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　5‎ 解析　展开式的通项公式Tk＋1＝C(3x)n－kk，‎ ‎∴Tk＋1＝3n－kC，k＝0,1,2，…，n.‎ 令n－k＝0，n＝k，‎ 11‎ 故最小正整数n＝5.‎ 三、解答题 ‎12．若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝‎4A，求a的值．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 解　∵Tk＋1＝Cx6－kk＝(－a)kC，‎ 令6－＝3，则k＝2，得A＝C·a2＝‎15a2；‎ 令6－＝0，则k＝4，得B＝C·a4＝‎15a4.‎ 由B＝‎4A可得a2＝4，又a>0，‎ ‎∴a＝2.‎ ‎13．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：‎ ‎(1)n的值；‎ ‎(2)展开式中x5的系数；‎ ‎(3)含x的整数次幂的项的个数．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求多项展开式中的特定项 解　已知二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kC.‎ ‎(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，‎ 解得n＝10.‎ ‎(2)令2×10－k＝5，得k＝(20－5)＝6.‎ 所以x5的系数为(－1)6‎4C＝.‎ ‎(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．‎ 四、探究与拓展 ‎14．设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点A 11‎ i(i，ai) (i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　3‎ 解析　由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．‎ 即a0＝1，a1＝3，a2＝4.‎ 由n的展开式的通项公式知Tk＋1＝Ck(k＝0,1,2，…，n)．‎ 故＝3，＝4，解得a＝3.‎ ‎15．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中含x项的系数是19(m，n∈N*)．‎ ‎(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；‎ ‎(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 解　(1)由题设知m＋n＝19，所以m＝19－n，‎ 含x2项的系数为C＋C＝C＋C ‎＝＋ ‎＝n2－19n＋171＝2＋.‎ 因为n∈N*，所以当n＝9或n＝10时，x2项的系数的最小值为2＋＝81.‎ ‎(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C＋C＝C＋C＝156.‎ 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