初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第六章 图形性质2 第26讲 圆的弧长和图形面积的计算

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初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第六章 图形性质2 第26讲 圆的弧长和图形面积的计算

人教 数 学 第六章 图形的性质 ( 二 ) 第 26 讲 圆的弧长和图形面积的计算 要点梳理 1 . 弧长及扇形的面积 (1) 半径为 r , n ° 的圆心角所对的弧长公式: ; (2) 半径为 r , n ° 的圆心角所对的扇形面积公式: _ . 要点梳理 2 . 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形 , 若设圆锥的母线长为 l , 底面半径为 r , 那么这个扇形的半径为 l , 扇形的弧长为 2π r . (1) 圆锥侧面积公式: S 圆锥侧 = ; (2) 圆锥全面积公式: S 圆锥全 = . π rl π rl + π r 2 要点梳理 3 . 求阴影部分面积的几种常见方法 (1) 公式法; (2) 割补法; (3) 拼凑法; (4) 等积变形构造方程法; (5) 去重法. 一种联系 圆锥的侧面是一个扇形 , 因而其面积是一个扇形的面积 , 其扇形的半径是圆锥的母线 , 弧长是底面的周长.在求圆锥侧面积或全面积的时候 , 常需要借助于它的展开图进行分析 , 因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要 , 下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系. 一种转化 最短距离问题 , 通常借助于展开图来解决.在将立体图形转化为平面图形后 , 应把题中已知条件转化到具体的线段中 , 最后构造直角三角形解题. 两个技巧 (1) 求运动所形成的路径长或面积时 , 关键是理清运动所形成图形的轨迹变化 , 特别是扇形 , 需要理清圆心与半径的变化; (2) 处理不规则图形的面积时 , 注意利用割补法与等积变换转化为规则图形 , 再利用规则图形的公式求解. 三个等量关系 (1) 展开图扇形的弧长=圆锥底面圆的周长; (2) 展开图扇形的面积=圆锥的侧面积; (3) 展开图扇形的半径=圆锥的母线. 1 . ( 2014· 宜 昌 ) 如图 , 在 4 × 4 的正方形网格中 , 每个小正 方形的边长为 1 , 若将 △ AOC 绕点 O 顺时针旋转 90 ° 得到 △ BOD , 则 AB ︵ 的长为 ( ) A . π B . 6 π C . 3 π D . 1.5 π D 2 . ( 2014· 牡丹江 ) 如图 , AB 是 ⊙ O 的直径 , 弦 CD ⊥ AB , ∠ CDB = 30 ° , CD = 2 3 , 则 S 阴影 = ( ) A . π B . 2 π C. 2 3 3 D. 2 3 π D 3 . ( 2014· 绍兴 ) 如图 , 圆锥的侧面展开图是半径为 3 , 圆心 角为 90 ° 的扇形 , 则该圆 锥的底面周长为 ( ) A. 3 4 π B. 3 2 π C. 3 4 D. 3 2 B 4 . ( 2014 · 成都 ) 在圆心角为 120° 的扇形 AOB 中 , 半径 OA = 6 cm , 则扇形 OAB 的面积是 ( ) A . 6π cm 2 B . 8π cm 2 C . 12π cm 2 D . 24π cm 2 C 弧长公式的应用 【 例 1 】 ( 2013· 遵义 ) 如图 , 将边长为 1 cm 的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动 ( 不滑动 ) , 点 B 从开始到结束 , 所 经过路径的长度为 ( ) A. 3 2 π cm B . ( 2 + 2 3 π ) cm C. 4 3 π cm D . 3 cm C 5 . ( 2014· 河北 ) 如图 , 边长为 a 的正六边形内有两个三角 形 ( 数据如图 ) , 则 S 阴影 S 空白 = ( ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 C 【 点评 】  本题考查了弧长的计算 , 解答本题的关键是仔细观察图形 , 从开始到结束经过两次翻动 , 求出点 B 两次划过的弧长 , 即可得出所经过路径的长度.注意熟练掌握弧长的计算公式. 1 . ( 2014· 龙东 ) 一圆锥体形状的水晶饰品 , 母线长是 10 cm , 底面圆的直径是 5 cm , 点 A 为圆锥底面圆周上一点 , 从 A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A 点 , 则彩带最少用多 少厘米 ( 接口处重合部分忽略不计 )( ) A . 10 π cm B . 10 2 cm C . 5 π cm D . 5 2 cm B  扇形面积公式的运用 【 例 2 】  如图 , BD 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷.如果 BO = 65 cm , DO = 15 cm , 当 BD 绕点 O 旋转 90° 时 , 求刮雨刷 BD 扫过的面积. 解:在 △ AOC 和 △ BOD 中 , ∵ OC = OD , AC = BD , OA = OB , ∴△ AOC ≌△ BOD , ∴ 阴影部分的面积为扇环 的面积 , 即 S 阴影 = S 扇形 AOB - S 扇形 COD = 1 4 π ( OA 2 - OC 2 ) = 1 4 π × ( 65 2 - 15 2 ) = 1000 π ( cm 2 ) 【 点评 】 阴影部分一般都是不规则的图形 , 不能直接 用公式求解 , 通常有两条思路 , 一是转化成规则图形面 积的和、差;二是进行图形的割补 . 此题可利用图形的 割补 , 把 △ OAC 放到 △ OBD 的位置 . 扇形面积公式和弧 长公式容易混淆 . S 扇形 = n 360 π R 2 = 1 2 lR . 2 . ( 2014· 莱芜 ) 如图 , AB 为半圆的直径 , 且 AB = 4 , 半圆 绕点 B 顺时针旋转 45 ° , 点 A 旋转到 A′ 的位置 , 则图中 阴影部分的面积为 ( ) A . π B . 2 π C. π 2 D . 4 π B 圆锥的侧面展开图 【 例 3 】   (1) ( 2014 · 黔南州 ) 如图 , 圆锥的侧面积为 15 π , 底面圆半径为 3 , 则该圆锥的高 AO 为 ( ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 15 B ( 2 ) ( 2014· 牡丹江 ) 如图 , 如果从半径为 3 cm 的圆形纸片上 剪去 1 3 圆周的一个扇形 , 将留下的扇形围成一个圆锥 ( 接缝 处不重叠 ) , 那么这个圆锥的底面半径是 __ __ cm. 2 【 点评 】  就圆锥而言 , “ 底面圆的半径 ” 和 “ 侧面展开图的扇形半径 ” 是完全不同的两个概念 , 要注意其区别和联系 , 其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长 , 扇形的半径为圆锥的母线长;圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形. 3 . 现有 30% 圆周的一个扇形彩纸片 , 该扇形的半径为 40 cm , 小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目 , 她打算剪去部分扇形纸片后 , 利用剩下的纸片制作成一个底面半径为 10 cm 的圆锥形纸帽 ( 接缝处不重叠 ) , 求剪去的扇形纸片的圆心角度数. 解: ∵ 圆锥的母线长为 40 , 底面半径为 10 , ∴ 圆锥展开 图的圆心角= 20 40 × 180 ° = 90 ° , ∴ 剪去扇形纸片的圆心 角度数= 360 ° × 30% - 90 ° = 108 ° - 90 ° = 18 ° 求阴影部分的面积 【 例 4 】 ( 2014· 黔西南州 ) 如图 , 点 B , C , D 都在 ⊙ O 上 , 过 C 点作 CA ∥ BD 交 OD 的延长线于点 A , 连接 BC , ∠ B = ∠ A = 30 ° , BD = 2 3 . (1) 求证: AC 是 ⊙ O 的切线; (2) 求由线段 AC , AD 与弧 CD 所围成的阴影部分的面积. ( 结果保留 π ) 【 点评 】  本题考查了平行线的性质 , 圆周角定理 , 扇形的面积 , 三角形的面积 , 解直角三角形等知识点的综合运用. 4 . ( 2014 · 河南 ) 如图 , 在菱形 ABCD 中 , AB = 1 , ∠ DAB = 60° , 把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30° 得到菱形 AB′C′D′ , 其中点 C 的运动路径为 CC′ , 则图中阴影部分的面积为 . 试题 扇形的半径为 30 cm , 圆心角为 120 ° , 用它做成一 个圆锥的侧面 , 求圆锥的侧面积是多少? 错解 解:设圆锥的底面半径为 r , 母线长为 l . ∵ 120 360 π r 2 = π rl , ∴ 120 360 π × 30 2 = π × 30 × l , 解得 l = 10 , ∴ S 侧面积 = π r × l = 300 π ( cm 2 ) . 剖析 上述解法混淆了圆锥底面半径和扇形半径 , 看上去好像答案是 正确的 , 这只不过是题设中数据的一种巧合而已 . 圆锥底面半径 ≠ 扇 形半径 , 圆锥的侧面展开图是一个扇形 , 若设圆锥的母线为 l , 底面 圆的半径为 r , 那么这个扇形的半径为 l , 扇形的弧长为 2 π r , 面积 S 圆锥 侧 = 1 2 ( 2 π r ) · l = π rl , S 圆锥表 = π r 2 + π rl , 扇形的圆心角 θ = r l × 360 ° , 如图 . 正解 解:设圆锥的底面半径为 r , 母线长为 l , 已知 l = 30. ∵ r l × 360 ° = 120 ° , ∴ r = 10 , ∴ S 侧面积 = π rl = 300 π ( cm 2 ) .或: S 侧面积 = S 扇形 = n 360 × π r 2 = 120 360 × π × 30 2 = 300 π ( cm 2 ) .
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