2017-2018学年湖北省襄阳四中高二（上）第一次月考数学试卷（解析版）

2017-2018学年湖北省襄阳四中高二（上）第一次月考数学试卷（解析版）

‎2017-2018学年湖北省襄阳四中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）直线=0的倾斜角α是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0所确定的直线必经过点（　　）‎ A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣6，2） D．（）‎ ‎3．（5分）如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．（5分）直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（　　）‎ A．[0，] B．[0，1] C．[0，2] D．（0，）‎ ‎5．（5分）若l1：x+（m+1）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+8=0的图象是两条平行直线，则m的值是（　　）‎ A．m=1或m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2 D．m的值不存在 ‎6．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）‎ A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0‎ ‎7．（5分）已知两点A（1，2），B（3，1）到直线l距离分别是，﹣，则满足条件的直线l共有（　　）条．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（　　）‎ A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 ‎9．（5分）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎10．（5分）圆心在直线2x﹣y=3上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣3）2+（y﹣3）2=9‎ B．（x﹣1）2+（y+1）2=1‎ C．（x﹣3）2+（y﹣3）2=16或（x﹣1）2+（y+1）2=4‎ D．（x﹣3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y+1）2=1‎ ‎11．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）‎ A．b=a3 B．‎ C． D．‎ ‎12．（5分）已知点A在直线x+2y﹣1=0上，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为P（x0，y0），且满足y0＞x0+2，则的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，﹣） B．（﹣∞，﹣] C．（﹣，﹣] D．（﹣，0）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知定点A（3，1），动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为　 　．‎ ‎14．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是　 　元．‎ ‎15．（5分）过点（1，6）作直线l，若直线l经过点（a，0），（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作直线l的条数为　 　．‎ ‎16．（5分）已知直线：x+y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：‎ ‎①当θ=时，S中直线的斜率为；‎ ‎②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面．‎ ‎③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；‎ ‎④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；‎ 其中正确的是　 　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知点P（2，﹣1），求：‎ ‎（Ⅰ）过P点与原点距离为2的直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎18．（12分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．‎ ‎（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；‎ ‎（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．‎ ‎19．（12分）已知不等式组．‎ ‎（1）求此不等式组表示的平面区域的面积；‎ ‎（2）求z1=2x﹣3y的最大值；‎ ‎（3）求的取值范围．‎ ‎20．（12分）过点P（2，1）作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）当|OA|•|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）当|OA|+|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）当|PA|•|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．‎ ‎21．（12分）如图所示，将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形木板锯成△AMN．设直线MN的斜率为k．‎ ‎（Ⅰ）求点M，N的坐标及直线MN的斜率k的范围；‎ ‎（Ⅱ）令△AMN的面积为S，试求出S的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）令（Ⅱ）中S的取值范围为集合D，若S2＞m（1﹣2S）对S∈D恒成立，求m的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0，2x﹣3y+1=0，若A（1，2），求直线BC的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年湖北省襄阳四中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）直线=0的倾斜角α是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由直线=0，可得：tanα=﹣=tan，α∈[0，π）．即可得出．‎ ‎【解答】解：由直线=0，可得：tanα=﹣==tan，α∈[0，π）．‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、诱导公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0所确定的直线必经过点（　　）‎ A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣6，2） D．（）‎ ‎【分析】直线过定点，直线是直线系，按k集项；解方程组，求得得交点坐标即定点的坐标．‎ ‎【解答】解：方程（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0，化为（x﹣2y+2）+k（4x+3y﹣14）=0‎ 解得 故选A．‎ ‎【点评】本题考查过定点的直线系方程，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【分析】先利用直线上的两点坐标求出直线方程，再根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论（注意图中直线是实线还是虚线）．‎ ‎【解答】解：由图得：其中一条直线过点（0，﹣2）且平行于x轴，所以对应直线方程为：y=﹣2；‎ 又因为另一直线过点（﹣1，0）和（0，3），其对应直线方程为：3x﹣2y+6=0．‎ 结合图象可知：在直线y=﹣2的上侧（不包括直线y=﹣2），在y轴的左侧（包括y轴），以及直线3x﹣2y+6=0的右下侧（不包括直线3x﹣2y+6=0）．‎ 所以阴影部分用不等式组表示为：．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题的易错点在于不注意题中所画线是实线还是虚线，从而对不等式的等号要还是不要作出错误判断．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（　　）‎ A．[0，] B．[0，1] C．[0，2] D．（0，）‎ ‎【分析】由斜率公式数形结合可得．‎ ‎【解答】解：∵直线l过点A（1，2），‎ ‎∴当直线的倾斜角为0°，斜率k=0；‎ 当直线经过原点时，斜率k′=2，‎ 当直线在如图的区域时不经过第四象限，‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围为[0，2]，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查直线的斜率，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若l1：x+（m+1）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+8=0的图象是两条平行直线，则m的值是（　　）‎ A．m=1或m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2 D．m的值不存在 ‎【分析】利用直线平行的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵l1：x+（m+1）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+8=0的图象是两条平行直线，‎ ‎∴，‎ 解得m=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）‎ A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0‎ ‎【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．‎ ‎【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）‎ 在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．‎ 解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，‎ 再根据两直线交点在直线x=1选答案D 故选D．‎ ‎【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知两点A（1，2），B（3，1）到直线l距离分别是，﹣，则满足条件的直线l共有（　　）条．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】A（1，2）到直线l的距离是，直线是以A为圆心，为半径的圆的切线，B（3，1）到直线l的距离﹣，直线是以B为圆心，为半径的圆的切线，满足条件的直线l是两圆公切线，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：A（1，2）到直线l的距离是，直线是以A为圆心，为半径的圆的切线，‎ 同理B（3，1）到直线l的距离﹣，直线是以B为圆心，为半径的圆的切线，‎ ‎∴满足条件的直线l为以A为圆心，为半径的圆和以B为圆心，为半径的圆的公切线，‎ ‎∵|AB|==，‎ 两个半径分别为和，‎ ‎∴两圆外切，∴两圆公切线有3条 故满足条件的直线l有3条．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查满足条件的直线l的条数的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（　　）‎ A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 ‎【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．‎ ‎【解答】解：两直线的斜率分别为和 ，‎ ‎△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，‎ ‎∴斜率之积等于，故两直线垂直，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】欲求平面区域的面积，先要确定关于a，b的约束条件，根据恒有ax+by≤1成立，a≥0，b≥0，确定出ax+by的最值取到的位置从而确定关于a，b约束条件．‎ ‎【解答】解：∵a≥0，b≥0‎ t=ax+by最大值在区域的右上取得，即一定在点（0，1）或（1，0）取得，‎ 故有by≤1恒成立或ax≤1恒成立，‎ ‎∴0≤b≤1或0≤a≤1，‎ ‎∴以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正方形，‎ 所以面积为1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本小题主要考查线性规划的相关知识．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）圆心在直线2x﹣y=3上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣3）2+（y﹣3）2=9‎ B．（x﹣1）2+（y+1）2=1‎ C．（x﹣3）2+（y﹣3）2=16或（x﹣1）2+（y+1）2=4‎ D．（x﹣3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y+1）2=1‎ ‎【分析】设圆心为（a，2a﹣3），根据所求的圆与两条坐标轴相切，|a|=|2a﹣3|，由此求得a的值，可得圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵圆心在直线2x﹣y=3上，∴设圆心为（a，2a﹣3），‎ ‎∵所求的圆与两条坐标轴相切，∴|a|=|2a﹣3|，即a=2a﹣3，或 a=3﹣2a，‎ 求得a=3，或 a=1．‎ 当a=3时，半径为3，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=9，‎ 当a=1时，半径等于1，圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=1，‎ 综上可得，要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y+1）2=1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查求圆的方程的方法，关键在于求出圆心的坐标，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）‎ A．b=a3 B．‎ C． D．‎ ‎【分析】利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．‎ ‎①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；‎ ‎②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；‎ ‎③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．‎ 综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．‎ 故选C．‎ ‎【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知点A在直线x+2y﹣1=0上，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为P（x0，y0），且满足y0＞x0+2，则的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，﹣） B．（﹣∞，﹣] C．（﹣，﹣] D．（﹣，0）‎ ‎【分析】由点A在直线x+2y﹣1=0上，点B在直线x+2y+3=0上，线段AB的中点为P（x0，y0），两条直线平行可得=‎ ‎，化为x0+2y0+1=0．又满足y0＞x0+2，‎ 可得．设=k，k==﹣，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3=0平行，‎ ‎∴=，‎ 化为x0+2y0+1=0．‎ ‎∵y0＞x0+2，‎ ‎∴＞x0+2，‎ 解得．‎ 设=k，‎ ‎∴k==﹣，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知定点A（3，1），动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为　　．‎ ‎【分析】如图所示，分别作出点A关于直线y=x与x轴的对称点A1（1，3），A2（3，﹣1）．连接A1A2与直线y=x相交于点M，与x轴相交于点N，则满足条件．联立方程即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，分别作出点A关于直线y=x与x轴的对称点A1（1，3），A2（3，﹣1）．‎ 连接A1A2与直线y=x相交于点M，与x轴相交于点N，则满足条件．‎ 直线A1A2的方程为：y﹣3=（x﹣1），化为：2x+y﹣5=0，‎ 联立，解得x=y=．‎ ‎∴M．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了对称性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是　2800　元．‎ ‎【分析】设每天生产的甲、乙两种产品分别为x，y桶，可使公司获得的利润z=300x+400y元．‎ 将已知数据列成表格如下：‎ ‎ ‎ ‎ 甲产品（桶）‎ ‎ 乙产品（桶）‎ ‎ 原料kg ‎ A原料/kg ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎≤12‎ ‎ B原料/kg ‎ 2‎ ‎ 1‎ ‎≤12‎ ‎ 利润（元/桶）‎ ‎ 300‎ ‎ 400‎ ‎ ‎ 根据表格列出约束条件，画出可行域，将目标函数进行平移即可得出．‎ ‎【解答】解：设每天生产的甲、乙两种产品分别为x，y桶，可使公司获得的利润z=300x+400y元．‎ 将已知数据列成表格如下：‎ ‎ ‎ ‎ 甲产品（桶）‎ ‎ 乙产品（桶）‎ ‎ 原料kg ‎ A原料/kg ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎≤12‎ ‎ B原料/kg ‎ 2‎ ‎ 1‎ ‎≤12‎ ‎ 利润（元/桶）‎ ‎ 300‎ ‎ 400‎ ‎ ‎ 由表格可得约束条件，画出可行域如图所示：‎ 联立，解得，即B（4，4）．‎ 画出函数y=﹣的图象，将其平移，当y=﹣经过点B时，取得最大值，‎ z=300×4+400×4=2800．‎ 故答案为2800元．‎ ‎【点评】本题考查了线性规划的有关问题、约束条件及其可行域、目标函数、最值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）过点（1，6）作直线l，若直线l经过点（a，0），（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作直线l的条数为　4　．‎ ‎【分析】根据题意，设直线的方程为：+=1，又由直线过点（1，6），则有+=1，分析可得a≥2且b≥7，由此列举分析a、b的取值情况，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，若直线l经过点（a，0），（0，b），且a∈N*，b∈N*，‎ 即直线与坐标轴的正半轴都有交点，则可以设直线的方程为：+=1，‎ 又由直线过点（1，6），则有+=1，‎ 又由a∈N*，b∈N*，必有a≥2且b≥7，‎ 当a=2时，b=12，‎ 当a=3时，b=9，‎ 当a=4时，b=8，‎ 当a=5时，b=7.5，不合题意（舍去），‎ 当a=6时，b=，不合题意（舍去），‎ 当a=7时，b=7，‎ 当a≥8时，b≤，不合题意，舍去；‎ 故可以作4条直线l；‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查直线的截距式方程的应用，把可作出的l的条数问题转化为求a、b 的值的个数问题，体现了分类讨论和转化的数学思想．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知直线：x+y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：‎ ‎①当θ=时，S中直线的斜率为；‎ ‎②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面．‎ ‎③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；‎ ‎④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；‎ 其中正确的是　③④　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎【分析】①当θ=时，S中直线的斜率为k=﹣；②（0，0）不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面；③当a=b时，方程为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等；④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离最小值为2b．‎ ‎【解答】解：①当θ=时，S中直线的斜率为k=﹣=﹣，故①错误；‎ ‎②（0，0）不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，故②错误；‎ ‎③当a=b时，方程为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等，故③正确；‎ ‎④因为A（asinθ，bcosθ），（a≠b）既满足直线 ‎ sinθ a x+‎ cosθ b y=1的方程，‎ 也满足椭圆 ‎ x2‎ a2‎ ‎+‎ y2‎ b2‎ ‎=1的方程，‎ 且把直线 ‎ sinθ a x+‎ cosθ b y=1的方程代入椭圆 ‎ x2‎ a2‎ ‎+‎ y2‎ b2‎ ‎=1的方程可得△=0，‎ 当a＞b时，‎ sinθ a x+‎ cosθ b y=1为椭圆的切线，‎ 当S中两直线分别与椭圆相切于短轴两端点时，‎ 它们间的距离为2b，即为最小距离，即最小值为2b，故④正确．‎ 故答案为：③④．‎ ‎【点评】本题考查直线系方程的应用，要明确直线系中直线的性质，结合三角函数的性质，判断各个命题的正确性．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知点P（2，﹣1），求：‎ ‎（Ⅰ）过P点与原点距离为2的直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎【分析】（I）对斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎（II）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl•kOP=﹣1，即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．‎ 此时l的斜率不存在，其方程为x=2．‎ 若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．‎ 由已知，得，解之得．‎ 此时l的方程为3x﹣4y﹣10=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．‎ ‎（Ⅱ）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl•kOP=﹣1，‎ 所以．由直线方程的点斜式得y+1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣5=0，‎ 即直线2x﹣y﹣5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为．‎ ‎【点评】本题考查了点到直线的距离公式、相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．‎ ‎（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；‎ ‎（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出直线的交点坐标，根据点斜式方程求出直线l的方程即可；‎ ‎（Ⅱ）通过讨论讨论过原点和直线不过原点的情况，求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由可得两直线的交点为（1，2）‎ ‎∵直线l与直线x+3y﹣1=0垂直，∴直线l的斜率为3，‎ 则直线l的方程是：y﹣2=3（x﹣1），‎ 即：3x﹣y﹣1=0；‎ ‎（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x﹣y=0，‎ 当直线l不过原点时，令l的方程为，‎ ‎∵直线l过（1，2），∴a=2，‎ 则直线l的方程为2x+y﹣4=0．‎ ‎【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的点斜式方程和截距式方程，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知不等式组．‎ ‎（1）求此不等式组表示的平面区域的面积；‎ ‎（2）求z1=2x﹣3y的最大值；‎ ‎（3）求的取值范围．‎ ‎【分析】作出可行域，求出角点坐标，（1）直接求解三角形的面积．‎ ‎（2）利用的几何意义，求解最大值；‎ ‎（3）利用目标函数的几何意义：可行域内的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，求解最值即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组平面区域如图．‎ 交点A（﹣3，3）、B（3、9）、C（3，﹣3），‎ ‎（1）S△ABC=[9﹣（﹣3）]×[3﹣（﹣3）]=36．‎ ‎（2）z1=2x﹣3y化为：y=x﹣z1，平移直线，可知直线经过C时，目标函数取得最大值：z1=2x﹣3y=2×3+3×3=15．‎ ‎（3）目标函数的几何意义：可行域内的点与Q（﹣1，﹣3）连线的斜率，如图，斜率≤kAQ==﹣3，或≥kQC==0，‎ 故∈（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域以及判断的几何意义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）过点P（2，1）作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）当|OA|•|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）当|OA|+|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）当|PA|•|PB|取最小值时，求出最小值及直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出直线方程根据基本不等式的性质求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）放假基本不等式的性质求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；‎ ‎（Ⅲ）分别求出A，B的坐标，求出|PA|•|PB|的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．‎ ‎（Ⅰ）设直线方程为，代入P（2，1）得，‎ 得ab≥8，从而，此时，．‎ ‎∴方程为x+2y﹣4=0．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）+=1，‎ 故a+b=（a+b）（+）=3++≥3+2，‎ 此时，．‎ ‎∴方程为．‎ ‎（Ⅲ）设直线l：y﹣1=k（x﹣2），分别令y=0，x=0，得，‎ 则=，‎ 当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，‎ ‎∴k=﹣1，这时l的方程为x+y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式求最值，属中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图所示，将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形木板锯成△AMN．设直线MN的斜率为k．‎ ‎（Ⅰ）求点M，N的坐标及直线MN的斜率k的范围；‎ ‎（Ⅱ）令△AMN的面积为S，试求出S的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）令（Ⅱ）中S的取值范围为集合D，若S2＞m（1﹣2S）对S∈D恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用点斜式即可得出，由已知可得：直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，分别与直线MN的方程联立即可得出 ‎（Ⅱ）利用三角形的面积计算公式可得S△AMN，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出区间D；‎ ‎（Ⅲ）已知S2＞m（﹣2S+1）对任意S∈D恒成立．可转化为m＜，再利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，‎ ‎∴直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，‎ 由得．‎ ‎∵，‎ ‎∴k＞1或，‎ 又由得且，‎ 得，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）==．‎ 设，．‎ ‎∵f（t）在是单调递增．‎ ‎∴当时，，即当时，即时，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅲ）已知S2＞m（﹣2S+1）对任意S∈D恒成立．‎ 又∵，‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0，2x﹣3y+1=0，若A（1，2），求直线BC的方程．‎ ‎【分析】‎ 先求出垂心H的坐标，可得AH的斜率，进而得到BC的斜率．用点斜式求得AC的方程，把AC的方程和高线CD的方程联立方程组，求得点C的坐标，再用点斜式求出BC的方程．‎ ‎【解答】解：设高线CD：x+y=0，BE：2x﹣3y+1=0，由 ‎ 求得，可得垂心H（﹣，）．‎ ‎∴高线AH的斜率，‎ 由“三条高线交于一点”可得：AH⊥BC，∴．‎ ‎∵AC⊥BE，‎ 设AC：3x+2y+m=0，代入A（1，2）解得：m=﹣7，∴AC：3x+2y﹣7=0．‎ 把直线AC、CD的直线方程联立方程组，求得，∴C（7，﹣7）．‎ ‎∴，整理后可得：2x+3y+7=0．‎ 即直线BC的方程为：2x+3y+7=0．‎ ‎【点评】本题主要考查求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题．‎ ‎　‎