2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第6讲解析几何第1课时直线与圆锥曲线的位置关系练习

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2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第6讲解析几何第1课时直线与圆锥曲线的位置关系练习

第1课时 直与圆锥曲线的位置关系 ‎[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位置,题目可能涉及线段中点、弦长等问题,解决这类问题,往往利用数形结合的思想、“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等,难度属于中上等.‎ 热点题型分析 热点 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法:‎ ‎(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程构成方程组,通过消元得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,由方程组的解得交点坐标.‎ ‎(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点的个数.‎ ‎ (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且F+F+F=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ 解 (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则+=1,+=1.‎ 两式相减,并由=k,得+·k=0.‎ 由题设,知=1,=m,于是k=-.①‎ 由点M(1,m)在椭圆C内,得m< =,‎ 且m>0,即0b>0)的右焦点为(1,0),且经过点A - 7 -‎ ‎(0,1).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.‎ 解 (1)由题意,得b2=1,c=1,所以a2=b2+c2=2.‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则直线AP的方程为y=x+1.‎ 令y=0,得点M的横坐标xM=-.‎ 又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=.‎ 同理,|ON|=.‎ 由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=.‎ 所以|OM|·|ON|=· ‎= ‎= ‎=2.‎ 又|OM|·|ON|=2,所以2=2.‎ 解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).‎ ‎3.(2019·唐山市高三一模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程;‎ ‎(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.‎ 解 (1)依题意,得A(0,b),F(-c,0),a=,当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF,得 - 7 -‎ kAF·kBF=·=-1,又b2+c2=6.解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1),得A(0,),依题意,显然m≠0,所以kAM=-,又AM⊥BM,所以kBM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=(x-m)与+=1联立,得(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,所以x1+x2=,x1x2=.‎ ‎|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=·|x1x2-m(x1+x2)+m2|=·=,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ,得|AM|2=|PM|·|QM|,所以=1,解得m=±1.‎ ‎4.(2019·四川诊断)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.‎ 解 (1)由题意可得c=2,b=2,‎ 由a2=b2+c2得a2=22+22=8,‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 线段MN的中点G(x0,y0),‎ 由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,‎ 则Δ=96-8m2>0,所以-2
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