数学理卷·2019届云南省峨山彝族自治县第一中学高二上学期期末考试(2018-01)

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数学理卷·2019届云南省峨山彝族自治县第一中学高二上学期期末考试(2018-01)

峨山一中2017-2018学年上学期期末考试 高二理科数学试卷 ‎ 出卷人:张 梅 审卷人:杨东笑 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。‎ ‎3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=(  )‎ A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}‎ ‎2.设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=(  )‎ A.2 B. 3 C.4 D.6‎ 3. 命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(  )‎ A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0‎ C.∃x0∈R,|x0|+x<0 D.∃x0∈R,|x0|+x≥0‎ ‎4.设a=30.5,b=0.53,c=log0.5 3,则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.b<c<a    B.b<a<c ‎ C.c<b<a D.c<a<b ‎5.“x<0”是“ln(x+1)<0 ”的 (  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别 为1,2,3,则输出的M=(  )‎ A. B. C. D. 第6题图 ‎7.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为(  )‎ A.2 B.2 C. D.1‎ ‎8.设变量x,y满足则目标函数z=2x+3y的最小值为(  )‎ A.7    B.8 C.22 D.23‎ 9. 某四棱锥的三视图如右图所示,该四棱锥最长棱 的棱长为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ 10. 已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0‎ 第9题图 所得弦的长度为4,则实数a的值是( )‎ A.-2 B.-4 ‎ C.-6 D.-8‎ ‎11.在R上的奇函数满足=,当时,,则 ‎=(  )‎ A.-2 B.2 C.- D. ‎12. 已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(  )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ 13. 若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a= ‎ 14. 已知=4x2-mx+5在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.‎ ‎15.已知,则x+的最小值为________.‎ ‎16.已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则φ=________.‎ 第16题图 三、解答题 (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.共6题,共70分.)‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 海关对同时从A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测.‎ 地区 B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1) 求这 6 件样品中来自 A, B, C 各地区商品的数量;‎ ‎(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自同一地区的概率.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知函数=(sin x+cos x)2+cos 2x.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ 19. ‎(本小题满分12分)‎ 已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.‎ 19. ‎(本小题满分12分)‎ 中,角 所对的边分别为.已知 ‎(1) 求 的值;‎ ‎(2) 求 的面积.‎ ‎21. (本小题满分12分) ‎ 如图所示,在多面体 中,四边形 均为正方形,点 为 的中点,过的平面交 于 点.‎ ‎(1) 证明:∥;‎ ‎(2) 求二面角 的余弦值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图,椭圆E:(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不 同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的 斜率之和为2.‎ 峨山一中2017-2018学年上学期期末考试 高二理科数学试卷及答案 ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( D )‎ A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}‎ ‎2.设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=( B )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 3. 命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( C )‎ A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0‎ C.∃x0∈R,|x0|+x<0 D.∃x0∈R,|x0|+x≥0‎ ‎4.设a=30.5,b=0.53,c=log0.5 3,则a,b,c的大小关系为( C )‎ A.b<c<a    B.b<a<c ‎ C.c<b<a D.c<a<b ‎5.“x<0”是“ln(x+1)<0 ”的( B )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别 为1,2,3,则输出的M=( D )‎ A. B. C. D. 第6题图 ‎7.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 ( A )‎ A.2 B.2 C. D.1‎ ‎8.设变量x,y满足则目标函数z=2x+3y的最小值为( A )‎ A.7    B.8 C.22 D.23‎ 9. 某四棱锥的三视图如右图所示,该四棱锥最长棱 的棱长为( C )‎ A.1 B. 第9题图 C. D.2‎ 9. 已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( B )‎ A.-2 B.-4 ‎ C.-6 D.-8‎ ‎11.在R上的奇函数满足=,当时,,则 ‎=( A )‎ A.-2 B.2 C.- D. ‎12. 已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( C )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ 13. 若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a= ‎ 14. 已知=4x2-mx+5在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是__(或)__.‎ ‎15.已知,则x+的最小值为___5_____.‎ ‎16.已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则φ=________.‎ 第16题图 三、解答题 (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.共6题,共70分.)‎ ‎17. (本小题10分)‎ 海关对同时从A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测.‎ 地区 B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1) 求这 6 件样品中来自 A, B, C 各地区商品的数量;‎ ‎(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自同一地区的概率.‎ 解:(1) 各地区抽取商品的比例为:‎ 按照分层抽样,各地区抽取商品数为:‎ ‎ (2) 设 件来自 ,, 三个地区的样本分别为:;,,;,.‎ 基本事件空间为:‎ 共 个.‎ 符合题意的基本事件为:‎ 所以这两件商品来自同一地区的概率为:‎ ‎18.(本小题12分)‎ 已知函数=(sin x+cos x)2+cos 2x.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值 解:(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=sin+1.‎ 当x∈时,2x+∈,‎ 由正弦函数y=sin x在上的图象知,‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取最大值+1;‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取最小值0.‎ 综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.‎ 19. ‎(本小题12分)‎ 已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得 a1+2d=2,3a1+d=,‎ 即a1+2d=2,a1+d=,‎ 解得a1=1,d=,‎ 故通项公式为an=1+,即an=.‎ ‎(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.‎ 设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,‎ 故{bn}的前n项和 Tn===2n-1.‎ 20. ‎(本小题12分)‎ 中,角 所对的边分别为.已知 ‎(1) 求 的值;‎ ‎(2) 求 的面积.‎ ‎ (1) 在 中,由题意知 由正弦定理得 ,所以 ‎ (2) 由余弦定理得 所以 又因为 为钝角,所以 ,,所以 ‎21. (本小题12分) ‎ 如图所示,在多面体 中,四边形 均为正方形, 为 的中点,过的平面交 于 .‎ ‎(1) 证明:∥;‎ ‎(2) 求二面角 的余弦值.‎ 解:(1) 由正方形的性质可知 ,‎ 且 ,所以四边形 为平行四边形,‎ 从而 .又 ,,‎ 于是 ∥‎ ‎ (2) 因为四边形 ,, 均为正方形,‎ 所以 ,, 且 .‎ 以 为原点,分别以 ,, 为 轴, 轴和 轴单位 正向量建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 可得点的坐标 ,,,,,,而 点为 的中点,所以 点的坐标为 .‎ 设面 的法向量为 ,而该面上向量 ,,由 , 得 ,, 应满足方程组 ‎ ‎ 为其一组解,所以可取 .‎ 设面 的法向量为 ,而该面上向量 ,,‎ 由此同理可得 ,‎ 所以结合图形知二面角 的余弦值为 .‎ ‎22.(本小题12分)‎ 如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不 同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的 斜率之和为2.‎ 解:(1)由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:设直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.‎ 由已知Δ>0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ 从而直线AP,AQ的斜率之和 kAP+kAQ=+=+ ‎=2k+(2-k)=2k+(2-k) ‎=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.‎
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