湖南省衡阳县第四中学2020届高三寒假延长作业数学（文）试题

湖南省衡阳县第四中学2020届高三寒假延长作业数学（文）试题

湖南省衡阳县四中2020届高三寒假延长作业 文科数学试卷 ‎ 一、 选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ ‎ A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}‎ ‎2.复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l α，mβ，则（ ）‎ A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥β ‎ C．若m⊥α，则α⊥β D．若α⊥β，则l⊥m ‎4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）‎ A． B． C．10 D． ‎ ‎5.若点在角的终边上，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知向量满足，且则向量与的夹角的余弦值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数，则不等式的解集是( ) A.  B. C.  D. ‎ ‎8.已知函数的图像由函数的图像经如下变换得到：先将的图像向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的对称轴方程为（ ）‎ A． B．，‎ C．， D．，‎ ‎9.已知是双曲线的左,右焦点,点M在E上,与轴垂直,,则E的离心率为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为(   ) (参考数据: ,,,) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.函数的部分图像大致为(      )‎ A. B. C. D.     ‎ ‎12.已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎二、填空题 ‎13.某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年全国高中数学联赛,他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,则的值为___________.‎ ‎14.已知正项数列满足,其中,，则___________‎ ‎15.的内角的对边分别为.已知,,则的面积为___________.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交拋物线于两点,过点作准线的垂线,垂足为,当点坐标为时, 为正三角形,则此时的面积为__________.‎ 三、解答题 ‎17.数列中，，，数列满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18.某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示. ‎ ‎ (1).请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;‎ ‎(2).为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?‎ ‎(2).在2的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?‎ ‎19.如图所示，四边形ABCD是矩形， ABE, ，F为CE上的点，且平面ACE，AC与BD交于点G。‎ ‎（1）求证：平面BCE ‎（2）求证：AE//平面BFD ‎（3）求三棱锥的体积 ‎20.已知椭圆的左右焦点分别为,, 离心率为, 椭圆C上的点到点, 的距离之和等于4．‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1） 若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对于任意的正数恒成立，求实数a的值；‎ ‎（3）若函数存在两个极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.‎ ‎(1).求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎(2).若曲线与交于两点,的中点为,点,求 的值.‎ ‎23.设函数.‎ ‎(1).若，求不等式的解集；‎ ‎(2).若不等式存在实数解，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.答案：B 解析：，故，综上所述，答案为 ‎2.答案：D ‎3.答案：C ‎4.答案：B ‎5.答案：B 解析：由题意，，‎ ‎．‎ ‎6.答案：C ‎7.答案：D 解析：∵函数，‎ ‎①若，则，即有，即，‎ 则；‎ ‎②若，则，即有，即，‎ ‎，则.‎ 故解集为.‎ 故选D.‎ ‎8.答案：A ‎9.答案：A 解析：因为垂直于x轴,所以,,‎ 因为,即,‎ 化简得,故双曲线离心率.选A.‎ ‎10.答案：B 解析：第一次循环, ;‎ 第二次循环, ;‎ 第三次循环, ,满足条件,跳出循环.输出.‎ ‎11.答案：D 解析：当时, ,故排除A,C,‎ 当时, ,故排除B,满足条件的只有D,故选D.‎ ‎12.答案：B 解析：设则，‎ ‎∵.‎ 所以函数是R上的减函数，‎ ‎∵函数是偶函数，‎ ‎∴函数，‎ ‎∴函数关于对称，‎ ‎∴，‎ 原不等式等价为，‎ ‎∴不等式等价，‎ ‎.∵在R上单调递减，‎ ‎∴.故选：B.‎ ‎13.答案：5‎ 解析：甲班学生成绩的中位数是,解得.由茎叶图可知乙班学生的总分为.∵乙班学生成绩的平均数是86,∴,∴.∴.‎ ‎14.答案：‎ 解析：正项数列满足 其中，‎ ‎∴,‎ 相减可得：‎ 可得: ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列，‎ ‎∴‎ ‎15.答案：‎ 解析：∵,‎ ‎∴由正弦定理得.‎ 又,∴.‎ 由余弦定理得,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎16.答案：‎ 解析：如图所示,过点作的垂线,垂足为,则为的中点,‎ 由题意知, ,则,解得 所以,则,所以,‎ 直线的方程为: ,‎ 联立方程组得,‎ 解得,,‎ 所以 ‎17.答案：（1）由，即．‎ 而， ∴，即．‎ 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列.‎ 于是，∴‎ ‎（2）∵， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.答案：1.第二组的频数为,故第三组的频数为,故第三组的频率为,第五组的频率为,补全后频率分布表为:‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ ‎0.05‎ 第2组 ‎35‎ ‎0.35‎ 第3组 ‎30‎ ‎0.3‎ 第4组 ‎20‎ ‎0.2‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.1‎ 合计 ‎100‎ ‎1‎ 频率分布直方图为:‎ ‎ (2).第三组、第四组、第五组的频率之比,故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为. (3).设第三组中抽取的三人为,第四组中抽取的两人为,第五组中抽取的一人为,则6人中任意抽取两人,所有的基本事件如下:‎ ‎,‎ 故第三组中至少有1人被抽取的概率为.‎ ‎19.答案：（1）∵平面ABE,AD//BC ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴‎ 又∵平面 ‎∴‎ 又∵，平面 ‎∴平面 ‎（2）依题意可知：G是AC中点 由平面ACE知，而 ‎∴F是EC中点 ‎∴在中，FG//AE 又∵平面，平面 ‎∴AE//平面 ‎（3）∵AE//平面BFD ‎∴AE//FG,而平面BCE,‎ ‎∴平面BCE，即平面BCF ‎∵G是AC中点，F是CE中点 ‎∴FG//AE且 又知在中，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎20.答案：（1）法一：由题意得：，故椭圆的标准方程为 法二：由题意得；又由离心率公式得：‎ 故椭圆的标准方程为 ‎（法一）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为 代入椭圆的方程得．‎ 设两点的坐标分别为，‎ 所以所以，‎ 且，‎ 因为，即，‎ 所以．‎ 即．‎ 所以，解得．‎ 又因为，所以．‎ 所以存在直线满足条件，其方程为．‎ ‎（法二）设直线的参数方程为为参数）代入椭圆方程 ‎ 得：‎ ‎ 由韦达定理得： ‎ 由题意，于是得 或 （舍）‎ 所以存在直线满足条件，其方程为 ‎21.答案：（1） 因为，‎ 所以当时，，‎ 则， ‎ 当时，，‎ 所以在处的切线方程为.‎ ‎(2) 因为对于任意的正数恒成立，‎ 所以当时，即时，，；‎ 当时，即时，恒成立，所以；‎ 当时，即时，恒成立，所以，‎ 综上可知，对于任意的正数恒成立，. ‎ ‎(3) 因为函数存在两个极值点，‎ 所以存在两个不相等的零点．‎ 设，‎ 则.‎ 当时，，‎ 所以单调递增，至多一个零点．‎ 当时，因为时，，单调递减，‎ 时，，单调递增，‎ 所以时，.‎ 因为存在两个不相等的零点，‎ 所以，解得.‎ 因为，所以.‎ 因为，‎ 所以在上存在一个零点. ‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 设，则，‎ 因为，‎ 所以单调递减，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以在上存在一个零点．‎ 综上可知：.‎ ‎22.答案：(1).曲线的普通方程为. ‎ 由，，得曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎(2).将两圆的方程与作差得直线的方程为.‎ 点在直线上，设直线的参数方程为(为参数)‎ 代入化简得，所以，.‎ 因为点对应的参数为，‎ 所以 ‎23.答案：(1).若，由，得，‎ 即，即，‎ 得，解得.‎ 故不等式的解集是 ‎(2).“不等式存在实数解”等价于“不等式存在实数解”.‎ 因为，‎ 所以，即或，解得或.‎ 故实数a的取值范围是