高中数学必修3同步练习:第三章概率(A)

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高中数学必修3同步练习:第三章概率(A)

必修三 第三章 概率(A)‎ 一、选择题 ‎1、如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(  )‎ A. B. C.1- D.1- ‎2、某班有男生25人,其中1人为班长,女生15人,现从该班选出1人,作为该班的代表参加座谈会,下列说法中正确的是(  )‎ ‎①选出1人是班长的概率为;‎ ‎②选出1人是男生的概率是;‎ ‎③选出1人是女生的概率是;‎ ‎④在女生中选出1人是班长的概率是0.‎ A.①② B.①③‎ C.③④ D.①④‎ ‎3、同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两个正面朝上的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎4、把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(  )‎ A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不是对立事件 D.以上答案都不对 ‎5、在2010年广州亚运会火炬传递活动中,在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号相连的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎6、从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”‎ 互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球;②两球恰有一白球;③两球至少有一个白球”中的哪几个?(  )‎ A.①② B.①③‎ C.②③ D.①②③‎ ‎7、矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗,以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为(  )‎ A.16 B.16.32‎ C.16.34 D.15.96‎ ‎8、在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17n的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎12、一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎13、从一箱苹果中任取一个,如果其重量小于200克的概率为0.2,重量在[200,300]内的概率为0.5,那么重量超过300克的概率为________.‎ ‎14、在抛掷一颗骰子的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A+发生的概率为________.(表示B的对立事件)‎ ‎15、先后两次抛掷同一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.将a,b,5分别作为三条线段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________.‎ ‎16、设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数,则方程x2-bx+c=0有实根的概率为________.‎ 三、解答题 ‎17、汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.‎ ‎(1)求z的值;‎ ‎(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;‎ ‎(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测 它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.‎ ‎18、经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎(1)至多2人排队等候的概率是多少?‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率是多少?‎ ‎19、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.‎ ‎(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;‎ ‎(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.‎ ‎20、在区间(0,1)上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率.‎ ‎21、某市地铁全线共有四个车站,甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车.假设每人自第2号车站开始,在每个车站下车是等可能的.约定用有序实数对(x,y)表示“甲在x号车站下车,乙在y号车站下车”.‎ ‎(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来;‎ ‎(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率;‎ ‎(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率.‎ ‎22、在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同),旁边立着一块小黑板写道:‎ 摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.‎ ‎(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?‎ ‎(2)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱?‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C [P===1-.]‎ ‎2、D [本班共有40人,1人为班长,故①对;而“选出1人是男生”的概率为=;“选出1人为女生”的概率为=,因班长是男生,∴“在女生中选班长”为不可能事件,概率为0.]‎ ‎3、C [抛掷两枚质地均匀的硬币,可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”,因此两个正面朝上的概率P=.]‎ ‎4、C [由互斥事件的定义可知:甲、乙不能同时得到红牌,由对立事件的定义可知:甲、乙可能都得不到红牌,即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生.]‎ ‎5、B [从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种,其中选出的火炬手的编号相连的事件有:(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),∴选出的火炬手的编号相连的概率为P=.]‎ ‎6、A [从口袋内一次取出2个球,这个试验的基本事件空间Ω={(白,白),(红,红),(黑,黑),(红,白),(红,黑),(黑,白)},包含6个基本事件,当事件A“两球都为白球”发生时,①②不可能发生,且A不发生时,①不一定发生,②不一定发生,故非对立事件,而A发生时,③可以发生,故不是互斥事件.]‎ ‎7、B [由题意=,∴S阴=×24=16.32.]‎ ‎8、C [∵a∈(15,25],∴P(17n的点应在梯形OABD内,‎ 所以所求事件的概率为P==.]‎ ‎12、A [任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).‎ 故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为.]‎ 二、填空题 ‎13、0.3‎ 解析 所求的概率P=1-0.2-0.5=0.3.‎ ‎14、 解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”;表示“大于等于5的点数出现”,包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”.显然A与是互斥的,故P(A+)=P(A)+P()=+=.‎ ‎15、 解析 基本事件的总数为6×6=36.‎ ‎∵三角形的一边长为5,‎ ‎∴当a=1时,b=5符合题意,有1种情况;‎ 当a=2时,b=5符合题意,有1种情况;‎ 当a=3时,b=3或5符合题意,即有2种情况;‎ 当a=4时,b=4或5符合题意,有2种情况;‎ 当a=5时,b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意,‎ 即有6种情况;‎ 当a=6时,b=5或6符合题意,即有2种情况.‎ 故满足条件的不同情况共有14种,‎ 所求概率为=.‎ ‎16、 解析 基本事件总数为36个,‎ 若使方程有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b2≥4c.‎ 当c=1时,b=2,3,4,5,6;‎ 当c=2时,b=3,4,5,6;‎ 当c=3时,b=4,5,6;‎ 当c=4时,b=4,5,6;‎ 当c=5时,b=5,6;‎ 当c=6时,b=5,6.‎ 符合条件的事件个数为5+4+3+3+2+2=19,因此方程x2-bx+c=0有实根的概率为.‎ 三、解答题 ‎17、解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆,‎ 由题意得=,所以n=2 000.‎ 则z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.‎ ‎(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,‎ 由题意得=,即a=2.‎ 因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.‎ 用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,‎ 则基本事件空间包含的基本事件有:‎ ‎(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共10个.事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共7个.故P(E)=,即所求概率为.‎ ‎(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P(D)==,即所求概率为.‎ ‎18、解 记“有0人等候”为事件A,“有1人等候”为事件B,“有2人等候”为事件C,“有3人等候”为事件D,“有4人等候”为事件E,“有5人及5人以上等候”为事件F,则易知A、B、C、D、E、F互斥.‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G,‎ 则G=A∪B∪C,‎ 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ ‎(2)记“至少3人排队等候”为事件H,‎ 则H=D∪E∪F,‎ 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.‎ 也可以这样解,G与H互为对立事件,‎ 所以P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.‎ ‎19、解 (1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为=,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.‎ ‎(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂,在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3)(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.‎ 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),‎ ‎(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2)共有11种,所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=.‎ ‎20、解 在平面直角坐标系中,以x轴和y轴分别表示m,n的值,因为m,n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应,即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.‎ 设事件A表示方程x2-x+m=0有实根,则事件A={(m,n)|},所对应的区域为图中的阴影部分,且阴影部分的面积为,故P(A)==,即关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率为.‎ ‎21、解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为:‎ ‎(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).‎ ‎(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A,则P(A)=.‎ ‎(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B,则P(B)=1-3×=.‎ ‎22、解 把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为:ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123,共20个.‎ ‎(1)事件E={摸出的3个球为白球},事件E包含的基本事件有1个,即摸出123,‎ P(E)=1/20=0.05.‎ ‎(2)事件F={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球},P(F)=2/20=0.1,‎ 假定一天中有100人次摸奖,由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次,不发生90次.‎ 则一天可赚90×1-10×5=40,每天可赚40元.‎
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