2017-2018学年江苏省溧水高级中学、东山外国语学校、扬中、江都中学高二上学期四校期中联测试题 数学

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2017-2018学年江苏省溧水高级中学、东山外国语学校、扬中、江都中学高二上学期四校期中联测试题 数学

‎2017-2018学年江苏省溧水高级中学、东山外国语学校、扬中、江都中学高二上学期四校期中联测数学试卷 2017.11.16 ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.)‎ ‎1.命题“”的否定形式为___________________.‎ ‎2.曲线在处的切线方程是__________.‎ ‎3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .‎ ‎4.已知函数,则 .‎ ‎5.的____________.‎ ‎(从“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空)‎ ‎6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.‎ ‎7.设P是直线上的一个动点,过P作圆的两条切线,若的最大值为60°,则b = .‎ ‎8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为_____________.‎ ‎9.已知命题,命题,若命题是真命题,则实数的取值范围为_____________ .‎ ‎10.函数的图像在点处的切线方程是,则等于_________.‎ ‎11.已知是椭圆上的动点,是椭圆的两个焦点,则的取值范围是___________ . ‎ ‎12.已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_______________.‎ ‎13.设,则的最小值为___________.‎ ‎14.已知椭圆的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点,过作直线的垂线,垂足分别为,记,若直线的斜率,则的取值范围为___________.‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ 15. ‎(本小题满分14分)‎ ‎(1)求以椭圆的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.‎ ‎(2)已知抛物线的焦点在轴上,点是抛物线上的一点,M到焦点的距离为5,‎ 求抛物线的标准方程.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知为实数,点在圆的内部;都有.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)若为假命题,求的取值范围;(3)若为假命题,且为真命题,求的取值范围.‎ ‎17.(本小题满分15分)‎ 已知曲线 (1) 若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;‎ (2) 若曲线表示圆,且直线与圆相交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由。‎ ‎18.(本小题满分15分)‎ ‎(1)设,若,求在点处的切线方程;‎ ‎(2)若存在过点的直线与曲线和都相切,求的值.‎ 19. ‎(本小题满分16分)‎ 平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.‎ (1) 求椭圆的方程;‎ (2) 过椭圆上一动点的直线,过与轴垂直的直线记为,右准线记为;‎ 设直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,证明恒为定值,并求此定值.‎ 若连接并延长与直线相交于点,椭圆的右顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.‎ ‎(Ⅰ)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;‎ ‎ (Ⅱ)过点作直线∥交于点,记的外接圆为圆.‎ 第20题 P A R O F1‎ Q x y F2‎ ① 求证:圆心在定直线上;‎ ① 圆是否恒过异于点的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由. ‎ ‎ ‎ 答案 2017.11.16 ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.)‎ ‎1.命题“”的否定形式为___________________.‎ 答案:‎ ‎2.曲线在处的切线方程是__________.答案:‎ ‎3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .答案:‎ ‎4.已知函数,则 .‎ 答案:‎ ‎5.的____________.‎ ‎(从“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空)‎ 答案:充分不必要条件 ‎6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.‎ 答案:‎ 7. 设P是直线上的一个动点,过P作圆的两条切线,若的最大值为60°,则b = .‎ 答案:‎ 8. 已知圆的圆心是双曲线的一个焦点,则此双曲线的渐近线方程为_____________.‎ 答案:‎ 9. 已知命题,命题,若命题是真命题,则实数的取值范围为_____________ .‎ 答案:‎ 7. 函数的图像在点处的切线方程是,则等于_________.‎ 答案:2‎ 8. 已知是椭圆上的动点,是椭圆的两个焦点,则的取值范围是___________ . ‎ 答案:‎ 9. 已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_______________.‎ 答案:‎ ‎13.设,则的最小值为___________.‎ 答案:‎ ‎14.已知椭圆的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点,过作直线的垂线,垂足分别为,记,若直线的斜率,则的取值范围为___________.‎ 答案:‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ 15. ‎(本小题满分14分)‎ ‎(1)求以椭圆的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8分)‎ ‎(2)已知抛物线的焦点在轴上,点是抛物线上的一点,M到焦点的距离为5,‎ 求抛物线的标准方程.(6分)‎ 解:(1)椭圆的焦点为,顶点为 ----------------4分 ‎ 双曲线的标准方程可设为 由题意知 ‎ -----------------6分 则双曲线的标准方程为------------------8分 (2) 由题意知,抛物线的标准方程可设为 --------------10分 ‎ ------------------12分 ‎ 抛物线的标准方程为 ------------------------14分 ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知为实数,点在圆的内部;都有.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)若为假命题,求的取值范围;(3)若为假命题,且为真命题,求的取值范围.‎ 解:(1)为真命题 解得 ------------4分 (2) 为真命题时,恒成立 解得 为假命题时, -----------8分 (3) 为假命题,且为真命题 一真一假 ------------9分 ‎,则 ------------11分 ‎,则 ----------13分 ‎ -----------14分 ‎17.(本小题满分15分)‎ 已知曲线 (1) 若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;(7分)‎ (2) 若曲线表示圆,且直线与圆相交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由。(8分)‎ 解:(1)圆 设圆心到直线的距离为 则 ---------------2分 若的斜率不存在,则符合题意; ----------------4分 若的斜率存在,设为,则 即 解得,可得 ------------6分 综上,直线的方程为或. -------------7分 ‎(2)曲线表示圆 且直线与圆相交 ‎ -------------9分 设过两点的圆的方程为 ‎ ----------------11分 圆心在上,且过原点 ‎ -------------13分 解得 ‎ ------------15分 ‎(法二)曲线表示圆 且直线与圆相交 ‎ -------------9分 设A,B坐标,将直线与圆联立,消去y得到关于x的一元二次方程,得到韦达定理------11分 利用向量数量积等于0,得到关于m的方程 ----------13分 解得m的值 -------------15分 18. ‎(本小题满分15分)‎ ‎(1)设,若,求在点处的切线方程;(5分)‎ ‎(2)若存在过点的直线与曲线和都相切,求的值.(10分)‎ 解:(1)因为 ‎ --------------1分 ‎ ‎ ‎ --------------3分 ‎ ‎ 在点处的切线方程为 ---------------5分 ‎(2)设曲线的切点为 ‎,‎ ‎ ------------7分 又该切线过点 解得 -------------9分 ‎1.当时,切点为,切线 又直线与相切 满足 ‎ ------------------12分 ‎2.当时,切点为,切线 又直线与相切 满足 ‎ ------------------15分 综上 19. ‎(本小题满分16分)‎ 平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是 ‎,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.‎ (1) 求椭圆的方程;‎ (2) 过椭圆上一动点的直线,过与轴垂直的直线记为,右准线记为;‎ 设直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,证明恒为定值,并求此定值.‎ 若连接并延长与直线相交于点,椭圆的右顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求的取值范围.‎ 解:(1)由题意知2a=4,则a=2,‎ 由e==,求得c=1, ------------2分 b2=a2﹣c2=3‎ ‎∴椭圆C的标准方程为; -----------4分 ‎(2)①证明:直线l1:x=1,直线l2:x=4.‎ 把x=1代入直线1: +=1,解得 ‎ ----------6分 把x=4代入直线1: +=1方程,解得y=,‎ ‎ ----------8分 ‎∴‎ ‎--------10分 ‎②由,解得=3(1﹣)(﹣2≤x0<2),x0≠﹣1.‎ 直线l1的方程为:x=1;直线l2的方程为:x=4.‎ 直线PF1的方程为:y﹣0=(x+1),‎ 令x=4,可得yQ=.‎ 点Q,‎ ‎∵,k2=, ----------12分 ‎∴k1•k2==. -------13分 ‎∵点P在椭圆C上,∴,‎ ‎∴k1•k2==. ‎ ‎∵﹣1<x0<2,‎ ‎∴∈(,+∞),‎ ‎∴k1•k2<﹣.‎ ‎∴k1•k2的取值范围是k1k2∈(﹣∞,﹣). ---------16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知,,,直线与线段、分别交于点、.‎ ‎(Ⅰ)当时,求以为焦点,且过中点的椭圆的标准方程;‎ ‎ (Ⅱ)过点作直线∥交于点,记的外接圆为圆.‎ ① 求证:圆心在定直线上;‎ 第20题 P A R O F1‎ Q x y F2‎ ② 圆是否恒过异于点的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由. ‎ ‎【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分 ‎ 而,所以,故椭圆的标准方程为…………………5分 ‎ (Ⅱ)①解法一:易得直线,‎ 所以可得,再由∥,得……………8分 则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,‎ 由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分 经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分 解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分 设的外接圆的方程为,‎ 则,解得…10分 所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上 …11分 ‎②由①可得圆C的方程为………13分 该方程可整理为,‎ 则由,解得或,‎ 所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分
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