2018-2019学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 广西南宁市第三中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.设集合则=‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ A={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}.‎ B={x|x2-1<0}={x|-10}∪{x|-1-1},故选C.‎ ‎2.若a,b都是实数,则“>0”是“a2-b2>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“>0”判断的取值范围,再由“a2-b2>0”计算的取值范围,比较两个命题所对应范围的大小,就可以得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由>0得a>b≥0,由a2-b2>0得a2>b2,即|a|>|b|,所以“>0”是 “a2-b2>0”的充分不必要条件.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题是一道逻辑题,主要考察了充分不必要条件的判断方法,属于基础题。‎ ‎3.若a>b,则下列不等式中成立的是(  )‎ A.< B.a3>b3 C.a2>b2 D.a>|b|‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵函数在上单调递增,∴若,则.故选.‎ ‎4.若实数满足,则的最小值为( )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,(当且仅当时取等号),所以的最小值为,故选C.‎ 考点:基本不等式 ‎【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.‎ ‎5.下列函数中,最小值为4的是(  )‎ A.y=x+ B.y=sinx+(00),若不等式f(x)≥6的解集为(-∞,-2]∪[4,+∞),则a的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵a>0,故f(x)=|x+1|+|x-a|=,‎ ‎∴当x≤-1时,解-2x+a-1≥6得:x≤;‎ 当-1<x<a时,f(x)=1+a;‎ 当x≥a时,解2x+1-a≥6得:x≥;‎ 又f(x)≥6的解集为(-∞,-2]∪[4,+∞),‎ ‎∴=-2且=4且1+a∈[4,+∞),解得a=3.故应填入:3.‎ 考点:绝对值不等式的解法.‎ ‎16.已知直线过点,与轴的正半轴相交于两点,三角形(为坐标原点)的内切圆半径的最大值为.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与两坐标轴都相切的圆可以设为:,由过圆上一定的切线方程公式,可以写出切线方程,将点代入直线,据柯西不等式,可以得出答案。‎ ‎【详解】‎ 设直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于则 作的内切圆,与切于点,圆C的半径为,设圆的方程为,直线与圆相切于点,‎ 则又直线过点,‎ ‎∴由柯西不等式:‎ ‎ ‎ 即 即解得:或 所以三角形的内切圆半径的最大值为1‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了柯西不等式,以及圆上一点的切线方程公式,属于中档题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)的内角,,所对的边分别为,,.向量与 平行.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若,求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据平面向量,列出方程,在利用正弦定理求出的值,即可求解角的大小;(2)由余弦定理,结合基本不等式求出的最大值,即得的面积的最大值.‎ 试题解析:(1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,‎ 由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,‎ 又sinB≠0,从而tanA=,由于00,所以c=3.‎ 故△ABC的面积为bcsinA=.‎ 考点:平面向量的共线应用;正弦定理与余弦定理.‎ ‎18.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). ‎ PM2.5 日均值(微克/立方米)‎ ‎2‎ ‎8  5‎ ‎3‎ ‎2  1  4  3‎ ‎4‎ ‎4  5‎ ‎6‎ ‎3  8‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6  3‎ ‎9‎ ‎2  5‎ ‎(1)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级.‎ ‎(2)从这15天的数据中任取3天的数据,记X表示空气质量达到一级的天数,求X的分布列;‎ ‎【答案】(1)144天;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由茎叶图,算出空气质量达到一级的天数为6,从而得出一年中每天质量达到一级的概率,再由二项分布列的期望公式,可以算出答案。‎ ‎(2)本小问是道超几何分布列的题,按照超几何分布列的公式可以得出的分布列。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为=,一年中空气质量达到一级的天数为Y,则Y~B,‎ 所以E(Y)=360×=144,所以这360天的空气质量达到一级的天数大约有144天.‎ ‎(2)由题意知N=15,M=6,n=3,X的可能取值为0,1,2,3,其分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3),‎ 所以P(X=0)==,P(X=1)==,‎ P(X=2)==,P(X=3)==,‎ 所以X的分布列是:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点睛】‎ 本题主要考察了二项分布列,二项分布列的期望计算,以及超几何分布列。属于中档题。‎ ‎19.如图,已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=A1A=AB=2,点E是棱AB上一点,且λ.‎ ‎(1)证明:D1E⊥A1D;‎ ‎(2)若二面角D1ECD的余弦值为,求CE与平面D1ED所成的角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,由,求出点的坐标,写出向量的坐标,由,列出方程,求即可;(2)求出平面与平面的法向量,由二面角的余弦值为,利用向量公式列出方程求出,再由向量线面角公式求之即可.‎ 试题解析:(1)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),A1(2,0,2),B1(2,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2).‎ 因为=λ,所以E,‎ 于是 =(-2,0,-2)‎ 所以×(-2,0,-2)=0,故D1E⊥A1D.‎ ‎(或用几何法先证出A1D⊥平面D1AE,然后证出A1D⊥D1E)‎ ‎(2)因为D1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的一个法向量为n1=(0,0,2).‎ 又=(0,-4,2),‎ 设平面D1CE的法向量为n2=(x,y,z),则n2 =2x+y=0,n2 =-4y+2z=0,所以向量n2的一个解是.‎ 因为二面角D1-EC-D的余弦值为,则,‎ 解得λ=1.‎ 因为λ=1,所以E(2,2,0),故=(0,0,2),‎ ‎=(2,2,0),=(2,-2,0),‎ 因此=0,=0,故CE⊥平面D1ED.‎ 即CE与平面D1ED所成角为.‎ 考点:1.空间向量的应用;2.空间角.‎ ‎20.已知三角形的三个顶点均在椭圆上,为椭圆短轴上端点。‎ ‎(1)若的重心是右焦点,试求直线的方程;‎ ‎(2)若,为的中点,试求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设B,C的坐标,由点差法,可以得出直线BC的斜率与直线AF斜率的方程,再由重心坐标公式,就可以解出直线BC的斜率。‎ ‎(2)设出直线BC的方程,并与椭圆方程联立,写出韦达定理,将的代数表达用韦达定理代入,即可算出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设, 的中点,‎ ‎∴两式相减: ①‎ 又∵为的重心∴‎ 代入①得:‎ ‎(2)‎ ‎∵ ②‎ 设的方程为:‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 带入②得 ‎∴直线过定点,设为的中点 由于四点共线,所以,即 化简得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆锥曲线的综合应用,由联立,韦达定理,几何关系,构造方程,解出答案几个标准步骤完成。属于中档题。‎ ‎21.已知,‎ ‎(1)设,求的增区间,并证明:当时,‎ ‎(2)如果对任意的,均存在正数使得成立,求证:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 因为,由,可以判断函数的单调性。由,可以得到,化简后命题得证。‎ ‎(2)由结论,又因为=,可以形为 ‎,上下同时除以,,‎ 设,再判断函数>0,原命题可证。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由 得,‎ 所以在上是增函数,故,‎ 即即 ‎(2),所以 ‎ ‎ 令则设 在(0,1)上是增函数,即 所以故。‎ 解2:建立等式后得 所以 ‎,令得,因为 所以得所以,故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的综合应用,比较两个数的大小,通过构造函数,判断函数的单调性来证明,属于比较难得题。‎ ‎22.已知x,y,z是正实数,且满足.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【答案】(1)6+2+2+2;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,展开,再用均值不等式可以算出答案。‎ ‎(2)由,设,据柯西不等式就可以算出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵ x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1,‎ ‎∴++= (x+2y+3z)=6++++++≥6+2+2+2,‎ 当且仅当=且=且=时取等号.‎ ‎(2)由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),‎ ‎∴x2+y2+z2≥,当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号.‎ 故x2+y2+z2≥‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了柯西不等式及其变形,属于基础题。‎ 本题主要考查了求函数的单调区间,以及导数的综合应用,尤其是构造函数,是导数中的难点,属于中档题。‎
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