内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三第四次调研考试数学（理）试题 含答案

内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三第四次调研考试数学（理）试题 含答案

www.ks5u.com 高三上学期第四次调研考试 理科数学 ‎（时间：120分钟 分数：150分）‎ 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合,,则 A.{0,1,6,12,20} B.{0,2,6,12,20} C.{2,6,12,20} D.{6,12}‎ ‎2.复数z满足，则z=‎ ‎ ‎ ‎3.在的展开式中，含项的系数为 A.16 B.-16 C.8 D.-8‎ ‎4.已知，且，则与的夹角为 ‎ ‎ ‎5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等和亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ‎ ‎ ‎6.已知等差数列的前n项和为，且，则 A.2019 B.2018 C.2017 D.2020‎ ‎7.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列结论：‎ ‎①四面体ABCD每组对棱相互垂直；‎ ‎②四面体ABCD每个面的面积相等；‎ ‎③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；‎ ‎④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；‎ ‎⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．‎ 其中正确结论的序号是 A.②④⑤ B.①②④⑤ C.①③④ D.②③④⑤‎ ‎8.已知奇函数且，当取最小值时，在下列区间内，单调递减的是 ‎ C. D. ‎ ‎9.已知点P是抛物线上的一点，在点P处的切线恰好过点，则点P到抛物线焦点的距离为 ‎ ‎ ‎10.如图，在三棱锥D－ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若AE∥CD，AB＝CD＝AE＝2，则三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.设双曲线的左右焦点分别为，过点的直线分别交双曲线的左、右支于点M,N,若以MN为直径的圆过点,且，则双曲线的离心率为 ‎ ‎ ‎12.已知函数是定义在的偶函数，且.当时，，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为 ‎ ‎ ‎ ‎ D.‎ 二．填空题（每小题5分，共20分）：‎ ‎13.高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为__________.‎ ‎14若，则______________.‎ ‎15.已知函数，若正实数a,b满足，则的 最小值为___________.‎ ‎16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对， 恒成立，则的取值范围是__________．‎ 三．解答题（共70分）：‎ ‎17.（12分）在中，点D在线段BC上.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)若，求AD的长； ‎ ‎(2)若BD=2DC,,求的值.‎ ‎18.（12分）随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：‎ 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 参加选修课 ‎16‎ ‎9‎ ‎25‎ 不参加选修课[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎8‎ ‎17‎ ‎25‎ 总计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎(1)试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；‎ ‎(2)如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.‎ 参考公式：[来源:Zxxk.Com]‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，‎ 平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，AB＝BC＝.‎ ‎(1)若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；‎ ‎(2)求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知，直线：，椭圆：分别为椭圆的左、右焦点．‎ ‎(1)当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．‎ ‎21.（12分）已知函数 ‎(1)若，求证：；‎ ‎(2)若，求的最大值；‎ ‎(3)求证：当时，.‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。[来源:学科网]‎ ‎22.(10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，M(－2,0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(ρ，θ)为曲线C上一点，B，|BM|＝1.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求|OA|2＋|MA|2的取值范围．‎ ‎23．(10分)选修4－5：不等式选讲 若∃x0∈R，使关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T.‎ ‎(1)求集合T；‎ ‎(2)若m>1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．‎ 月考答案 一． 选择题：1-5 BDBCA 6-10 CAABB 11-12 CA 二． 填空题：13. 0.2 14. 15.8 16.[来源:Z,xx,k.Com]‎ 三． 解答题：‎ ‎ .........................5分 ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎.........................12分 ‎19.∵平面BDEF∩平面ABC＝BD，‎ 平面ABC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴AC⊥平面BDEF.‎ 又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF.‎ ‎∵DM∩AC＝D，∴BF⊥平面AMC.............................4分 ‎(2)设线段EF的中点为N，连接DN.易证DN⊥平面ABC.以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(0，－1，0)，E(－，0，)，F(，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，‎ ‎∴＝(－，1，)，＝(1，0，0)，=(－，0，)，＝(－1，1，0)．....6分 设平面AEF，平面BCF的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．‎ 由得 取z1＝－2，则y1＝，∴＝(0，，－2)． ...............................8分 由得解得x2＝y2＝z2，‎ 取z2＝1，∴＝(，，1)． ......................................10分 ‎∵||＝||＝＝.‎ ‎∴平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为. ................12 分 ‎20.(1)∵直线：经过，，得．又，，故直线的方程为． ……4分 ‎(2)设，‎ 由消去得，∴． ‎ 由，得．…… 7分 ‎ 由于，故为的中点．由分别为的重心，可知，‎ 设是的中点，则，∵原点在以线段为直径的圆内，．而，‎ ‎∴，即．......10分 又且，，的取值范围是．……….12分 ‎ ...................................12 分 ‎22.解:(1)设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以xB＝ρcos＝x－y，‎ yB＝ρsin＝x＋y，‎ 故B由|BM|2＝1，得,‎ 整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1....................................5分 ‎(2)圆C：(α为参数)，‎ 则|OA|2＋|MA|2＝4sinα＋10，‎ 所以|OA|2＋|MA|2∈[10－4，10＋4]......................................10分 ‎23.解:(1)||x－1|－|x－2||≤|x－1－(x－2)|＝1，‎ 所以|x－1|－|x－2|≤1，所以t的取值范围为(－∞，1]，‎ 即T＝{t|t≤1}....................................5分 ‎(2)由(1)知，对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，只需log3m·log3n≥tmax，‎ 所以log3m·log3n≥1，‎ 又因为m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0，‎ 又1≤log3m·log3n≤＝ ‎(log3m＝log3n时取等号，此时m＝n)，...............................................8分 所以(log3mn)2≥4，所以log3mn≥2，mn≥9，‎ 所以m＋n≥2≥6，即m＋n的最小值为6(此时m＝n＝3)．.....................................10分