2012年数学福建省高考压轴卷理

2012年数学福建省高考压轴卷理

‎2012年福建省高考压轴卷数学理 一、选择题 ‎1、已知，，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有　　　 　 （　　）‎ A．　　　　　　　　　B． 　‎ C． 　　　　　　　 D． ‎ ‎ ‎ ‎2、已知为等差数列，若，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（ ）‎ ‎ （A）12‎ ‎ （B）24‎ ‎（C）36‎ ‎（D）48‎ ‎ ‎ ‎4、已知是直线，是平面，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件　　　　C．充要条件　　　D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎5、一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是 A. ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ D. ‎ 第5题图 ‎ ‎ ‎6、函数在区间恰有2个零点，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎7、若，且，则的夹角为( )‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎ ‎ ‎8、已知为坐标原点，点的坐标为（），点的坐标、满足不等式组. 若当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎9、已知复数和复数，则为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 若为坐标原点,则与直线上一点的“折线距离”的最小值是（ ）‎ A. B. C.2 D. 4‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎11、在区间[-3，5]上随机取一个数x，则[1，3]的概率为_________ ‎ ‎ ‎ ‎12、记的展开式中第k项的系数为= _________ ‎ ‎ ‎ ‎13、 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是_________ ‎ ‎ ‎ ‎14、洛萨科拉茨（Lothar Collatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则的所有可能的取值为_________ ‎ ‎ ‎ ‎15、若集合M=,集合N=，，则实数的值的个数是_________ ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16、（1）已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成. 求矩阵M．‎ ‎（2）已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数），曲线与交于M，N两点，求M，N两点间的距离．‎ ‎（3） 不等式对任意实数t恒成立，试求实数x的取值范围．‎ ‎17、‎ 工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.‎ ‎(Ⅰ)求报废的合格品少于两件的概率；‎ ‎(Ⅱ)求的分布列和数学期望.‎ ‎18、‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ) 已知中，角所对的边长分别为，若，‎ ‎，求的面积．‎ ‎19、‎ 在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，=90°,，.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)设为侧棱上一点，，试确定的 值，使得二面角的大小为45°.‎ ‎20、‎ 设函数，．‎ ‎ (Ⅰ)求的极值；‎ ‎(Ⅱ)设≤，记在上的最大值为，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）设函数（为常数），若使≤≤在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B；‎ ‎2、 B；‎ ‎3、Ｃ；‎ ‎4、B；‎ ‎5、 A；‎ ‎6、 B；‎ ‎7、 A；‎ ‎8、D；‎ ‎9、 A；‎ ‎10、 A；‎ 二、填空题 ‎11、 . ‎ ‎12、 6.‎ ‎13、 ．‎ ‎14、 .‎ ‎15、 4.‎ 三、解答题 ‎16、（1）解析：设M=，则=3=，故 ‎ =，故 ‎ 联立以上两方程组解得a=，b=4，c=，d=6，故M=． ‎ ‎（2） 解析：曲线的直角坐标方程为：，曲线的变通方程为： ，‎ 联立方程组，消去x得：‎ ‎，解得或，代入，x没有实数解；‎ 代入，，，，所以M，N两点间的距离为2.‎ ‎（3）解析：∵‎ ‎∴对任意实数t恒成立等价于 ‎，‎ 或或，‎ ‎ 解得实数x的取值范围为。‎ ‎17、‎ 解析：(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ .‎ ‎18、‎ 解析：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 令，‎ ‎ 得，‎ ‎ 所以函数的单调递增区间为；‎ ‎ （Ⅱ），，解得或，‎ 又，故，‎ 由，得，则,,‎ ‎ 所以．‎ ‎19、 解析：(Ⅰ)平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，‎ 所以PD⊥AD. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz.‎ 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0）， P（0，0，1） ‎ 所以 ‎ 又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，‎ 所以BC⊥平面PBD；‎ ‎ (Ⅱ)平面PBD的法向量为 ‎ ‎，所以，‎ 设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），‎ 由n，n，得 所以，，‎ 由解得。‎ ‎20、解析：(Ⅰ)令，得，区间分别单调增，单调减，单调增，于是当时，有极大值极小值，‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知区间分别单调增，单调减，单调增，‎ 所以当时，，特别当时，有；‎ 当时，，则，所以对任意的，‎ ‎（Ⅲ）由已知得在上恒成立，得时，，时，，故时，函数取到最小值.从而；同样的，在上恒成立，由得时，，时，，故时，函数取到最小值.从而，由的唯一性知，.‎