2018-2019学年山东省泰安市宁阳一中高二上学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年山东省泰安市宁阳一中高二上学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 山东省泰安市宁阳一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“∀，||”的否定是（ ）‎ A． ∀， || B． ∀， ||‎ C． ∃，|| D． ∃，||‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据全称命题的否定形式，可知应该为 ，||，故选C．‎ 考点：含有量词命题的否定．‎ ‎2．下列命题中，正确的是　　‎ A． 若，，则 B． 若，，则 C． 若，则 D． 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确；‎ 对于B，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确；‎ 对于C，c的符号不定，故不正确；‎ 对于D，，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为x±y＝0，‎ 故点F到x±y＝0的距离d＝选B ‎4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则k应满足的条件是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的焦点坐标，椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的焦点，椭圆的焦点坐标，‎ 椭圆与双曲线有相同的焦点，‎ 可得：，，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )‎ A． > B． ＋≤1 C． ≥2 D． a2＋b2≥8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为a>0，b>0利用基本不等式有，当且仅当时等号成立，C错；由得，，A错；，当且仅当时，等号成立，D正确；，当且仅当时等号成立，B错；综上可知，选D.‎ 考点：基本不等式、不等式的性质.‎ ‎6．设为公差小于零的等差数列，为其前n项和，若，则当n为何值时最大　　‎ A． 8 B． 9 C． 10 D． 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得得到，由此利用等差数列的通项公式能求出当n为何值时，有最大值．‎ ‎【详解】‎ 等差数列的前n项和为，已知，公差，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ ‎，‎ 当时，有最大值．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n 项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎7．椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则的值为　　‎ A． 10 B． 8 C． 16 D． 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得：，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义可得：，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题可知， ， ，因为 ，所以，故选C．‎ 考点：双曲线的离心率．‎ 视频 ‎9．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得时，，化为：时，，解得 ‎．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 时，，化为：．‎ 时，，解得．‎ 数列为等比数列，公比为2．‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎10．已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其右焦点F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意知三角形OMN为等腰直角三角形,‎ 所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),‎ 当x=c时,-=1,得|y|=,‎ 所以由|y|==c得b2=ac,‎ 即c2-a2=ac,c2-ac-a2=0,‎ 所以e2-e-1=0,‎ 解得离心率e=.故选D.‎ ‎11．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆的标准方程可知，其上下顶点分别为.设点，则（1），则则，将（1）代入得，因为斜率的取值范围是，所以线斜率的取值范围是，故选B.‎ 考点：直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【易错点晴】根据题意求出的坐标，设出点的坐标，代入求斜率，进而求斜率的取值范围．本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，本题的难点在于如何利用直线斜率求得直线斜率，两直线斜率乘积是定值是不容易想到，本题属于难题.‎ ‎12．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得，所以 ，故答案为C．‎ 考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若椭圆的焦点在x轴，可设出椭圆标准方程，并得到c，再由长轴长是短轴长的3倍可得，结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求，若椭圆的焦点在y轴，同理可得椭圆方程．‎ ‎【详解】‎ 若椭圆的焦点在x轴，可设椭圆方程为，且，即．‎ 又，，‎ 结合，得，，‎ 则．‎ 椭圆标准方程为．‎ 若椭圆的焦点在y轴，同理可得．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．‎ ‎14．抛物线的焦点坐标是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先把抛物线的方程化成标准方程，根据交点坐标公式直接写出交点坐标.‎ 考点：抛物线的焦点坐标.‎ ‎15．已知数列的通项公式为，则其前n项和______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用错位相减法可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 由得：，‎ ‎，‎ 得，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ ‎“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎16．已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵右顶点为A，∴A(a,0)，‎ ‎∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，，‎ ‎∵|FA|=c，∴①，‎ 抛物线的准线方程为，‎ 由得，‎ ‎②，‎ 由①②,得,即c2=2a2，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，‎ 故答案为：y=±x.‎ 点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；‎ 已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．‎ ‎【答案】当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．‎ 直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．‎ ‎【详解】‎ 已知，‎ 则：，‎ 故：，‎ 当且仅当：，‎ 解得：，‎ 即：当时，y的最小值为7．‎ 已知，，，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 即：，‎ 解得：，时，xy的最大值为6．‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎18．已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解得，由，可得，讨论和0的关系解不等式，若p是q的充分不必要条件，则集合是式解集的真子集，故可得关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由解得，‎ 由，可得，‎ 当时，式的解集为；‎ 当时，式的解集为；‎ 当时，式的解集为；‎ 若p是q的充分不必要条件，则集合是式解集的真子集．‎ 可得或，解得，或．‎ 经验证，当或时，式的解集均为，符合题意．‎ 故m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用.‎ ‎19．已知数列满足，．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式和前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）等比数列的判定方法：（1）定义法：若是常数，则是等比数列；中项公式法：若数列中，，则是等比数列；通项公式法：若数列通项公式可写成；（2）熟记等比数列前项和公式，，注意利用性质把数列转化，利用等比数列前项和公式．‎ 试题解析：（1）依题意有且， 所以 所以数列是等比数列 6分 ‎（2）由（1）知．‎ 即， 所以 10分 而 ‎ 14分 考点：等比数列定义及前n项公式．‎ ‎20．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．‎ ‎(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；‎ ‎(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．‎ ‎【答案】（1）8（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由y2＝6x，得准线方程、焦点，直线的方程为，与抛物线方程联立可得x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段AB的长；‎ ‎（2），即可求线段AB的中点M到准线的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．‎ 又F，所以直线l的方程为y＝．‎ 联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，‎ 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，‎ 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3．又准线方程是x＝－，‎ 所以M到准线的距离为3＋＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.‎ ‎21．设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．‎ Ⅰ求数列的通项公式；‎ Ⅱ设，数列的前n项和为，求证．‎ ‎【答案】ⅠⅡ见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．‎ Ⅱ求出，利用裂项求和法能证明．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ由,‎ 解得 所以 证明：Ⅱ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．‎ ‎22．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，‎ Ⅰ求椭圆C的方程．‎ Ⅱ斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】Ⅰ ．Ⅱ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ设椭圆方程为，由椭圆可得，解出即可得出．‎ Ⅱ解法一：设，，AB中点，直线AB的方程为，代入椭圆方程可得 ‎，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N的坐标，可得AB的垂直平分线NG的方程为，进而得出．‎ 解法二：设，，AB中点，把点A，B的坐标分别代入椭圆方程相减可得：，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得斜率，又，可得，又在椭圆内，即，可得，利用AB的垂直平分线为，即可得出．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ设椭圆方程为，‎ 则 由得 由得代入得，‎ 即，即，或 ‎，，得，‎ ‎，，‎ 椭圆方程为．‎ Ⅱ解法一：设，，AB中点，‎ 直线AB的方程为，‎ 代入，整理得，‎ 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 的垂直平分线NG的方程为，‎ 时，，‎ ‎，，，，‎ ‎．‎ 解法二：设，，AB中点，‎ 由，得，‎ 斜率，‎ 又，，‎ ‎，得，‎ 在椭圆内，即，‎ 将代入得，‎ 解得 ‎，‎ 则AB的垂直平分线为，时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎