2018-2019学年山东省泰安市宁阳一中高二上学期期中考试数学试题 解析版

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2018-2019学年山东省泰安市宁阳一中高二上学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 山东省泰安市宁阳一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.命题“∀,||”的否定是( )‎ A. ∀, || B. ∀, ||‎ C. ∃,|| D. ∃,||‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:根据全称命题的否定形式,可知应该为 ,||,故选C.‎ 考点:含有量词命题的否定.‎ ‎2.下列命题中,正确的是  ‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质进行判断,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 对于A,同向不等式,只能相加,不能相减,故不正确;‎ 对于B,同向不等式均为正时,才能相乘,故不正确;‎ 对于C,c的符号不定,故不正确;‎ 对于D,,故正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.‎ ‎3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(  )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0,‎ 故点F到x±y=0的距离d=选B ‎4.椭圆与双曲线有相同的焦点,则k应满足的条件是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的焦点坐标,椭圆的焦点坐标,列出方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的焦点,椭圆的焦点坐标,‎ 椭圆与双曲线有相同的焦点,‎ 可得:,,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.‎ ‎5.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )‎ A. > B. +≤1 C. ≥2 D. a2+b2≥8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:因为a>0,b>0利用基本不等式有,当且仅当时等号成立,C错;由得,,A错;,当且仅当时,等号成立,D正确;,当且仅当时等号成立,B错;综上可知,选D.‎ 考点:基本不等式、不等式的性质.‎ ‎6.设为公差小于零的等差数列,为其前n项和,若,则当n为何值时最大  ‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得得到,由此利用等差数列的通项公式能求出当n为何值时,有最大值.‎ ‎【详解】‎ 等差数列的前n项和为,已知,公差,‎ ‎,‎ 解得,,‎ ‎.‎ ‎,‎ 当时,有最大值.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n 项和的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.‎ ‎7.椭圆的两个焦点为,,过的直线交椭圆于A、B两点,若,则的值为  ‎ A. 10 B. 8 C. 16 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可得:,即可得出.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义可得:,‎ ‎,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义及其标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎8.双曲线的离心率大于的充分必要条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:由题可知, , ,因为 ,所以,故选C.‎ 考点:双曲线的离心率.‎ 视频 ‎9.已知数列的前n项和为,且,则数列的通项公式为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,可得时,,化为:时,,解得 ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 时,,化为:.‎ 时,,解得.‎ 数列为等比数列,公比为2.‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎10.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其右焦点F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意知三角形OMN为等腰直角三角形,‎ 所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),‎ 当x=c时,-=1,得|y|=,‎ 所以由|y|==c得b2=ac,‎ 即c2-a2=ac,c2-ac-a2=0,‎ 所以e2-e-1=0,‎ 解得离心率e=.故选D.‎ ‎11.椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由椭圆的标准方程可知,其上下顶点分别为.设点,则(1),则则,将(1)代入得,因为斜率的取值范围是,所以线斜率的取值范围是,故选B.‎ 考点:直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【易错点晴】根据题意求出的坐标,设出点的坐标,代入求斜率,进而求斜率的取值范围.本题考查了圆锥曲线的简单性质应用,本题的难点在于如何利用直线斜率求得直线斜率,两直线斜率乘积是定值是不容易想到,本题属于难题.‎ ‎12.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:抛物线焦点为,准线方程为,由得,所以 ,故答案为C.‎ 考点:1、抛物线的定义;2、直线与抛物线的位置关系.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍,焦距为8,则这个椭圆的标准方程为______.‎ ‎【答案】【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若椭圆的焦点在x轴,可设出椭圆标准方程,并得到c,再由长轴长是短轴长的3倍可得,结合隐含条件求得a,b的值,则椭圆方程可求,若椭圆的焦点在y轴,同理可得椭圆方程.‎ ‎【详解】‎ 若椭圆的焦点在x轴,可设椭圆方程为,且,即.‎ 又,,‎ 结合,得,,‎ 则.‎ 椭圆标准方程为.‎ 若椭圆的焦点在y轴,同理可得.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法,考查了椭圆的简单几何性质,考查分类讨论思想,是基础题.‎ ‎14.抛物线的焦点坐标是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先把抛物线的方程化成标准方程,根据交点坐标公式直接写出交点坐标.‎ 考点:抛物线的焦点坐标.‎ ‎15.已知数列的通项公式为,则其前n项和______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用错位相减法可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由得:,‎ ‎,‎ 得,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ ‎“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎16.已知双曲线的焦距为,右顶点为,抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为,且,则双曲线的渐近线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵右顶点为A,∴A(a,0),‎ ‎∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,,‎ ‎∵|FA|=c,∴①,‎ 抛物线的准线方程为,‎ 由得,‎ ‎②,‎ 由①②,得,即c2=2a2,‎ ‎∵c2=a2+b2,‎ ‎∴a=b,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为:y=±x,‎ 故答案为:y=±x.‎ 点睛:双曲线的渐近线方程为,而双曲线的渐近线方程为(即),应注意其区别与联系.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.已知,求的最小值,并求取到最小值时x的值;‎ 已知,,,求xy的最大值,并求取到最大值时x、y的值.‎ ‎【答案】当时,y的最小值为7. ,时,xy的最大值为6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果.‎ 直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果.‎ ‎【详解】‎ 已知,‎ 则:,‎ 故:,‎ 当且仅当:,‎ 解得:,‎ 即:当时,y的最小值为7.‎ 已知,,,‎ 则:,‎ 解得:,‎ 即:,‎ 解得:,时,xy的最大值为6.‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.‎ ‎18.已知条件p:;条件q:,若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是什么?‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解得,由,可得,讨论和0的关系解不等式,若p是q的充分不必要条件,则集合是式解集的真子集,故可得关于m的不等式组,解之即可得m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由解得,‎ 由,可得,‎ 当时,式的解集为;‎ 当时,式的解集为;‎ 当时,式的解集为;‎ 若p是q的充分不必要条件,则集合是式解集的真子集.‎ 可得或,解得,或.‎ 经验证,当或时,式的解集均为,符合题意.‎ 故m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件、必要条件和充要条件,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式组的合理运用.‎ ‎19.已知数列满足,.‎ ‎(1)求证:数列是等比数列;‎ ‎(2)求数列的通项公式和前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析 ‎(2);‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)等比数列的判定方法:(1)定义法:若是常数,则是等比数列;中项公式法:若数列中,,则是等比数列;通项公式法:若数列通项公式可写成;(2)熟记等比数列前项和公式,,注意利用性质把数列转化,利用等比数列前项和公式.‎ 试题解析:(1)依题意有且, 所以 所以数列是等比数列 6分 ‎(2)由(1)知.‎ 即, 所以 10分 而 ‎ 14分 考点:等比数列定义及前n项公式.‎ ‎20.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.‎ ‎(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;‎ ‎(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.‎ ‎【答案】(1)8(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由y2=6x,得准线方程、焦点,直线的方程为,与抛物线方程联立可得x2-5x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,由抛物线的定义可知线段AB的长;‎ ‎(2),即可求线段AB的中点M到准线的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=.‎ 又F,所以直线l的方程为y=.‎ 联立消去y得x2-5x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,‎ 而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,‎ 所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x=-,‎ 所以M到准线的距离为3+=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,属于中档题.‎ ‎21.设等差数列的公差为d,前n项和为,已知,.‎ Ⅰ求数列的通项公式;‎ Ⅱ设,数列的前n项和为,求证.‎ ‎【答案】ⅠⅡ见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式.‎ Ⅱ求出,利用裂项求和法能证明.‎ ‎【详解】‎ Ⅰ由,‎ 解得 所以 证明:Ⅱ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.‎ ‎22.已知椭圆C以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的一个焦点为,点在椭圆上,‎ Ⅰ求椭圆C的方程.‎ Ⅱ斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直,直线l交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】Ⅰ .Ⅱ.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ设椭圆方程为,由椭圆可得,解出即可得出.‎ Ⅱ解法一:设,,AB中点,直线AB的方程为,代入椭圆方程可得 ‎,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N的坐标,可得AB的垂直平分线NG的方程为,进而得出.‎ 解法二:设,,AB中点,把点A,B的坐标分别代入椭圆方程相减可得:,利用中点坐标公式、斜率计算公式可得斜率,又,可得,又在椭圆内,即,可得,利用AB的垂直平分线为,即可得出.‎ ‎【详解】‎ Ⅰ设椭圆方程为,‎ 则 由得 由得代入得,‎ 即,即,或 ‎,,得,‎ ‎,,‎ 椭圆方程为.‎ Ⅱ解法一:设,,AB中点,‎ 直线AB的方程为,‎ 代入,整理得,‎ 直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根,‎ 则,,‎ ‎,,‎ 的垂直平分线NG的方程为,‎ 时,,‎ ‎,,,,‎ ‎.‎ 解法二:设,,AB中点,‎ 由,得,‎ 斜率,‎ 又,,‎ ‎,得,‎ 在椭圆内,即,‎ 将代入得,‎ 解得 ‎,‎ 则AB的垂直平分线为,时,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎
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