2018年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查理科答案

2018年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查理科答案

‎2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎　1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B ‎　7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎　13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．‎ 解:（1）由题设，‎ 当时，，两式相减得 ‎，即 . …………………2分 又=2，，可得， ‎ ‎∴. ………………………………3分 ‎∴数列构成首项为2，公比为4的等比数列， ‎ ‎∴. ………………………………5分 ‎（没有验证扣一分）‎ ‎（2）∵，………………………………6分 ‎（）， ………………7分 ‎∴时， ， ………9分 ‎ ∴ …………10分 ‎ ………………………………11分 ‎. ………………………………12分 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）∵，………………………………6分 ‎（）， ………………7分 ‎∵时，，‎ ‎∴ ， ………9分 ‎ ∴ …………10分 ‎ ………………………………11分 ‎. ………………………………12分 解法三：（1）同解法一；‎ ‎（2）∵，………………………………6分 ‎（）， ………………7分 ‎∴时， ， ………8分 ‎ ∴ …………10分 ‎ …………………………11分 ‎. ………………………………12分 ‎18．本小题主要考查频率分布表、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解法一：（1）当时， ………………………………1分 ‎ 当时，. ………………………………2分 得： ………………………………3分 ‎（2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率……4分 可取，，，. ‎ ‎，‎ ‎， ‎ 的分布列为 ‎ ……………7分 ‎ ……………………………8分 或依题意， ……………………………8分 ‎（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），……………10分 每次上下班租车的费用约为（元）. ……………11分 一个月上下班租车费用约为，‎ 估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分 解法二：（1）（2）同解法一；‎ ‎（3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均租车价格为（元）‎ ‎……………10分 一个月上下班租车费用约为……………11分 估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12分 ‎19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解法一：（1）连结.‎ 是的中点，，‎ ‎，‎ ‎， 四边形是平行四边形，‎ ‎.………………1分 平面，平面，‎ ‎，………………2分 在平面的正投影为，‎ 平面，‎ ‎.………………3分 又，‎ 平面，‎ ‎，………………4分 又，‎ 是的中点. ………………5分 ‎（2），，‎ ‎，‎ 平面，‎ 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，………………6分 ‎，，，，‎ ‎，， ‎ ‎，‎ ‎∴是的的外心，‎ ‎，‎ 是的的重心，‎ ‎.………………8分 设，，，‎ 又是平面的一个法向量，且平面，‎ ‎，‎ ‎，解得，，………………9分 设是平面的法向量，‎ ‎，，‎ ‎ 即 取则，.………………11分 ‎， ‎ 直线与平面所成角的正弦值为.………………12分 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）过作，交于点，‎ 过点作，分别交于，则平面，………………6分 证明如下：‎ 平面平面，‎ 平面 ‎ 平面，平面，，‎ ‎∴在平面中，，‎ 平面平面，‎ 平面 ‎，平面平面 平面，平面.………………7分 ‎，‎ ‎………………8分 在上取一点，使，‎ ‎，………………9分 作于，连结.‎ ‎∵，‎ 平面，‎ ‎，‎ ‎, 平面,‎ 就是与平面所成的角. ………………10分 ‎, ，………………11分 ‎, 即直线与平面所成角的正弦值为.………………12分 解法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）过作，交于点，‎ 连结，过作交于点，‎ 过点作，交于，连结，‎ 则平面，………………6分 证明如下：‎ 平面平面，‎ 平面 同理平面 ‎，平面平面．‎ 平面，平面，………………7分 ‎，‎ 是的中点，是的中点，‎ ‎，………………8分 取的中点，连结，再连结并延长交的延长线于点，连结，‎ ‎，是中点，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 平面 ‎，‎ ‎，，‎ ‎， 平面，‎ 就是与平面所成的角.‎ ‎， ，‎ ‎.‎ ‎ ………………11分 ‎， 即直线与平面所成角的正弦值为.………………12分 ‎20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．‎ 解法一：（1）根据题意，可得： 即………………………………………………………2分 解得………………………………………………………4分 ‎∴椭圆的方程为．………………………………………………………5分 ‎（2）设，，直线与圆相切，得 ‎，即，………………………………6分 从而.‎ 又，，‎ ‎∴.………………………………7分 将直线的方程与椭圆方程联立得 x O P Q y ‎，‎ 显然.‎ 设，，得，．…………8分 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当时，；………………………………10分 当时，，………………………………11分 且.‎ 综上，．………………………………12分 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设，‎ 此时直线与椭圆的交点为，‎ ‎.‎ 直线的斜率存在时，设，由直线与圆相切，得 ‎，即.‎ 又点在直线的两侧，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，解得或.‎ 点分别到直线的距离为 ‎，.‎ 将直线的方程与椭圆方程联立得 ‎，‎ 显然.‎ 设，，得，．…………………………………7分 ‎∴.………………………8分 ‎∴‎ ‎，‎ 且.‎ 综上，．…………………………………………………………………………12分 ‎21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解法一: （1）函数的定义域是，‎ ‎，……………………………………………………………1分 依题意可得， ，‎ ‎， .……………………………………………………………………2分 ‎=‎ 令，即，，……………………………………3分 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极大值 ‎↗‎ 的单调递增区间是，单调递减区间为.………………………………5分 ‎（2）由（Ⅰ）可知， ，‎ ‎，………………………………6分 设， 只要，……………………………………………7分 ‎，…………………………………………………………………8分 令， ‎ 在上为单调递增函数， ‎ ‎， ‎ 存在，使，……………………………………………………9分 当时，，即， 当时，，即，‎ 在时取最小值，且，………………………………10分 又， ，‎ ‎，……………………………………………………11分 又， ‎ ‎. …………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）由（1）可知， ‎ ‎.…………………………6分 设，只要，………………………………………7分 则 令，则，.…………………………………………………8分 当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ ‎.…………………………9分 设，则在R上单调递减，………………………………………10分 ‎，………………………………………………11分 ‎，使， ‎ ‎ . …………………………………………………………………12分 ‎22．选修；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解法一：（1）由 ：，‎ 得，‎ 即， ………………………………………………………2分 曲线化为一般方程为：，即，………4分 化为极坐标方程为：．………………………………5分 ‎（2）由及，消去，得曲线的极坐标方程为 ‎． …………………………………………………7分 将代入曲线的极坐标方程，可得，…………………8分 故，，…………………………………………………9分 故．…………………………………………………10分 ‎（或由得得，…………………9分 故…………………………………………………10分）‎ 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）由及，消去，得曲线的直角坐标方程为 ‎． ………………………………………………………………7分 设直线的参数方程为（为参数），………………………………8分 与联立得，‎ 即，………………………………………………………………9分 故，，‎ ‎∴．……………………………………………………10分 ‎（或由得，得，‎ ‎∴．……………………………………………………10分）‎ ‎23．选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解法一：（1）‎ ‎，………………………………………1分 当时，原不等式化为，解得，‎ ‎∴；………………………………………………2分 当时，原不等式化为，‎ ‎∴；………………………………………………3分 当时，原不等式化为，解得，‎ ‎∴；………………………………………………4分 综上，不等式的解集为．.……………………5分 ‎（2）且，‎ ‎ ……………7分 ‎………………………………8分 ‎. ‎ 当且仅当时，取“=”. ………………………………10分 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）且，‎ ‎………………………………6分 ‎………………………………7分 ‎………………………………8分 ‎ ‎ 当且仅当时，取“=”. ………………………………10分