高二数学同步辅导教材(第13讲)
高二数学同步辅导教材（第 13 讲）
一、 本章主要内容
8.2 椭圆的简单几何性质
课本第 97 页至第 103 页
二、 本讲主要内容
1、椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义）；
2、椭圆的简单几何性质；
3、椭圆的参数方程。
三、 学习指导
1、根据曲线的条件求出其对应的方程，根据曲线的方程特征研究它的几何性质，是解析几何的基本
问题。前者是手段，后者是目的。
本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点，以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导
出来的。
2、两个定义的统一性。教材 P.100 例 4 是椭圆的第二定义（它同时又是圆锥曲线的统一定义），它
与第一定义是统一的。联系如下：
教材第 93 页自上而下第七行为：
222 y)cx(acxa
接下来作如下整理：
22 y)cx(xa
ca
∴ 22
2
y)cx()xc
a(a
c
∴
a
c
xc
a
y)cx(
2
22
22 y)cx( 表示动点 M 与右焦点 F2 的距离
xc
a 2
表示直线
c
ax
2
到点 M 的距离
图见课本第 100 页例 4 图，用文字语言表述，即为第二定义
当涉及到椭圆上的点到焦点距离时，通常用第一或第二定义去转化，降低运算量。
利用第二定义可得焦半径（焦点与椭圆上点连线长度）：设椭圆上点 P 坐标为（x0,y0）
当焦点在 x 轴上时，左焦半径 r=a+ex0
右焦半径 r=a-ex0
当焦点在 y 轴上时，上焦半径 r=a+ey0
下焦半径 r=a-ey0
注：当点 P 为长轴端点时，焦半径分别取得最大和最小值
4、椭圆的性质
（1）几何性质：
①位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；
对称性（具有轴对称和中心对称）
②数量关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为 2c，2a，
2b；两准线之间距离为
c
a2
2
；焦点到对应准线距离（焦准距
c
bp
2
等等）
③离心率：
a
ce ，0
b>0） 1
a
y
b
x
2
2
2
2
（a>b>0）
焦点：（±c，0） （0，±c）
顶点：（±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0）
准线：x=±
c
a 2
y=±
c
a 2
4、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判
别式（△法）。
当直线与椭圆相交时，设直线与椭圆 （a>b>0）相交于 A、B 两点，AB 中点为 M（x0，
y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径：
（1）列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：
0
2
0
2
AB ya
xbk 。
不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。
5、椭圆 1
b
y
a
x
2
2
2
2
（a>b>0）的参数方程为
sinby
cosax （θ 为参数）；
椭圆 1
a
y
b
x
2
2
2
2
（a>b>0）的参数方程为
sinay
cosbx （θ 为参数）。
四、 典型例题
例 1、定点 A（-1，1）， B（1，0），点 P 在椭圆 13
y
4
x 22
上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。
解题思路分析：
如果试图用距离公式建立函数关系，从而求最小 值，显然是行
不通的。注意到 B（1，0）是焦点，因此用定义转化 2|PB|
设右准线：
c
ax
2
=4
过 P 作 PH⊥，H 为垂足
则 e|PH|
|PB| ，
2
1
|PH|
|PB|
∴ |PH|=2|PB|
∴ (|PA|+2|PB|)min=(|PA|+|PH|)min
∵ A、分别为定点与定直线
∴ 过 A 作 AH0⊥，交椭圆于 P0，H0 为垂足，则点 P0 为所求的点
(|PA|+|PH|)min=|AH0|=5
注：实际上，|PA|+2|PB|=|PA|+
e
1 |PB|。对于与焦半径及离心率有关的问题，一般用椭圆的第二定
义转化。
例 2、过椭圆 14
y
16
x 22
的左焦点 F 作倾斜角为α 的弦 MN，若弦长不大于短轴长，求 cosα 的取值
范围。
解题思路分析：
本题 cosα 范围所对应的不等关系很明显：|MN|≤2b=4，关系是如何求|MN|，焦半径的原理就是椭
圆的第二定义。
设直线 MN： )32x(ky ，代入 14
y
16
x 22
得(1+4k2)x2+16 3 k2x+16(3k2-1)=0
∵ 焦点 F 在椭圆内部
∴ 该方程判别式△≥0 恒成立
设 M（x1，y1）， N（x2，y2）
则 x1+x2= 2
2
k41
k316
……①
又|MN|=|MF|+|NF|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+
2
3 (x1+x2)
∴ 8+
2
3 (x1+x2)≤4
∴ x1+x2≤
3
8 ……②
由①②得： 2
2
k41
k316
≤
3
8
化简得：k2≥
2
1 ，即 2tan ≥
2
1
∴
2tan1
1 ≤
3
2
∴ 2cos ≤
3
2
∴ ]3
6,3
6[cos
注：当直线与椭圆相交时，对于交点，一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型；列
方程组，用韦达定理。另一种常用途径见下例。
例 3、焦点在 x 轴上的椭圆 c 的一顶点为 B（0，-1），右焦点到直线 m：x-y+ 22 =0 的距离为 3，
（1）求 c 的方程；
（2）是否存在斜率 k≠0 的直线与 c 交于两点 M、N，使|BM|=|BN|？若存在，求出 k 的取值范围；
若不存在，注明理由。
解题思路分析：
（1）设椭圆方程为 1
b
y
a
x
2
2
2
2
（a>b>0）
则 b=1，右焦点 F（c，0）
∵ 3
2
|22c|
∴ c= 25 （舍），或 c= 2
∴ c2=2，a2=b2+c2=3
∴ 椭圆 c 的方程为 1y3
x 2
2
思路一：设 M（x1，y1）， N（x2，y2）， MN 中点 P（x0，y0）
则
1y3
x
1y3
x
2
2
2
2
2
1
2
1
两式相减得：
3
1 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
显然 x1≠x2，等式两边同除以 x1-x2 得：
)yy(2
xx
xx
yy
21
21
21
21
即 KMN=
0
0
y3
x
∴ k=
0
0
y3
x
又 kBP=
k
1
x
1y
0
0
由
k
1
x
1y
ky3
x
0
0
0
0
得：
2
1y
k2
3x
0
0
∵ 点 P 在椭圆内
∴ 1y3
x 2
0
2
0
∴ 1)2
1(3
)k2
3(
2
2
化简得：k2<1
∴ -10 得：
3k2-b2+1>0 ……①
此不等式即为所求 k 的取值范围
k 与 b 的关系，或者说用 b 表示 k 的等式通过|BM|=|BN|来体现。如何转化|BM|=|BN|则为本解法的
难点。用平面几何性质。取线段 MN 中点 Q，则 BQ⊥MN， 1kk MNBQ 。
设 M（x1，y1）， N（x2，y2）， MN 中点 Q（x0，y0）
则 2
21
0 k31
kb3
2
xxx
200 k31
bbkxy
∴
kb3
1bk3
x
1yk
2
0
0
BQ
∵ BQ⊥MN
∴ 1kk MNBA
∴ 1kkb3
1bk3 2
∴
2
1k3b
2 ……②
②代入①得： 04
)1k3(1k3
22
2
∵ 3k2+1>0
∴ 3k2+1<4
∴ k2<1
∵ k≠0
∴ -1a>
3
5 时，f(t)在[-1，1]上递减
(f(t))min=f(1)=a2-6a+9
∴ a2-6a+9=1
∴ a=2，或 a=4（舍）
综上所述，当 a=2 时，椭圆上点 P（3，0）到定点 A 距离的最小值为 1。
例 5、点 P 位于第一象限且在椭圆 1
b
y
a
x
2
2
2
2
（a>b>0)上，O 为
坐标原点，A（a，0）， B（0，b），求四边形 OAPB 面积的最大值，并求
此时 P 点坐标。
解题思路分析：
因无法直接用公式求四边形 OAPB 的面积，故考虑对四边形 OAPB
分割
途径一：连 OP，则 SOAPB=S△OPB+S△OPA
设 P(acosθ ，bsinθ )，θ ∈（0，
2
），则
S△OPB=
2
1 bacosθ ，S△OPA=
2
1 absinθ
SOAPB=
2
1 ab(sinθ +cosθ ) )4sin(ab2
2
当θ =
4
，P（ b2
2,a2
2 ）时，(SOAPB)max= ab2
2
途径二：连 AB，则 SOAPB=S△OAB+S△APB=
2
1 ab+S△ABP,下求 S△APB 的最值。
又 S△APB= h2
bah|AB|2
1 22
∴ 欲求 S△APB 的最大值，只要求点 P 到 AB 距离的最大值
设 P（acosθ ，bsinθ ）,θ ∈(0，
2
)
直线 AB： 1b
y
a
x ，即 bx+ay-ab=0
∵ 点在直线 AB 上方
∴ bacosθ +absinθ -ab>0
∴
222222 ba
]1)4sin(2[ab
ba
absinabcosab
ba
|absinabcosba|h
≤
22 ba
ab)12(
当θ =
4
时，h 取到最大值
∴ ab2
12
ba
ab)12(ba2
1)S(
22
22
maxPAB
∴ ab2
2ab2
12ab2
1)S( maxOAPB
注：1、在分割的过程中，应尽量向已知量靠拢。就本题来说，在关于目标函数面积的二元变量底边
长及对应的高中，尽可能使得其中一个变量如常数，如途径一中分别以|OA|、|OB|为底边长。
2、在途径二中求点 P 到直线 AB 的距离最大时，也可用平移方法。平移 AB 与椭圆弧相切时，则切点
为所求点 P，用△=0 用点 P 坐标。
六、同步练习
（一）选择题
1、常数 a>0，椭圆 x2+a2y2=2a 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 a 的值为
A、
3
1 B、3 C、3 或
3
1 D、 3
2、中心在原点，焦点在 x 轴的椭圆，若长轴长为 18，两个焦点恰好将长轴分成三等分，则此椭圆
方程是
A、 172
y
81
x 22
B、 19
y
81
x 22
C、 145
y
81
x 22
D、 136
y
81
x 22
3、直线 y=kx+1 与椭圆 1m
y
5
x 22
总有公共点，则 m 取值范围是
A、m>1 B、m≥1，或 00 B、01 D、m>0 且 m≠1
5、椭圆 19
y
25
x 22
上有一点 P，它到左准线的距离等于
2
5 ，那么点 P 到右焦点的距离为
A、8 B、
6
25 C、
2
9 D、
8
15
6、椭圆 x2+4y2=4 的准线方程是
A、 33
4y B、 55
4y C、 33
4x D、 55
4x
7、从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 1200，则此椭圆的离心率 e 为
A、
2
2 B、
2
3 C、
2
1 D、
3
6
8、椭圆(1-m)x2-my2=1 的长轴长为
A、
m1
m12
B、
1m
1m2
C、
m
m2 D、
m1
m2
9、当 k<4 时，取不同的两个 k 值，方程 1k4
y
k9
x 22
所表示的两个椭圆的准线、顶点和离心率、
焦点
A、都相同 B、只有准线相同
C、只有准线及离心率相同 D、只有焦点相同
10、中心在原点，准线方程为 x=±4，离心率为
2
1 的椭圆方程是
A、 13
y
4
x 22
B、 14
y
3
x 22
C、 1y4
x 2
2
D、 14
yx
2
2
（二）填空题
11、若椭圆 19
y
4m
x 22
的一条准线方程为
2
9y ，则 m=__________。
12、过原点的直线与椭圆 1
b
y
a
x
2
2
2
2
（a>b>0）相交于 A、B 两点，若 F（c，0）是椭圆的右焦点，
则△FAB 的最大面积是__________。
13、已知椭圆 19
y
25
x 22
上一点 P 到两焦点的距离之积为 m，则当 m 最大时，点 P 坐标为__________。
14、已知椭圆 x2+2y2-2=0 的两焦点为 F1、F2，B 为短轴的一个端点，则△BF1F2 的外接圆方程是
__________。
15、若椭圆方程为 x2+my2=1，离心率 e=
2
3 ，则它的长半轴长为__________。
（三）解答题
16、面积为 1 的△PMN 中，tan∠PMN=
2
1 ，tan∠PNM=-2，建立适
当的坐标系，求出以 M、N 为焦点，且过点 P 的椭圆方程。
17、如图，已知曲线 4x2+9y2=36（x>0，y>0），点 A 在曲线上移动，
点 C（6，4），以 AC 为对角线作矩形形 ABCD，使 AB∥x 轴，AD∥y 轴，
求矩形 ABCD 的面积最小时，点 A 坐标。
18、F1、F2 是椭圆 4x2+5y2=20 的两个焦点，过 F1 作倾斜角为 450
的弦 AB，求△F2AB 的周长和面积。
19、已知椭圆 1
b
y
a
x
2
2
2
2
（a>b>0）， A、B 是椭圆上两点。线段
AB 的中垂线与 x 轴交于点 P（x0，0），求证：
a
baxa
ba 22
0
22
20、过点 P（4，1）作直线交椭圆 14
y
8
x 22
于点 A（x1,y1）， B(x2,y2)(x1>x2)，在直线 AB 上取点
Q，使
AB
AQ
PB
AP ，求点 Q 轨迹方程。
七、参考答案
（一）选择题
1、C。 椭圆方程 1
a
2
y
a2
x 22
，当 2a>
a
2 ，a>1 时，
a
223a22 ，a=3；当 2a<
a
2 时，0 1m3 ，∴4m2-3m-1>0，∴m≥1，或 m<
4
1 （舍）
5、A。 设左焦点分别为 F1、F2，a2=25，b2=9，c2=16，e=
5
4 ,|PF1|=
5
4
2
5 =2，|PF2|=2a-|PF1|
=8
6、C。 标准方程为 1y4
x 2
2
，a2=4，b2=1，c2=3，焦点在 x 轴上，∴准线 x=
3
4
7、D。 如图，θ =600，∴a= 3 b，c2=a2-b2=2b2，c= 2 b，∴e=
3
6
a
c
8、C。 椭圆标准方程为 1
m
1
y
m1
1
x 22
，∴
0m
0m1 ，∴m<0，此时
1-m>-m>0，∴
m
1
m1
1
∴ ,m1
1b,m
1a 22
m
m2
m
12a2
9、D。 k<4 时，9-k>0，4-k>0，9-k>4-k，∴c2=(9-k)-(4-k)=5，c= 5 ，焦点（ 5 ，0）
10、A。
2
1
a
ce
4c
a 2
，∴
2a
1c ，∴b= 3
（二）填空题
11、 1 焦点在 y 轴上，a2=9，b2=m+4，c= m5 ，由
2
9
m5
9
得 m=1
12、 bc 当 AB 为短轴时，A、B 纵坐标的绝对值最大， bcb2c2
1Smax
13、（0，3），（0，-3） a2=25，b2=9，∴a=5，b=3，c=4，e=
5
4
a
c ，设 P（x0，y0），则
M=(a+ex0)(a-ex0)=25-
25
16 x0
2≤25，当且仅当 x0=0 时，m 取得最大值，此时 y0=±3
14、 x2+y2=1 a2=2，b2=1，∴c2=1，∵|BF1|2+|BF2|2=a2+a2=2a2=4=(2c)2，∴∠F1BF2=900，∴△F1BF2
外接圆圆心为原点 O，r=c=1
15、 1 或 2 椭圆标准方程 1
m
1
yx
2
2 ，当 1m
1 时，
m
ma ，b=1，c= 1m
1 代入
2
3
a
c 得
m=
4
1 ，∴a= 2
m
1 ，当 1m
1 时，a=1
（三）解答题
16、解以 MN 所在直线为 x 轴，线段 MN 中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系
设 P（x0，y0），则
cx
ykPMNtan
0
0
PM ，
cx
ykPNMtan
0
0
PN
∴
2cx
y
2
1
cx
y
0
0
0
0
∴
c3
4y
c3
5x
0
0
又 1cycy22
1S 00MNP
∴
2
3c
∴ )33
2,36
5(P ， )0,2
3(M ， )0,2
3(N
∴ 2a=|PM|+|PN|= 15
∴
4
15a 2 ，b2=3
∴ 椭圆方程 13
y
4
15
x 22
17、解：设 A（3cosθ ，2sinθ ）,θ ∈（0，
2
）
则 B（6，2sinθ ）， C(6,4),D(3cosθ ，4)
∴ SABCD=|AB|·|AD|=（6-3cosθ ）(4-2sinθ )
=24-12（sinθ +cosθ ）+6sinθ cosθ
令 t=sinθ +cosθ ，则 t∈（1， 2 ]，sinθ cosθ =
2
1t 2
SABCD=3(t-2)2+9
当 t= 2 时，Smin=27- 212 ，此时
4
，A（ 2,22
3 ）
18、解：椭圆标准方程为 14
y
5
x 22
，a= 5 ，b=2，c=1
（1）由定义：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a
∴ |AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a= 54
（2）设直线 AB：y=k(x-c)
由
20y5x4
)cx(ky
22
9y2-8y-16=0
设 A（x1，y1）， B（x2，y2）
则 |y1-y2|= 29
8yy4)yy( 21
2
21
∴ 29
8|yy|c|)y||y(||FF|2
1SSS 212121FBFFAFABF 21212
19、证明：设 A（x1，y1）， B（x2，y2），则
2
22
2
22
2
2
12
2
22
1
x
a
bby
x
c
bby
∵ |PA|=|PB|
∴ (x1-x0)2+y1
2=（x2-x0）2+y2
2
∴ (x1-x0)2+b2- 2
22
2
22
02
2
12
2
x
a
bb)xx(x
a
b
整理得：2(x1-x2)x0=(x1
2-x2
2) 2
22
a
ba
∴ 2
22
21
0 a
ba
2
xxx
∵ x1、x2∈（-a，a）
∴ a2
xxa 21
∴
a
baxa
ba 22
0
22
20、解：设点 Q（x，y）
则由
AB
AQ
PB
AP 及分比公式得
xx
xx
4x
x4
2
1
2
1
整理得：
)xx(8
)xx(4xx2x
21
2121
……①
由
8y2x
)4x(k1y
22
(1+2k2)x2-4k(4k-1)x+2(4k-1)2-8=0
当△=16k2(4k-1)2-8(1+2k)2[(4k-1)2-4]>0
即 8k2-8k-3>0 ……② 时
221 k21
)1k4(k4xx
2
2
21 k21
8)1k4(2xx
代入式①得：
2k
3k4x
∴
x4
3x2k
又
4x
1yk
∴
4x
1y
x4
3x2
即 2x+y-4=0
又由②得： 03x4
3x28)x4
3x2(8 2
∴ 9x2-32x+24<0
解之得：
9
10216x9
10216
∴ 点 Q 轨迹方程是 2x+y-4=0，
9
10216x9
10216
