山西省原平市范亭中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

山西省原平市范亭中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

高二第二学期数学（文科）期末试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出集合， ，然后根据交集的定义求出 ‎【详解】， ‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 ‎2.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算可得 ‎【详解】，‎ 故复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.‎ ‎3.已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．‎ ‎【详解】双曲线的a=1，b=，c=，‎ 右焦点F为（，0），‎ 一条渐近线方程为，‎ 则F到渐近线的距离为d==．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎4.设函数，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3+e D. 3e ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，然后把代入即可.‎ 详解】 ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数在某一点出的导数，属基础题.‎ ‎5.已知，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的余弦可得的值，平方后得到的值.‎ ‎【详解】因为，故即，‎ 故即，故选A.‎ ‎【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎6.若表示直线，表示平面，且，则“”是“” （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据充分条件和必要条件的定义去判断.‎ ‎【详解】“”推不出“”，因为可能成立，‎ ‎“”也推不出“”，可能异面，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.‎ ‎【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若 则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎7.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有 ( )‎ A. 80辆 B. 60辆 C. 40辆 D. 20辆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据车速大于或等于的汽车的频率可得将被处罚的汽车数量.‎ ‎【详解】车速大于或等于的汽车的频率为，‎ 故将被处罚的汽车数量为（辆），故选C.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.‎ ‎8.已知是正项等比数列，若，，则的值是（ ）‎ A. 1024 B. 1023 C. 512 D. 511‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件算出基本量公比及，利用公式可求.‎ ‎【详解】设的公比为，则 ‎，故，所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．‎ ‎9.过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当截距相等均为0时，直线方程为；‎ 当截距相等不为0时，设方程为，代入点得，直线方程为，所以共有2条，故选择B.‎ ‎10.设，，，则（ ）‎ A． . B. C. c＜a＜b D. c＜b＜a ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性直接求解．‎ ‎【详解】∵ ‎ ‎∴c＜a＜b． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎11.如图，分别是三棱锥的棱的中点，，，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接，利用余弦定理可求的余弦值，从而得到异面直线与所成的角．‎ ‎【详解】取的中点，连接，‎ 因为为中点，故且同理，，‎ 故或其补角为异面直线所成的角．‎ 在中，，‎ 因为，所以，故异面直线与所成的角为，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．‎ ‎12.已知圆，设平面区域，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为 （ ）‎ A. 5 B. 29 C. 37 D. 49‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：作出可行域如图，‎ 圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圆心为，半径的圆，因为圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由图像可知当圆心C位于B点时，取得最大值，B点的坐标为，即时是最大值.‎ 考点：线性规划综合问题.‎ 第II卷（共90分）‎ 二、填空题（每小题5分,共20分）‎ ‎13.某校对高三年级1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．‎ ‎【答案】760‎ ‎【解析】‎ 设样本中女生有人，则男生有人，则，即，‎ 设该校高三年级的女生有人，则由分层抽样的特点（等比例抽样），得，解得，即该校高三年级的女生人数是760.‎ ‎14.不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】（-1，4）‎ ‎【解析】‎ 分析：利用指数函数的单调性，转化为二次不等式问题.‎ 详解：由可得：‎ ‎∴，即 ‎∴不等式解集为（-1，4）‎ 故答案为：（-1，4）‎ 点睛：本题考查指数型不等式的解法，解题关键是利用指数函数的单调性转化为一元二次不等式问题即可.‎ ‎15.已知函数 ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的最大值后可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】当时，，当时等号成立，‎ 当时，，‎ 故，故，填．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的最值，注意不等式的恒成立问题可以归结为函数的最值问题进行讨论．‎ ‎16.已知函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．‎ 详解：∵函数，‎ ‎∴f′（x）=3x2+6ax+，‎ 由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，‎ ‎∴3x2+6ax+=0满足：△=﹣＞0，解得或，‎ 故答案为：或．‎ 点睛：本题考查了单调性与极值点的关系，解题关键利用图象分析出恰有三个单调区间等价于函数有两个极值点.‎ 三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知，圆：，直线：.‎ ‎（1）当为何值时，直线与圆相切；‎ ‎（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线与圆相切的等价条件为圆心到直线距离等于半径，根据该等价条件建立关于的方程即可求出.‎ ‎（2）利用关系，求出圆心到直线距离，再由即可求出，从而求出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）根据题意，圆C：x2+y2-8x+12=0，则圆C的方程为，其圆心为（4，0），半径r=2；若直线l与圆C相切，则有=2，解可得=-；‎ ‎（2）设圆心C到直线l的距离为d，则有（）2+d2=r2，即2+d2=4，解可得d=，‎ 则有d==，解可得=-1或-7；则直线l的方程为x-y-2=0或x-7y-14=0．‎ ‎【点睛】主要考查了直线方程的求解，以及直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎18.某学生对其亲属人的饮食习惯进行一次调查，并用如图所示的茎叶图表示人的饮食指数（说明：图中饮食指数低于的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于的人，饮食以肉类为主）‎ ‎（1）根据以上数据完成下列列联表.‎ ‎（2）能否有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析.‎ 主食蔬菜 主食肉食 总计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 总计 参考公式：，其中 ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图可得列联表.‎ ‎（2）利用列联表可计算的值，利用临界值表可知有99%把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎【详解】（1）‎ 主食蔬菜 主食肉食 总计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎（2） 有99%把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，属于容易题.‎ ‎19.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）设x＜0，可得﹣x＞0，则f（﹣x）=，再由函数f（x）是偶函数求出x＜0时的解析式；‎ ‎（2）由，f（x）是偶函数，不等式f（x2﹣1）＞﹣2可化为f（|x2﹣1|）＞．利用函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，可得，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集．‎ 详解：（1）当时 ‎ ‎,‎ ‎（2）‎ 又在单调递减 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查函数解析式求法，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，属于中档题．‎ ‎20.已知：三棱锥中，等边边长为2，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2） 求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，可以证明平面，从而可证.‎ ‎（2）可证平面，从而得到平面平面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连接，则，，‎ ‎，所以平面，因为平面，‎ ‎；‎ ‎（2），所以，‎ 故，又，，所以平面 ， ‎ 又 平面, 平面平面.‎ ‎【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 面面垂直的判定可由线面垂直或两个平面构成的二面角为直二面角得到.‎ ‎21.已知函数，其定义域是.‎ ‎（1）求在其定义域内的极大值和极小值；‎ ‎（2）若对于区间上的任意，都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）极大值为,极小值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，讨论其符号后可得函数的极值.‎ ‎（2）求出在上的最大值和最小值后可得的最小值.‎ ‎【详解】（2）求导得 令得, ∴为极值点， ‎ 令得或，令得，‎ ‎ 列表讨论如下： ‎ 增 极大值1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ ‎ 所以极大值为,极小值为 ‎ ‎（2）需即可， ‎ 由(1)可知,‎ ‎,‎ 即，所以的最小值为20 .‎ ‎【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理.‎ ‎22.已知曲线（为参数），曲线.（设直角坐标系正半轴与极坐系极轴重合）‎ ‎（1）求曲线普通方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，在直线上，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）, ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数后可得曲线的普通方程，利用可得曲线的直角方程.‎ ‎（2）因为为圆，为直线，所以最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.‎ ‎【详解】（1）对于，消去参数可得，‎ 因为，故.‎ ‎（2）圆心到直线的距离为.‎ 故的最小值为，填.‎ ‎【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时需在给定方程中构造．与圆有关的最值问题，可以转为圆心到几何对象的距离最值问题．已知曲线的参数方程，求其普通方程时，应利用平方、反解等方法消去参数.‎ ‎ ‎