数学（理）卷·2018届甘肃省兰州市第九中学高二下学期期中考试（2017-05）
2016——2017学年第二学期期中考试试卷
高二年级数学(理科)
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分共150分，答题时间120分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）
1．已知函数，在处函数极值的情况是 （ ）
A．没有极值 B．有极大值 C．有极小值 D．极值情况不能确定
2．复数等于 ( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
3．设函数可导，则 （ ）
A． B． C． D．不能确定
4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在 ( )
A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．没有出错
5．观察下列数表规律
2→3 6→7 10→11
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
0→1 4→5 8→9 12→…
则数2007的箭头方向是 ( )
A．2007→ B． ↓
↑ 2007→
C． ↑ D．→2007
→2007 ↓
6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为 ( )
A.或 B.
C. D．以上都不对
7．给出下列命题：
①ʃdx＝ʃdt＝b－a(a，b为常数且a
(n>1，n∈N*)的过程中，从n＝k到
n＝k＋1时左边需增加的代数式是 ( )
A. B. －
C.＋ D.
9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．
若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A—BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为 ( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
12．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是 ( )
A．(，) B．(π，2π)
C．(，) D．(2π，3π)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数＝________.
14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为_________________________________________．
15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③c＝6；
④当x＝1时函数取得极大值．
16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．
1
三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18、 19、20、21、22每题12分，共70分。）
17．(10分) （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度.
18．(12分) 求由曲线与，，所围成的平面图形的面积.
19．(12分)已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：
(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≤.
20. (12分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a.
求证：b与c是异面直线．
21．（12分）设函数在及时取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
22．(12分)是否存在常数a，b，使等式＋＋…＋＝
对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．
高二下学期期中数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
A
D
B
B
B
C
A
A
C
二、填空题：
13． i 14． 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为()
15． ① 16．
三、解答题：
17．（1），，
即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0.
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1.
（2） .
.
18．
19． 解(1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，
∴(a2＋)＋(b2＋)＋(c2＋)
≥a＋b＋c＝.
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵≤，
≤，
≤，
三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1，
∴＋＋≤.
20.(12分) 证明 假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α＝b，γ∩β＝c.
∵a∥c，a⊄γ，∴a∥γ.
又∵a⊂α，且α∩γ＝b，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾．
因此b与c不可能共面，故b与c是异面直线．
21．（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
22．(12分)解 若存在常数a，b使等式成立，
则将n＝1，n＝2代入上式，
有
得a＝1，b＝4，
即有＋＋…＋＝
对于一切n∈N*都成立．
证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即
＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝·(＋)
＝·＝·
＝＝，
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，
综上所述，等式对任何n∈N*都成立．
