2013年上海市嘉定区高考理科数学一模卷答案

2013年上海市嘉定区高考理科数学一模卷答案

上海市嘉定区2013届高三一模数学试题（理科）‎ 参考答案与评分标准 一．填空题（每小题4分，满分56分）‎ ‎1． 2． 3． 4．‎ ‎5． 6． 7． 8．‎ ‎9． 10． 11． 12．‎ ‎13． 14．‎ 二．选择题（每小题5分，满分20分）‎ ‎15．A 16．C 17．B 18．D 三．解答题 ‎19．（本题满分12分）‎ 方程的根为．………………（3分）‎ 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………（5分）‎ 所以，解得，因为，所以，……（8分）‎ 所以，所以，故．…………（11分）‎ 所以，．…………（12分）‎ G P A B C F E ‎20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）‎ ‎（1）取中点，中点，中点，‎ 连结，，，则∥，∥，‎ 所以就是异面直线与所成的角（或 其补角）．…………（2分）‎ 连结，则，……（3分）‎ ‎， …………（4分）‎ 又，所以．…………（5分）‎ 在△中，，……（7分）‎ 故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）‎ ‎（2）因为底面，所以，，，‎ 又，所以平面，所以，…………（2分）‎ 所以△、△、△、△都是直角三角形．……（3分）‎ 所以，．……（6分）‎ ‎21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ O A B M x y ‎（1）将与代入椭圆的方程，得 ‎，…………（2分）‎ 解得，．…………（5分）‎ 所以椭圆的方程为．…………（6分）‎ ‎（2）由，知在线段的垂直平分线上，‎ 由椭圆的对称性知、关于原点对称．‎ ‎①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时 ‎．……（1分）‎ 同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时 ‎．……（2分）‎ ‎②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），‎ 则直线的方程为．设，，‎ 由，解得，，……（4分）‎ 所以，同理可得，‎ 所以．……（7分）‎ 综上，为定值．…………（8分）‎ ‎22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ ‎（1）由题意，得，……（2分）‎ 即 ，解得 ．…………（4分）‎ ‎（2）由（1）知， ①‎ 当时， ② …………（1分）‎ ‎①－②，得（），又，…………（3分）‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（4分）‎ 所以的通项公式为（）．…………（6分）‎ ‎（3）由（2），得，…………（1分）‎ 由，得，即，‎ 即．因为，所以，‎ 所以且， （*）‎ 因为，所以或或．……………………（2分）‎ 当时，由（*）得，所以； …………（3分）‎ 当时，由（*）得，所以或； …………（4分）‎ 当时，由（*）得，所以或或． …………（5分）‎ 综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：‎ ‎，，，，，． …………（6分）‎ ‎23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）‎ ‎（1）当，时，…（2分）‎ 作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）‎ O a y x ‎（2）……（1分）‎ ‎①当时，，‎ 因为，所以，‎ 所以在上单调递增．…………（3分）‎ ‎②当时，，‎ 因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）‎ 综上，函数的单调递增区间是和，‎ 单调递减区间是．………………（6分）‎ ‎（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）‎ ‎②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．‎ 即．…………（5分）‎ 令，在时是增函数，故．…………（7分）‎ 所以，实数的取值范围是．…………（8分）‎