数学卷·2018届湖南省长沙市浏阳一中高二上学期第一次段考数学试卷(文科)(解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届湖南省长沙市浏阳一中高二上学期第一次段考数学试卷(文科)(解析版)

‎2016-2017学年湖南省长沙市浏阳一中高二(上)第一次段考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式an等于(  )‎ A.2n B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1‎ ‎2.数列{an}满足an=4an﹣1+3,a2=3,则此数列的第5项是(  )‎ A.15 B.255 C.20 D.8‎ ‎3.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3为(  )‎ A.4 B. C. D.2‎ ‎4.与a>b等价的不等式是(  )‎ A. B.|a|>|b| C. D.2a>2b ‎5.已知a=,b=,则a,b的等差中项为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是(  )‎ A.a﹣c<b﹣d B.ac>bd C. D.ad>bc ‎7.等差数列{an}中,已知a1=﹣6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.8‎ ‎8.设An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和,若,则=(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎9.数列1,2,3,4…前n项的和为(  )‎ A. + B.﹣ ++1‎ C.﹣ + D.﹣ +‎ ‎10.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a6+a10为一个确定的常数,则下列各数中可以用这个常数表示的是(  )‎ A.S10 B.S11 C.S12 D.S13‎ ‎11.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,那么ABC的面积是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎13.首项为﹣24的等差数列,从第10项开始为正,则公差d的取值范围是  .‎ ‎14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=10,S20=30,则S30=  .‎ ‎15.等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a2•an﹣1=2(n≥2),则当n≥2时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an=  .‎ ‎16.已知三个不等式:①ab<0;②;③bc<ad,以其中两个为条件,余下的一个作为结论,则可以组成  个正确的命题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知4个数成等差数列,它们的和为20,中间两项之积为24,求这个4个数.‎ ‎18.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA ‎(Ⅰ)求B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,c=5,求b.‎ ‎19.(12分)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为30°,求塔高AB.‎ ‎20.(12分)已知{an}是等比数列,a1=2,a4=54;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设Un=b1+b4+b7+…+b3n﹣2,其中n=1,2,…,求U10的值.‎ ‎21.(12分)已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.‎ ‎22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(3n﹣1)(n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年湖南省长沙市浏阳一中高二(上)第一次段考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式an等于(  )‎ A.2n B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法.‎ ‎【分析】研究数列中各项的数与项数的关系,利用归纳法得出结论,再根据所得的结论比对四个选项,选出正确答案.‎ ‎【解答】解:∵3=21+1,5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,…‎ ‎∴an=2n+1‎ 故选B ‎【点评】本题考查数列的概念及简单表示法,解题的关键是研究项与序号的对应关系,由归纳推理得出结论.‎ ‎ ‎ ‎2.数列{an}满足an=4an﹣1+3,a2=3,则此数列的第5项是(  )‎ A.15 B.255 C.20 D.8‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】由已知数列递推式构造等比数列{an+1},求其通项公式后可得数列{an}的通项公式,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由an=4an﹣1+3,得an+1=4(an﹣1+1),‎ 又a2=3,∴a1=0,则a1+1=1,‎ ‎∴数列{an+1}是以1为首项,以4为公比的等比数列,‎ ‎∴,则,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了等比数列通项公式的求法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎3.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3为(  )‎ A.4 B. C. D.2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】由已知得a3===4.‎ ‎【解答】解:∵a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,‎ ‎∴a3a9=(a6)2,‎ a3===4.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查等比数列中的第3项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎4.与a>b等价的不等式是(  )‎ A. B.|a|>|b| C. D.2a>2b ‎【考点】不等式的基本性质.‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵a>b,∴2a>2b,‎ ‎∴a>b等价的不等式是2a>2b,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了指数函数的单调性、不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.已知a=,b=,则a,b的等差中项为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】由等差中项的性质可知a,b的等差中项为,代入即可求解 ‎【解答】解:由等差中项的性质可知a,b的等差中项为=‎ ‎==‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于对基本概念的考查 ‎ ‎ ‎6.已知a<b<0,c<d<0,那么下列判断中正确的是(  )‎ A.a﹣c<b﹣d B.ac>bd C. D.ad>bc ‎【考点】不等式比较大小.‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质,在所给的两个不等式两边同乘以﹣1,得到两个大于零的不等式,同向不等式相乘得到结论.‎ ‎【解答】解:∵a<b<0,c<d<0,‎ ‎∴﹣a>﹣b>0,﹣c>﹣d>0,‎ ‎∴ac>bd 故选B.‎ ‎【点评】本题考查不等式的基本性质,不等式比较大小,本题解题的关键是抓住不等式的基本性质,注意在不等式两边同加或同乘或同除以一个数字,注意数字的符号.‎ ‎ ‎ ‎7.等差数列{an}中,已知a1=﹣6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.8‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由an =0=﹣6+(n﹣1)d,d∈N*,可得当d=1时,n取得最大值为7.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}中,已知a1=﹣6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥‎ ‎3),∴an =0=﹣6+(n﹣1)d,‎ 要使n最大,只要公差d最小,故d=1,此时n取最大为7,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.设An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和,若,则=(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等差数列性质得==,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和,若,‎ ‎∴===.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查一个等差数列的前9项和与另一个等差数列的前13项和的比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.数列1,2,3,4…前n项的和为(  )‎ A. + B.﹣ ++1‎ C.﹣ + D.﹣ +‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】利用分组求和法求解.‎ ‎【解答】解:数列1,2,2,4…前n项的和:‎ S=(1+2+3+4+…+n)+()‎ ‎=‎ ‎=﹣++1.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查数列的前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分组求和法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎10.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a6+a10为一个确定的常数,则下列各数中可以用这个常数表示的是(  )‎ A.S10 B.S11 C.S12 D.S13‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式化简已知的式子,得到a6为一个确定的常数,然后利用等差数列的前n项和公式表示出S15,利用等差数列的性质变形后,变为关于a8的式子,也是一个确定的常数,得到正确的选项.‎ ‎【解答】解:由a2+a6+a10=a1+d+a1+5d+a1+9d=3(a1+5d)=3a6‎ ‎=为一确定的常数,从而=11a6为确定的常数,‎ 故选B.‎ ‎【点评】此题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式,等差数列的性质.熟练掌握公式及性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】不等式的基本性质.‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质判断即可.‎ ‎【解答】解:∵a>b>0,‎ 故a﹣b>0,1+>0,‎ 故(a﹣b)(1+)>0,‎ 故a﹣b+>0,‎ 故a﹣b>,‎ 故a﹣b>﹣,‎ 故a+>b+,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,那么ABC的面积是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由正弦定理可得,可得,可求c,由A,B求解C,代入三角形的面积公可求三角形的面积 ‎【解答】解:由正弦定理可得,‎ ‎∴==‎ ‎∵A=30°,C=45°‎ ‎∴B=105°‎ ‎∴===‎ 故选:B ‎【点评】本题主要考查了正弦定理求解三角形,三角形的面积公式解三角形,属于公式的综合应用.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎13.首项为﹣24的等差数列,从第10项开始为正,则公差d的取值范围是  .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式求出第10项和第9项,据题意知底10项大于0,第9项小于等于0,列出不等式解得.‎ ‎【解答】解:设公差为d则 a10=﹣24+9d>0,a9=﹣24+8d≤0‎ 解得 故答案为 ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式、利用通项公式求特殊项、解不等式.‎ ‎ ‎ ‎14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=10,S20=30,则S30= 70 .‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得,S10,S20﹣S10,S30﹣S20成等比数列即(S20﹣S10)2=S10•(S30﹣S20),代入可求 ‎【解答】解:由等比数列的性质可得,S10,S20﹣S10,S30﹣S20成等比数列 ‎∴(S20﹣S10)2=S10•(S30﹣S20)‎ ‎∴400=10(S30﹣30)‎ ‎∴S30=70‎ 故答案为:70.‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质(若Sn为等比数列的前n项和,且Sk,S2k﹣Sk,S3k﹣S2k不为0,则其成等比数列)的应用.‎ ‎ ‎ ‎15.等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a2•an﹣1=2(n≥2),则当n≥2时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an=  .‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】n为奇数时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an=;当n为偶数时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an+1=log2[(a1an)×(a2an﹣1)×(a3an﹣2)×…×()],由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a2•an﹣1=2(n≥2),‎ ‎∴当n≥2时,‎ n为奇数时,‎ log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an ‎=‎ ‎=+‎ ‎=+.‎ 当n为偶数时,‎ log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+…+log2an﹣1+log2an+1‎ ‎=log2[(a1an)×(a2an﹣1)×(a3an﹣2)×…×()]‎ ‎==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查对数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎16.已知三个不等式:①ab<0;②;③bc<ad,以其中两个为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 3 个正确的命题.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;不等式的基本性质.‎ ‎【分析】结合不等式的基本性质,逐一分析以其中两个为条件,余下的一个作为结论,构造的命题的真假,可得答案.‎ ‎【解答】解:当①ab<0;②时,‎ ‎②两边同乘﹣ab得:bc<ad,‎ 即①②⇒③正确;‎ 当①ab<0;③bc<ad,时,‎ ‎③两边同除以﹣ab得:,‎ 即①③⇒②正确;‎ 当②;③bc<ad时,ab<0,‎ 即②③⇒①正确;‎ 故正确的命题有3个,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,难度中档.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)(2016秋•浏阳市校级月考)已知4个数成等差数列,它们的和为20,中间两项之积为24,求这个4个数.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由题意可设:设此四个数分别为:a﹣3d,a﹣d,a+d,a+3d.可得:a﹣3d+a﹣d+a+d+a+3d=20,(a﹣d)(a+d)=24.解出即可得出.‎ ‎【解答】解:设此四个数分别为:a﹣3d,a﹣d,a+d,a+3d.‎ 由题意可得:a﹣3d+a﹣d+a+d+a+3d=20,(a﹣d)(a+d)=24.‎ 解得a=5,d=±1.‎ ‎∴这四数为2,4,6,8或8,6,4,2.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA ‎(Ⅰ)求B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,c=5,求b.‎ ‎【考点】正弦定理的应用;余弦定理的应用.‎ ‎【分析】(1)根据正弦定理将边的关系化为角的关系,然后即可求出角B的正弦值,再由△ABC为锐角三角形可得答案.‎ ‎(2)根据(1)中所求角B的值,和余弦定理直接可求b的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,‎ 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,‎ 由△ABC为锐角三角形得.‎ ‎(Ⅱ)根据余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7.‎ 所以,.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形中正余弦定理应用的很广泛,一定要熟练掌握公式.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2008•海珠区一模)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为30°,求塔高AB.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用;正弦定理.‎ ‎【分析】先根据三角形内角和为180°得∠‎ CBD=180°﹣75°﹣60°=45°,再根据正弦定理求得BC,进而在Rt△ABC中,根据AB=BCtan∠ACB求得AB.‎ ‎【解答】解:在△BCD中,∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°(2分)‎ 由正弦定理得 所以. (8分)‎ 在Rt△ABC中,. (12分)‎ ‎【点评】本题以实际问题为载体,主要考查了解三角形的实际应用.正弦定理、余弦定理是解三角形问题常用方法,应熟练记忆.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•浏阳市校级月考)已知{an}是等比数列,a1=2,a4=54;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设Un=b1+b4+b7+…+b3n﹣2,其中n=1,2,…,求U10的值.‎ ‎【考点】等比数列的前n项和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程进行求解即可.‎ ‎(2)根据等差数列的前n项和公式进行计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵{an}是等比数列,a1=2,a4=54,‎ ‎∴a4=2q3=54,即q3=27,则q=3,‎ 则 ,‎ ‎∵{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3.‎ ‎∴4b1+d=2+6+18=26,‎ 即6d=26﹣8=18,得d=3,‎ 则bn=b1+(n﹣1)d=3n﹣1.‎ ‎(2)b1,b4,b7,…,b3n﹣2组成以3d为公差的等差数列,‎ 则.‎ ‎【点评】本题主要考查数列通项公式的计算以及前n项和公式的应用,建立方程组是解决本题的关键.考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2005•福建)已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】(1)由题意可知2a3=a1+a2,根据等比数列通项公式代入a1和q,进而可求得q.‎ ‎(II)讨论当q=1和q=﹣,时分别求得Sn和bn,进而根据Sn﹣bn与0的关系判断Sn与bn的大小,‎ ‎【解答】解:(1)由题意可知,2a3=a1+a2,即a(2q2﹣q﹣1)=0,∴q=1或q=﹣;‎ ‎(II)q=1时,Sn=2n+=,∵n≥2,∴Sn﹣bn=Sn﹣1=>0‎ 当n≥2时,Sn>bn.‎ 若q=﹣,则Sn=,同理Sn﹣bn=.‎ ‎∴2≤n≤9时,Sn>bn,n=10时,Sn=bn,n≥11时,Sn<bn.‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2015春•赫章县校级期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(3n﹣1)(n∈N*),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式;数列的求和.‎ ‎【分析】(1)利用an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1,n>1,即可得到an.再利用等比数列、等差数列的通项公式即可得出;‎ ‎(2)利用等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)a1=1,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1,n>1,‎ ‎∴an=3n﹣1(n∈N*),‎ ‎∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,‎ ‎∴a1=1,a2=3,a3=9,‎ 在等差数列{bn}中,‎ ‎∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.‎ 又因a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,‎ 设等差数列{bn}的公差为d,‎ ‎∴(1+5﹣d)(9+5+d)=64,解得d=﹣10或d=2,‎ ‎∵bn>0(n∈N*),‎ ‎∴舍去d=﹣10,取d=2,∴b1=3.‎ ‎∴bn=2n+1(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知 ‎∴Tn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn ‎=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn) ‎ ‎==.‎ ‎【点评】熟练掌握等比数列、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式是解题的关键.‎ ‎ ‎
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