2013年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷（含答案）

2013年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷（含答案）

黑龙江省牡丹江市2013年中考数学试卷（市区卷） ‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2013•牡丹江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎ 平行四边形 B．‎ ‎ 圆 C．‎ ‎ 正五边形 D．‎ ‎ 等腰三角形 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形． ‎ 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给图形即可判断．‎ 解答：‎ 解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；‎ C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•牡丹江）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≠0‎ B．‎ x＞2‎ C．‎ x≥2‎ D．‎ x≠2‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围． .‎ 分析：‎ 根据分母不等于0列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，x﹣2≠0，‎ 解得x≠2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•牡丹江）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6x2+3x=9x3‎ B．‎ ‎6x2•3x=18x2‎ C．‎ ‎（﹣6x2）3=﹣36x6‎ D．‎ ‎6x2÷3x=2x 考点：‎ 整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式． .‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式不能合并，错误；‎ B、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；‎ C、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；‎ D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：A、原式不能合并，错误；‎ B、6x2•3x=18x3，本选项错误；‎ C、（﹣6x2）3=﹣216x6，本选项错误；‎ D、6x2÷3x=2x，本选项正确，‎ 故选D 点评：‎ 此题考查了整式的除法，单项式乘单项式，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•牡丹江）由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎7‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体． .‎ 分析：‎ 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个数．‎ 解答：‎ 解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；‎ 从俯视图可以可以看出最底层的个数 所以图中的小正方体最少2+4=6．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•牡丹江）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法． .‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出之和为奇数的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答：‎ 解：列表得：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（4，3）‎ ‎4[来源:学.科.网]‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，‎ 则P==．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＜2‎ B．‎ x＞﹣3‎ C．‎ ‎﹣3＜x＜1‎ D．‎ x＜﹣3或x＞1‎ 考点：‎ 二次函数与不等式（组）． .‎ 分析：‎ 根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），‎ ‎∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想求解是此类题目的特点．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•牡丹江）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎10或4‎ D．‎ ‎10或2‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理． .‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 根据题意画出图形，由于AB和CD的位置不能确定，故应分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论．‎ 解答：‎ 解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：‎ 过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，‎ ‎∵AB∥CD，OF⊥CD，‎ ‎∴OE⊥AB，‎ ‎∴AE=AB=×24=12，‎ 在Rt△AOE中，‎ OE===5，‎ ‎∴OF=OE+EF=5+7=12，‎ 在Rt△OCF中，CF===5，‎ ‎∴CD=2CF=2×5=10；‎ 当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：‎ 过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，‎ ‎∵AB∥CD，OF⊥CD，‎ ‎∴OE⊥AB，‎ ‎∴AE=AB=×24=12，‎ 在Rt△AOE中，‎ OE===5，‎ ‎∴OF=EF﹣OE=7﹣5=2，‎ 在Rt△OCF中，CF===，‎ ‎∴CD=2CF=2×=2．‎ 故CD的长为10或2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•牡丹江）若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 比例的性质． .‎ 分析：‎ 根据2、3、4的最小公倍数是12，设2a=3b=4c=12k（k≠0），然后表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：设2a=3b=4c=12k（k≠0），‎ 则a=6k，b=4k，c=3k，‎ 所以，===﹣2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了比例的性质，利用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•牡丹江）若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 一次函数的应用；一次函数的图象；等腰三角形的性质． .‎ 分析：‎ 根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之和大于第三边列式求出x的取值范围，即可得解．‎ 解答：‎ 解：根据题意，x+2y=100，‎ 所以，y=﹣x+50，‎ 根据三角形的三边关系，x＞y﹣y=0，‎ x＜y+y=2y，‎ 所以，x+x＜100，‎ 解得x＜50，‎ 所以，y与x的函数关系式为y=﹣x+50（0＜x＜50），‎ 纵观各选项，只有C选项符合．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，主要利用了三角形的周长公式，难点在于利用三角形的三边关系求出底边x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•牡丹江）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． .‎ 分析：‎ 根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．‎ 解答：‎ 解：∵DE=BF，‎ ‎∴DF=BE，‎ 在Rt△DCF和Rt△BAE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），‎ ‎∴FC=EA，故①正确；‎ ‎∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，‎ ‎∴AE∥FC，‎ ‎∵FC=EA，‎ ‎∴四边形CFAE是平行四边形，‎ ‎∴EO=FO，故②正确；‎ ‎∵Rt△DCF≌Rt△BAE，‎ ‎∴∠CDF=∠ABE，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∵CD=AB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；‎ 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，‎ ‎△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE等．‎ 故④图中共有四对全等三角形错误．‎ 故正确的有3个．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎11．（3分）（2013•牡丹江）2012年我国的国内生产总值达到519000亿元，请将519000用科学记数法表示，记为　5.19×105　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数． .‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将519000用科学记数法表示为：5.19×105．‎ 故答案为：5.19×105．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•牡丹江）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　AC=BD　（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．‎ 考点：‎ 矩形的判定；平行四边形的性质． .‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．‎ 解答：‎ 解：添加的条件是AC=BD，‎ 理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴平行四边形ABCD是矩形，‎ 故答案为：AC=BD．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•牡丹江）一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为　0.4a　元．‎ 考点：‎ 列代数式． .‎ 分析：‎ 利润=售价﹣成本价，所以要先求售价，再求利润．‎ 解答：‎ 解：由题意得：实际售价为：（1+100%）a•70%=1.4a（元），‎ 利润为1.4a﹣a=0.4a元．‎ 故答案为：0.4a 点评：‎ 此题考查了列代数式的知识，解题的关键是联系生活，知道七折就是标价的70%．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•牡丹江）若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是　4　．‎ 考点：‎ 算术平均数；中位数；众数． .‎ 分析：‎ 首先根据众数与中位数的定义，得出这五个数据中的三个数，再根据一组数据由五个正整数组成，得出其它两个数，最后由平均数的意义得出结果．‎ 解答：‎ 解：∵五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，‎ ‎∴知道的三个数是3，7，7；‎ ‎∵一组数据由五个正整数组成，‎ ‎∴另两个为1，2；‎ ‎∴这五个正整数的平均数是（1+2+3+7+7）÷5=4；‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 本题考查了平均数、众数与中位数的意义，掌握平均数、众数与中位数的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•牡丹江）在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，则这个圆的半径是　2　．‎ 考点：‎ 圆周角定理；等边三角形的判定与性质． .‎ 分析：‎ 先求出弦所对的圆心角为60°，则可判断这条弦与两半径所组成的三角形是等边三角形，从而得出圆的半径．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，‎ ‎∴OB=OC=BC=2，即这个圆的半径为2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查了圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是　3n+4　．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类． .‎ 分析：‎ 观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2﹣1个；第3个图形共有三角形5+3×3﹣1个；第4个图形共有三角形5+3×4﹣1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n﹣1=3n+4个；‎ 解答：‎ 解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；‎ 第2个图形共有三角形5+3×2﹣1个；‎ 第3个图形共有三角形5+3×3﹣1个；‎ 第4个图形共有三角形5+3×4﹣1个；‎ ‎…；‎ 则第n个图形共有三角形5+3n﹣1=3n+4个；故答案为：3n+4‎ 点评：‎ 此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•牡丹江）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k的值是　﹣2或6　．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征． .‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先表示出B点坐标为（﹣，0）；再把A（1，2）代入y=kx+b得k+b=2，则b=2﹣k，然后根据三角形面积公式得到|﹣|•2=4，即||=4，所以||=4，然后解方程即可．‎ 解答：‎ 解：把y=0代入y=kx+b得ax+b=0，解得x=﹣，所以B点坐标为（﹣，0）；把A（1，2）代入y=kx+b得k+b=2，则b=2﹣k，‎ ‎∵S△AOB=4，‎ ‎∴|﹣|•2=4，即||=4，‎ ‎∴||=4，‎ 解得k=﹣2或6．‎ 故答案为﹣2或6．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点满足其解析式．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•牡丹江）在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为　6　．‎ 考点：‎ 勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义． .‎ 分析：‎ 根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC﹣CD，代入数据计算即可求解．‎ 解答：‎ 解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，‎ ‎∴CA2+CB2=AB2，‎ ‎∴CA=CB=9，‎ ‎∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，‎ ‎∴CD=3，‎ ‎∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）（2013•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　﹣2　．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式． .‎ 分析：‎ 把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值．‎ 解答：‎ 解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：‎ ‎，‎ ‎①+②得：2a+2c=﹣4，‎ 则a+c=﹣2；‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评：‎ 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．‎ ‎　‎ ‎20．（3分）（2013•牡丹江）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为　（﹣5，7）或（5，﹣7）　．‎ 考点：‎ 菱形的性质；坐标与图形变化-平移；坐标与图形变化-旋转． .‎ 分析：‎ 根据菱形的对称性求出点B的坐标，再求出AB的中点的坐标，根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的AB的中点的坐标，再根据旋转的性质确定出对应点的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：∵菱形ABCD的D（4，0），‎ ‎∴点B的坐标为（﹣4，0），‎ ‎∴AB的中点的坐标为（﹣2，3），‎ ‎∵向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，‎ ‎∴﹣2﹣5=﹣7，3﹣8=﹣5，‎ ‎∴平移后AB的中点的坐标为（﹣7，﹣5），‎ ‎∵在坐标平面内绕点O旋转90°，‎ ‎∴若是顺时针旋转，则对应点在第二象限，坐标为（﹣5，7），‎ 若是逆时针旋转，则对应点在第四象限，坐标为（5，﹣7），‎ 综上所述，边AB中点的对应点的坐标为（﹣5，7）或（5，﹣7）．‎ 故答案为：（﹣5，7）或（5，﹣7）．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质，坐标与图形的变化，熟练掌握菱形的性质以及平移、旋转变换的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分60分）‎ ‎21．（5分）（2013•牡丹江）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x=﹣4．‎ 考点：‎ 分式的化简求值． .‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=•‎ ‎=，‎ 当x=﹣4时，原式==﹣1．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）（2013•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．‎ 注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． .‎ 分析：‎ ‎（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2‎ ‎+bx+c得16﹣4b+c=﹣3，根据对称轴是x=﹣3，求出b=6，即可得出答案，‎ ‎（2）根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x=﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD=8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．‎ 解答：‎ 解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得：‎ ‎16﹣4b+c=﹣3，‎ c﹣4b=﹣19，‎ ‎∵对称轴是x=﹣3，‎ ‎∴﹣=﹣3，‎ ‎∴b=6，‎ ‎∴c=5，‎ ‎∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；‎ ‎（2）∵CD∥x轴，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴点C与点D关于x=﹣3对称，‎ ‎∵点C在对称轴左侧，且CD=8，‎ ‎∴点C的横坐标为﹣7，‎ ‎∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5=12，‎ ‎∵点B的坐标为（0，5），‎ ‎∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，‎ ‎∴△BCD的面积=×8×7=28．‎ 点评：‎ 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，用到的知识点是二次函数的图象和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2013•牡丹江）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE为等腰三角形，且点E不在边BC所在的直线上，请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图． .‎ 分析：‎ 根据矩形的性质以及勾股定理求出AB的长，进而根据当CD=CE时，当ED=CE时求出EO即可．‎ 解答：‎ 解：∵AC=4，BC=4，‎ ‎∴AB=8，‎ ‎∵△CDE为等腰三角形，‎ ‎∴当CD=CE时，EC=CD=8，‎ ‎∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，‎ ‎∴AO=CO=2，‎ ‎∴EO=AO﹣AE=AO﹣（AC﹣CD）=8﹣2，‎ 当ED=CE时，E，O重合，△CED是等腰三角形，此时EO=0．‎ 点评：‎ 此题主要考查了应用设计与作图以及矩形的性质和勾股定理，熟练利用矩形性质得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（7分）（2013•牡丹江）某校为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查（必选且只选一类节目），将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人．‎ 请根据所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）求本次抽取的学生人数．‎ ‎（2）补全条形图，在扇形统计图中的横线上填上正确的数值，并直接写出“体育”对应的扇形圆心角的度数．‎ ‎（3）该校有3000名学生，求该校喜爱娱乐节目的学生大约有多少人？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． .‎ 分析：‎ ‎（1）先求出喜爱体育节目的学生人数，再将喜爱五类电视节目的人数相加，即可得出本次抽取的学生人数；‎ ‎（2）由（1）中求出的喜爱体育节目的学生人数可补全条形图；用喜爱C类电视节目的人数除以总人数，可得喜爱C类电视节目的百分比，从而将扇形图补全；用360°乘以“体育”对应的百分比，可得“体育”对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（3）利用样本估计总体的思想，用3000乘以样本中喜爱娱乐节目的百分比即可得出该校3000名学生中喜爱娱乐节目的学生人数．‎ 解答：‎ 解：（1）由条形图可知，喜爱戏曲节目的学生有3人，‎ ‎∵喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人，‎ ‎∴喜爱体育节目的学生有：3×3+1=10人，‎ ‎∴本次抽取的学生有：4+10+15+18+3=50人；‎ ‎（2）喜爱C类电视节目的百分比为：×100%=30%，‎ ‎“体育”对应的扇形圆心角的度数为：360°×=72°．‎ 补全统计图如下：‎ ‎（3）∵喜爱娱乐节目的百分比为：×100%=30%，‎ ‎∴该校3000名学生中喜爱娱乐节目的学生有：3000×30%=900人．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2013•牡丹江）快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．‎ 请结合图象信息解答下列问题：‎ ‎（1）快、慢两车的速度各是多少？‎ ‎（2）出发多少小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等？‎ ‎（3）直接写出在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数．‎ 考点：‎ 一次函数的应用． .‎ 分析：‎ ‎（1）根据图中数据得出两车行驶的距离与行驶时间的关系进而得出两车的速度；‎ ‎（2）根据两车的速度得出B，D，E点坐标，进而得出设BD和OE直线解析式，进而得出交点坐标横坐标即可得出答案；‎ ‎（3）分别根据两车相遇以及两车相遇后两车距离为150km时的次数即可．‎ 解答：‎ 解；（1）如图所示：快车一共行驶了7小时，中间停留了1小时，慢车一共行驶了6小时，‎ ‎∵由图可得出两地相距360km，‎ ‎∴快车速度为：360×2÷6=120（km/h），‎ 慢车速度为：360÷6=60（km/h）；‎ ‎（2）∵快车速度为：120km/h，‎ ‎∴360÷120=3（h），‎ ‎∴A点坐标为；（3，360）‎ ‎∴B点坐标为（4，360），‎ 可得E点坐标为：（6，360），D点坐标为：（7，0），‎ ‎∴设BD解析式为：y=kx+b，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴BD解析式为：y=﹣120x+840，‎ 设OE解析式为：y=ax，‎ ‎∴360=6a，‎ 解得：a=60，‎ ‎∴OE解析式为：y=60x，‎ 当快、慢两车距各自出发地的路程相等时：60x=﹣120x+840，‎ 解得：x=，‎ 答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；‎ ‎（3）根据两车第一次相遇前可以相距150km，第一次相遇后两车再次相距150km，当快车到达乙地后返回时两车可以相距150km，‎ 综上所述：在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数是3次．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数的应用以及函数交点坐标求法等知识，根据已知图象得出点的坐标是解题关键．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）（2013•牡丹江）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．‎ ‎（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．‎ ‎（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．‎ ‎（3）若AC=6，DE=4，则DF=　2或10　．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． .‎ 分析：‎ ‎（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；‎ ‎（2）与（1）的证明方法相同；‎ ‎（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，‎ ‎∴四边形AFDE是平行四边形．‎ ‎∴AF=DE，‎ ‎∵DF∥AC，‎ ‎∴∠FDB=∠C 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴∠FDB=∠C ‎∴DF=BF ‎∴DE+DF=AB=AC；‎ ‎（2）图②中：AC+DF=DE．‎ 图③中：AC+DE=DF．‎ ‎（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；‎ 当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．‎ 故答案是：2或10．‎ 点评：‎ 本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2013•牡丹江）博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：‎ 甲种图书 乙种图书 进价（元/本）‎ ‎16‎ ‎28‎ 售价（元/本）‎ ‎26‎ ‎40‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）有哪几种进书方案？‎ ‎（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案．‎ 考点：‎ 一次函数的应用． .‎ 分析：‎ ‎（1）利用购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，结合表格中数据得出不等式组，求出即可；‎ ‎（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，故购进甲种书：48种，乙种书：52本利润最大求出即可；‎ ‎（3）根据题意得出：72a+96b=1104，尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，求出可以购买排球个数，正好是整数．‎ 解答：‎ 解：（1）设购进甲种图书x本，则购进乙书（100﹣x）本，根据题意得出：‎ ‎，‎ 解得：48≤x≤50．‎ 故有3种购书方案：甲种书：48种，乙种书：52本；甲种书：49种，乙种书：51本；甲种书：50种，乙种书：50本；‎ ‎（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，‎ 故购进甲种书：48种，乙种书：52本利润最大为：48×（26﹣16）+52×（40﹣28）=1104（元）；‎ ‎（3）根据题意得出：72a+96b=1104，‎ 尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，可以购买：（1104﹣96）÷72=14（个）．‎ 答：最多可以购买排球和篮球共15个．‎ 点评：‎ 此题主要考查了不等式组的应用以及二元一次方程的应用以及最佳方案问题，正确得出不等式关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2013•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．‎ ‎（1）求点A，B的坐标．‎ ‎（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=的图象经过点D，求k的值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数综合题． .‎ 分析：‎ ‎（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标；‎ ‎（2）如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AOB≌△DEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值；‎ ‎（3）如答图2所示，可能存在两种情形，需要分别计算，避免漏解．针对每一种情形，利用相似三角形和全等三角形，求出点N的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，得：x1=6，x2=8．‎ ‎∵OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，‎ ‎∴OA=6，OB=8，‎ ‎∴A（6，0），B（0，8）．‎ ‎（2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E．‎ 在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．‎ ‎∴sin∠OBA===．‎ ‎∵sin∠1=，‎ ‎∴∠OBA=∠1．‎ ‎∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠ADE．‎ 在△AOB与△DEA中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△DEA（ASA）．‎ ‎∴AE=OB=8，DE=OA=6．‎ ‎∴OE=OA+AE=6+8=14，‎ ‎∴D（14，6）．‎ ‎∵反比例函数y=的图象经过点D，‎ ‎∴k=14×6=84．‎ ‎（3）存在．‎ 如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，‎ ‎①当AB：AM1=2：1时，‎ 过点M1作M1E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM1∽Rt△BOA，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴AE=4，M1E=3．‎ 过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1，‎ ‎∴N1F=AE=4，BF=M1E=3，‎ ‎∴OF=OB+BF=8+3=11，‎ ‎∴N1（4，11）；‎ ‎②当AB：AM2=1：2时，‎ 同理可求得：N2（16，20）．‎ 综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．‎ 点评：‎ 本题是代数几何综合题，考查了一次函数的图象与性质、解一元二次方程、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形、全等三角形、矩形等知识点．第（3）问中，矩形邻边之比为1：2，有两种情形，需要分别计算，避免漏解．‎ ‎　‎