2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

绝密★启用前 ‎2017-2018学年湖南省邵阳市第二中学高二上学期期中考试 数学试卷（理科）‎ 满分：100分； 考试时间：100分钟； ‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择（本题满分40分，每小题4分）‎ ‎1、命题“”的否命题是 （ ） ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2、双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、已知命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4、椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5、抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、“m>0”是“方程+=1表示椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7、已知命题: ,使得.若是假命题，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎8、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )‎ A. 2 B. -4 C. -2 D. 4‎ ‎9、设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 3或7 D. 1或9‎ ‎10、在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 评卷人 得分 二、填空题（本题满分20分，每小题4分）‎ ‎11、若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为__________.‎ ‎12、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 ‎．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．‎ ‎13、已知向量，，且与互相垂直，则的值是_______．‎ ‎14、如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．‎ 15、 为抛物线的焦点，点在抛物线上， 是圆上的点，则最小值是__________．‎ 评卷人 得分 三、解答题（本题满分40分，每小题10分）‎ ‎16、(本小题满分10分)‎ 已知命题p：x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.若 为真，为假，求实数a的取值范围．‎ ‎17、(本小题满分10分)‎ 为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三（1）班20位学生的样本数据（单位:小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周 平均体育运动时间的平均数的估计值；‎ ‎（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时 的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间 低于2小时的学生的概率。‎ ‎18、 (本小题满分10分)‎ 如图，在四棱锥中，，,,.点为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19、(本小题满分10分)‎ 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.‎ 参考答案 一、单项选择 ‎1-5 C A D D B 6-10 B B D C A 二、填空题 ‎11、 12、　13、 14、 15、2‎ 三、解答题 ‎16、【答案】∵x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，∴a≤1.即p：a≤1，‎ ‎∴p：a>1.‎ 又x0∈R，使得＋(a－1)x0＋1<0.‎ ‎∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，‎ 即q：a>3或a<－1，‎ ‎∴ q：－1≤a≤3. ………（5分）‎ 又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．‎ 当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．‎ 当p假q真时，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}．‎ 综上所述，的取值范围为{|－1≤≤1或}．………（10分）‎ ‎17、【答案】（1）解：根据频率分布直方图，‎ 各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05 ‎ 各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11 ‎ 该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为 ‎ ………（5分） ‎ ‎（2）依题意可知，‎ 平均运动时间低于4小时的学生中，在[0,2)的人数有，记为A，‎ 在[2,4)的人数有，记为 ‎ 从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：‎ ‎； ‎ 其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：‎ ‎； ‎ 故所求概率 ………(10分）‎ ‎18、【答案】证明：（1）取中点，连，在中，分别为中点，……2分 由题意，,，。‎ 又，.……（5分）‎ (2) 方法：可以建空间坐标系，分别以AB,AD,AP,为x,y,z轴 B（1,0, 0），P(0，0，2),D(0，2，0),C(2，2，0),E(1，1，1)‎ 设平面PDB的法向量 则求得，,sin=‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ………（10分）‎ ‎19、【答案】解：（1）设焦距为2c，由已知，2b=2，∴b=1，‎ 又a2=1+c2，解得a=2，[]‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；………（4分）‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ 依题意，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①‎ ‎，………（6分）‎ ‎，‎ 若，则，即4y1y2=5x1x2，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）=0，化简得，②………（8分）‎ 由①②得，‎ ‎∵原点O到直线l的距离，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴原点O到直线l的距离的取值范围是．………（10分）‎