2005年广东省高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年广东省高考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 若集合M={x||x|≤2}，N={x|x2-3x=0}，则M∩N等于（ ）
A.{3} B.{0} C.{0, 2} D.{0, 3}
2. 若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2+b2=( )
A.0 B.2 C.52 D.5
3. limx→-3x+3x2-9=( )
A.-16 B.0 C.16 D.13
4. 已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1-ABC的体积为（ ）
A.14 B.12 C.36 D.34
5. 若焦点在x轴上的椭圆x23+y2m=1的离心率为12，则m=( )
A.3 B.94 C.83 D.23
6. 函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( )
A.(2, +∞) B.(-∞, 2) C.(-∞, 0) D.(0, 2)
7. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中与AD'成60∘角的面对角线的条数是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy=1的概率为( )
A.16 B.536 C.112 D.12
9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称．现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f(x)的表达式为( )
A.f(x)=2x+2,-1≤x≤0x2+2，0
4时f(n)=________（用n表示）
三、解答题（共6小题，15、18题每题12分，16、17、19、20题每题14分，满分80分）
15. 化简f(x)=cos(6k+13π+2x)+cos(6k-13π-2x)+23sin(π3+2x)(x∈R, k∈Z)并求函数f(x)的值域和最小正周期．
16. 如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=234．F是线段PB上一点，CF=151734，点E在线段AB上，且EF⊥PB．
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的大小．
17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（1）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（2）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
7 / 7
18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．
（I）求ξ的分布列；
（II）求ξ的数学期望．
19. 设函数f(x)在(-∞, +∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0, 7]上，只有f(1)=f(3)=0．
（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)=0在闭区间[-2005, 2005]上的根的个数，并证明你的结论．
20. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
(Ⅱ)求折痕的长的最大值．
7 / 7
参考答案与试题解析
2005年广东省高考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.
【答案】
B
2.
【答案】
D
3.
【答案】
A
4.
【答案】
D
5.
【答案】
B
6.
【答案】
D
7.
【答案】
C
8.
【答案】
C
9.
【答案】
A
10.
【答案】
B
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11.
【答案】
(-∞, 0)
12.
【答案】
4
13.
【答案】
±22
14.
【答案】
5,(n-2)(n+1)2
三、解答题（共6小题，15、18题每题12分，16、17、19、20题每题14分，满分80分）
15.
【答案】
解：f(x)=cos(2kπ+π3+2x)+cos(2kπ-π3-2x)+23sin(π3+2x)
7 / 7
=cos(π3+2x)+cos(π3+2x)+23sin(π3+2x)
=2cos(π3+2x)+23sin(π3+2x)
=4[sinπ6cos(π3+2x)+cosπ6sin(π3+2x)]
=4sin(2x+π2)=4cos2x
函数f(x)的值域是[-4, 4]，最小正周期是T=2π2=π，
16.
【答案】
（1）证明：∵ PA2+AC2=36+64=100=PC2，
∴ △PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．
故PA⊥平面ABC．
又∵ S△PBC=12|PC||BC|=12×10×6=30．
而12|PB||CF|=12×234×151734=30=S△PBC．
故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，
∴ PB⊥平面CEF．
（2）由（1）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，
∴ AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE，
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，
∴ EF⊥EC．
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，tan∠FEB=cot∠PBA=ABAP=106=53，
二面角B-CE-F的大小为arctan53．
17.
【答案】
解：（1）设△AOB的重心为G(x, y)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x=x1+x23y=y1+y23(1)
∵ OA⊥OB∴ kOA⋅kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，②
又点A，B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22，代入②化简得x1x2=-1
∴ Y=y1+y23=13(x12+x22)=13[(x1+x2)2-2x1x2]=13×(3x)2+23=3x2+23．
所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+23．
（2）S△AOB=12|OA||OB|=12(x12+y12)(x22+y22)=12x12x22+x12y22+x22y12+y12y22
由（1）得S△AOB=12x12+x22+2≥122|x1x2|+2=12×2=1
当且仅当x12=x22即|x1|=|x2|=1时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1．
18.
【答案】
解：(I)ξ的可能取值为：0，1，2，n
ξ的分布列为
7 / 7
(II)ξ的数学希望为Eξ=0×ss+t+1×st(s+t)2+2×st2(s+t)3+...+(n-1)×stn-1(s+t)n-1+n×tn(s+t)n(1)
ts+tEξ=st2(s+t)2+...+(n-2)stn-1(s+t)n-1+(n-1)stn(s+t)n-1+ntn+1(s+t)n+1(2)
（1）-(2)得Eξ=ts-tns(s+t)n-1-(n-1)tn(s+t)n-1+ntn(s+t)n．
19.
【答案】
解：由f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)⇒f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)，
又f(3)=0，而f(7)≠0，⇒f(-3)=f(7)≠0⇒f(-3)≠f(3)，f(-3)≠-f(3)
故函数y=f(x)是非奇非偶函数；
（2）由f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)⇒f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)
又f(3)=f(1)=0⇒f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0
因为在闭区间[0, 7]上，只有f(1)=f(3)=0，故在[4, 7]上无零点，
又f(7-x)=f(7+x)，故在[4, 10]上无零点，故在[0, 10]上仅有两个解
故f(x)在[0, 10]和[-10, 0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f(x)在[0, 2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，
所以函数y=f(x)在[-2005, 2005]上有802个解．
20.
【答案】
(I)(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=12．
（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0
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