高中数学讲义微专题47 多变量表达式范围——放缩消元法

高中数学讲义微专题47 多变量表达式范围——放缩消元法

微专题 47 多变量表达式的范围——放缩消元法 一、基础知识： 在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消 元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 1、放缩法求最值的理论基础： 不等式的传递性：若 ，则 2、常见的放缩消元手段： （1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消 元 （2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其 等于 0，达到消元的效果 （3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 （4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利 用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。 3、放缩消元过程中要注意的地方： （1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的 不等号为“ ”；若求最大值，则对应的不等号为“ ”。放缩的方向应与不等号的方向一致 （2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不 等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于 的表达式 进行放缩消去 ，得到 ，例如 ，则下一步需要求出 的最小值（记 为 ），即 ，通过不等式的传递性即可得到 。同理，若放缩 后 得 到 ： ， 则 需 要 求 出 的 最 大 值 （ 记 为 ）， 即 ，然后通过不等式的传递性得到 （3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式 中等号能够一直传递下去      , ,f x y g x g x m   ,f x y m   ,x y  ,f x y y  g x    ,f x y g x  g x m    ,f x y g x m   ,f x y m    ,f x y g x  g x M    ,f x y g x M   ,f x y M 二、典型例题： 例 1：设集合 中的最大元素与最小元素分别为 ，则 的值 为____________ 思路：考虑分别求出 的最大值与最小值，先求 的最大值，只需 取最小， 取最 大： 即 ，再求 的最小值，由 可知利用 进行放 缩 ， 从 而 消 去 ， 可 得 ： ， 再 利 用 均 值 不 等 式 可 得 ： ，所以 的最小值 ，从而 答案： 例 2：已知 是任意三点， ，则 的最小值是 _______ 思路：因为 ，所以结合不等号的方向可将 消去，从而转化为关于 的表达式： ，然后可从 出发，构造出与第一项互为倒数的性质 以 便 于 利 用 均 值 不 等 式 解 出 最 值 ： ， 从 而 有 ： ，所以 答案： 例 3：设实数 满足 ，则 的最大值为__________ 思 路 ： 由 可 联 想 到 与 的 关 系 ， 即 ， 所 以 ， 然 后 可 利 用 进 一 步 放 缩 消 元 ， 得 ，在利用 即可得到最大值： ， 3 |1 2b a ba        ,M m M m 3 ba  3 ba  a b 3 3 2 51ba     5M  3 ba  1 a b  b a b 3 3b aa a   3 3 32 2 3b a aa a a      3 ba  2 3m  5 2 3M m   5 2 3 , ,A B C , ,BC a CA b AB c   c by a b c  a b c  a ,b c 2 c b c b c b a b c b c b c b c c        b c 1 2 1 2 1 2 2 2 b b b c c c c      1 2 1 122 2 2 2 c b c b c c      12 2 c by a b c    12 2 , ,a b c 2 2 1a b c   a b c  a b c   a b 2 2a b 2 2 2 2 a ba b   2 2 2 2 a ba b c c    2 2a b c  2 2 2 22 a ba b c c c c      1c  2 2 1c c   所以 的最大值为 ，其中等号成立条件为： 答案： 小炼有话说：本题也可从 入手，进行三角换元： ，由 可得 ，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去 即可得到最值： 例 4：已知关于 的一元二次不等式 在实数集上恒成立，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：由不等式恒成立可得： ，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消 去 ，即 ，所以 ，对于该其次分式可两边同时除以 ，可得： ，令 由 可知 从而将问题转化为 求 的最小值。 ，从而 答案：D 小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择 ，则因分式中含 的项较多， 消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是 关键 例 5（2010，四川）设 ，则 的最小值为（ ） a b c  2 1 2 2 2 2 11 a b a ba b c cc             2 1 2 2a b cos sin a r b r      2 2a b c  r c , ,r c cos sin 2 sin 2 2 2 14a b c r r c r c r c c c                   x 2 0ax bx c   a b a b cT b a    0 1 2 3 2 4 0b ac    c 2 4 bc a 2 2 2 2 4 44 4 4 ba b a ab baT b a ab a       2a 2 4 41 4 1 b b a aT b a                  bt a a b  1,t   2 4 4 1 t ty t      2 4 4 96 1 121 1 t ty tt t         1 34T y   ,a b ,a b 0a b c     2 21 12 10 25a ac cab a a b    A. B. C. D. 思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来 减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即 ，从而 消去了 ，得 ，然后根据分母特征： 构造 ，由均值 不等式得： ，验证等 号成立条件： ，从而最小值为 答案：D 小 炼 有 话 说 ： 本 题 在 处 理 的 最 值 时 还 可 以 从 分 式 入 手 ： ， 从 而 对 分 母 利 用 均 值 不 等 式 ： 消去 ，所以 例 6：已知正数 满足 ，则 的最小值是_______ 思路：所求表达式涉及 3 个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的 可与条件中 的 具备不等关系，而 可用 表示，且不等号的方向与所求一致，故考 虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于 的表达式求得最值 解： ，因为 2 4 2 5 5  22 210 25 5 0a ac c a c     c     2 2 21 1 1 12 10 25a ac c aab a a b ab a a b          2,ab a a b a ab         2 21 1 1 1a a ab abab a a b ab a a b                2 24 1 1 1 14 4a ab ab a ab abab a a b ab a a b           2 2 2 5 21 1 2 2 5 a a c ba ab ab ab a ab c              4   2 1 1a ab a a b         1 1 1a b b ab a a b ab a b b a b         2 2 2 4 b a b ab a b        b   2 2 2 1 1 4 4a aab a a b a     , ,x y z 2 2 2 1x y z   1 2 zs xyz  2xy 2 2x y 2 2 21x y z   z z 2 2 2 2 2 21 1x y z x y z       2 22xy x y  所以有 （等号成立条件： ） 例 7：设 ，且 ，则 的最大值是____________ 思路：本题虽然有 3 个变量，但可通过 进行消元，观察所求式子项的次数可知 消去 更方便，从而可得 。然后可使用“主元法”进 行处理，将 视为主元，即 但本题要注意 的取值范围与 相 关 ， 即 ， 通 过 配 方 （ 或 求 导 ） 可 知 的 最 大 值 在 边 界 处 取 得 ， 即 ， ，从而达到消去 的效果，再求出 中的最大值即可 解： 设 为 的极小值点 2 2 2 1 1 1 2 1xy x y z        222 1 1 1 1 1=2 1 11 1 1 4 2 z z zs xyz z z z z zz z z               21 1 1 4 2 4z      2 1 4 1 1 4 2 s z         2 2 2 6 1 4 2 6 4 1 1 2 x z x y y x y z z                  , , 0x y z  2x y z   2 22 3x y z  2x y z   y 2 2 2 22 3 2 3 2x y z x x z z       x   2 22 3 2f x x x z z     x z  0,2x z   f x    2 2 max max 3 2,5 8 8f x z z z z      0,2z  x    2 2g max 3 2,5 8 8z z z z z     2x y z   2y x z    2 2 2 22 3 2 3 2x y z x x z z          2 22 3 2f x x x z z     , , 0 0 2 2 x y z x y x z x z          0 2x z    ' 4 1f x x  1 4x   f x       max max 0 , 2f x f f z   其中 设 若 可得： 例 8：已知函数 （1）求 的解析式及单调区间 （2）若不等式 恒成立，求 的最大值 解：（1） ，代入 可得： ，令 可得： ，可知 在 上单调递增 时， 时， 在 单调递减，在 单调递增 （2）恒成立的不等式为： 即 设      22 2 20 3 2, 2 2 2 3 5 8 8f z z f z z z z z             2 2 max max 3 2,5 8 8f x z z z z       0,2z     2 2max 3 2,5 8 8g z z z z z     2 2 33 2 5 8 8 22z z z z z          2 2 33 2, ,22 35 8 8, 0, 2 z z z g z z z z                      max 2 12g z g     2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 max 3 2,5 8 8 2 12x y z x x z z z z z z g                    ' 1 211 0 2 xf x f e f x x    f x   21 2f x x ax b    1a b      ' ' 11 0xf x f e f x   1x         ' '1 1 0 1 0 1f f f f        ' 1 211 2 xf x f e x x   0x        ' '10 1ff f ee     21 2 xf x e x x     ' 1xf x e x     ' 0 0f   'f x R  ,0x    ' 0f x   0,x    ' 0f x   f x  ,0  0, 2 21 1 2 2 xe x x x ax b     0xe x ax b      xg x e x ax b     min 0g x  ，令 ，即解不等式 若 ，可解得 在 单调递减，在 单调递增 下面求 的最大值 令 ，设 令 ，可解得 在 单调递增，在 单调递减 当 时，可得 当 时， 为增函数 且 时， ， ，与 恒成立矛盾 综上所述： 的最大值为 例 9：已知函数 ，求 的最小值 思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量 存在二次函数的结构，所以考虑利用 “主元法”，将 视为自变量， 视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去 ，从而 得到关于 的函数，然后求得最小值即可。 解：    ' 1xg x e a    ' 0g x  1xe a  1 0a    ln 1x a   g x   ,ln 1a    ln 1 ,a          min ln 1 1 ln 1 ln 1 0g x g a a a a a b                1 1 ln 1b a a a             2 21 1 1 ln 1a b a a a            2 21 1 ln 1a a a     21t a     1ln ln 02h t t t t t t t t          ' 1 11 1 ln 1 ln2 2h t t t       ' 0h t  0 t e   h t  0,e  ,e     max 1 2h t h e e    1 2 ea b   1 0a    1 0 2 ea b   1 0a      1xg x e a x b     g x x    1a x     g x     0g x    1a b 2 e    2 2 2, 2 2 1, ,x xf x t e t e x x t t R x R         ,f x t t t x t x      2 2 2 21, 2 2 12 2 2 x x x xe x xf x t t e x t e xe          设 设 ，可知 在 单调递减，在 单调递增 恒成立 令 ，即解不等式 在 单调递减，在 单调递增 即 的最小值为 例 10：已知函数 （1）若 在 上的最大值和最小值分别记为 ，求 （2）设 ，若 对 恒成立，求 的取值范围 解：（1） ① 当 时，可得 在 单调递增 2 2 212 12 2 2 x x xe x xt e xe         2 02 xe xt       2 21 1, 12 2 x xf x t e x xe       2 21 1 12 2 x xg x e x xe        ' 2 1x x x x xg x e x e xe e x e          xh x e x   ' 1xh x e   h x  ,0  0,    0 1 0h x h    0xe x     ' 0g x  1 0 0xe x     g x  ,0  0,     30 2g x g       3, 2f x t g x    ,f x t 3 2    3 3f x x x a a R     f x  1,1    ,M a m a    M a m a b R   2 4f x b     1,1x  3a b   3 3 3 3 , 3 3 , x x a x af x x x a x a           2 ' 2 3 3, 3 3, x x af x x x a        1a   x a   3 3 3f x x x a     f x  1,1        1 4 3 , 1 4 3M a f a m a f a         ② 当 时， 可得： 在 单调递减，在 单调递增 由 可知： 当 时， 当 时， ③ 当 时， 可得 在 单调递减 综上所述： （2）不妨设 由 恒成立可知： 恒成立 即 对任意的 恒成立 且 即 且     8M a m a    1,1a         3 3 3 3 , ,1 3 3 , 1, x x a x a f x x x a x a                2 ' 2 3 3, ,1 3 3, 1, x x a f x x x a          f x  1,a  ,1a              3max 1 , 1 4 3 ,2 3 ,M a f f a a m a f a a           1 1 2 6f f a    11, 3a              31 , 4 3M a f M a m a a a      1,13a             31 , 2 3M a f M a m a a a       1a  x a   3 3 3f x x x a     ' 23 3f x x    f x  1,1        1 2 3 , 1 2 3M a f a m a f a             4M a m a       3 3 8, 1 13 4, 1 3 13 2, 13 4, 1 a a a a M a m a a a a a                       3 3 3 3 , 3 3 , x x a b x ah x f x b x x a b x a                 2 ' ' 2 3 3, 3 3, x x ah x f x x x a           2 4f x b     2 4h x   2 2h x    1,1x   max 2h x   min 2h x     2M a b    2m a b   ① 当 时，由（1）可知 无解 ② 当 ， ，即 即 另一方面： 设 恒成立 在 单调递增 ③当 ， ，即 解得： 设 恒成立 在 单调递增 1a          max min1 4 3 , 1 4 3h x h a b h x h a b          4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 a b a b a b a b                   ,a b 11, 3a              3 max min1 4 3 ,h x h a b h x h a a b       3 32 3 2 3 4 3 2 3 2 6 a b a b a a a b a b a                   3 3 2 3 6 2a a a b a       3 3 2 6 2a a a      3 23 0 3 0a a a a     10 3a   16 2 6 2 03a         3 ' 23 2 3 3 0t a a a t a a         t a 11, 3        0 2t a t    2 3 0a b    1,13a             3 max min1 3 2,h x h a b h x h a a b        3 32 3 2 3 3 2 2 3 0 a b a b a a a b a b                 3 3 2 3 0a a a b      3 3 2 0a a    2a   1,13a         3 ' 23 2 3 3 0t a a a t a a         t a 1,13       1 28 3 27t a t       ④ 当 时， 综上所述： 28 3 027 a b    1a         max min1 3 2, 1 3 2h x h a b h x h a b         3 2 2 3 0 3 2 2 3 0 a b a b a b a b               3 0a b    3 2,0a b  