2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷）

2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷）

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。‎ ‎4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 ‎ ‎5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1.已知集合，，若则实数a的值为________‎ ‎2.已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________‎ ‎3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.‎ ‎4.右图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的y的值是 .‎ ‎5.若tan,则tan= .‎ ‎6.如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是 ‎ ‎7.记函数 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x D的概率是 ‎ ‎8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 ‎ ‎9.等比数列的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知，‎ 则= ‎ ‎10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是 ‎ ‎11.已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 。‎ ‎12.如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1，，与的夹角为，且tan=7，与的夹角为45°。若=m+n（m，nR），则m+n= ‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是 ‎ ‎14.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC.‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 已知向量a=（cosx,sinx）,,.‎ ‎（1）若a∥b，求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x的值 ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；‎ ‎（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 对于给定的正整数k,若数列lanl 满足 ‎=2kan对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列lanl 是“P(k)数列”.‎ ‎(1)证明：等差数列lanl是“P(3)数列”；‎ （1） 若数列lanl既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：lanl是等差数列.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ （1） 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ （2） 证明：b²>3a;‎ （3） 若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学II（附加题）‎ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~ ‎ 第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。‎ ‎4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 ‎ ‎5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A.【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）‎ 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足。‎ 求证：（1）∠PAC=∠CAB;‎ ‎（2）AC2 =AP·AB。‎ B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A= ，B=.‎ (1) 求AB;‎ 若曲线C1; 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程.‎ C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为 ‎（s为参数）。设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值 Ｄ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）‎ 已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120º.‎ ‎（1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B-A1D-A的正弦值。‎ ‎ ‎ ‎23. （本小题满分10）‎ 已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.‎ ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;‎ ‎（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明 ‎ ‎2017年高考江苏卷数学试题（标准答案）‎ 一 、填空题: 本题考查基础知识、 基本运算和基本思想方法. 每小题5 分， 共计70 分. ‎ ‎1. 1 2. 3.18 4. 5.‎ ‎6. 7. 8. 9. 32 10.30‎ ‎11. 12.3 13. 14. 8 ‎ 二 、 解答题 ‎15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力 和推理论证能力.满分14 分.‎ 证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.‎ 又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ ‎（2）因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 平面平面BCD=BD， ‎ 平面BCD，，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，‎ 所以AD⊥平面ABC，‎ 又因为AC平面ABC，‎ 所以AD⊥AC.‎ ‎16.本小题主要考查向量共线、数量积的概念及运算， 考查同角三角函数关系、诱导公式、两角 和(差)的三角函数、三角函数的图像与性质， 考查运算求解能力满分14 分.‎ 解：（1）因为，，a∥b，‎ ‎ 所以.‎ 若，则，与矛盾，故.‎ 于是. ‎ 又，所以.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值.‎ ‎17.本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.满分14 分. ‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， ‎ 解得，于是， ‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ ‎（2）由（1）知，，.‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎ 当时，与相交于，与题设不符.‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程：， ①‎ 直线的方程：. ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得；，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎18.本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念， 考查正弦定理、余弦定理等基础知识， 考查空间 想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16 分. ‎ 解:（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，.‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处.‎ 因为，‎ 所以，从而 ，‎ 记与水面的焦点为,过作P1Q1⊥AC, Q1为垂足，‎ 则 P1Q1⊥平面 ABCD，故P1Q1=12，‎ 从而 AP1= .‎ 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.‎ ‎( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)‎ ‎ ‎ ‎（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.‎ 由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.‎ 同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.‎ 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.‎ 过G作GK⊥E1G，K为垂足， 则GK =OO1=32. ‎ 因为EG = 14，E1G1= 62，‎ 所以KG1= ，从而. ‎ 设则.‎ 因为，所以.‎ 在中，由正弦定理可得，解得. ‎ 因为，所以.‎ 于是.‎ 记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=.‎ 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.‎ ‎(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)‎ ‎19.本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识, 考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16 分.‎ 证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而，当时，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因此等差数列是“数列”.‎ ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时，，①‎ 当时，.②‎ 由①知，，③‎ ‎，④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为.‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列.‎ ‎20.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题, 考查综合运用数学思 想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16 分.‎ 解：（1）由，得.‎ 当时，有极小值.‎ 因为的极值点是的零点.‎ 所以，又，故.‎ 因为有极值，故有实根，从而，即.‎ 时，，故在R上是增函数，没有极值；‎ 时，有两个相异的实根，.‎ 列表如下 x ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 故的极值点是.‎ 从而，‎ 因此，定义域为.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 设，则.‎ 当时，，从而在上单调递增.‎ 因为，所以，故，即.‎ 因此.‎ ‎（3）由（1）知，的极值点是，且，.‎ 从而 记，所有极值之和为，‎ 因为的极值为，所以，.‎ 因为，于是在上单调递减.‎ 因为，于是，故.‎ 因此a的取值范围为.‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-1：几何证明选讲] ‎ 本小题主要考查圆与相似三角形等基础知识, 考查推理论证能力.满分10 分.‎ 证明：（1）因为切半圆O于点C，‎ 所以，‎ 因为为半圆O的直径，‎ 所以,‎ 因为AP⊥PC，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，故，‎ 所以.‎ B. [选修4-2：矩阵与变换]‎ 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识, 考查运算求解能力.满分10 分.‎ 解：（1）因为A=， B=，‎ 所以AB==.‎ ‎（2）设为曲线上的任意一点，‎ 它在矩阵AB对应的变换作用下变为,‎ 则，即，所以.‎ 因为在曲线上，所以，‎ 从而，即.‎ 因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线.‎ C. [选修4-5：坐标系与参数方程] ‎ 本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识, 考查运算求解能力.满分10 分.‎ 解：直线的普通方程为.‎ 因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的的距离，‎ 当时，.‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.‎ D. [选修4-5：不等式选讲] ‎ 本小题主要考查不等式的证明, 考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明：由柯西不等式可得：，‎ 因为 所以，‎ 因此.‎ ‎22. 【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识, 考查运用空间向量解决问题的能力.满分10 分.‎ 解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.‎ 因为AA1平面ABCD，‎ 所以AA1AE，AA1AD.‎ 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.‎ 因为AB=AD=2，AA1=，.‎ 则.‎ ‎(1) ，‎ 则.‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)平面A1DA的一个法向量为.‎ 设为平面BA1D的一个法向量，‎ 又，‎ 则即 不妨取x=3，则，‎ 所以为平面BA1D的一个法向量，‎ 从而,‎ 设二面角B-A1D-A的大小为，则.‎ 因为，所以.‎ 因此二面角B-A1D-A的正弦值为.‎ ‎23.【必做题】本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识, 考查组合数及其性质, 考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分. ‎ 解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: . ‎ ‎(2) 随机变量 X 的概率分布为: ‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量 X 的期望为：‎ ‎.‎ 所以 ‎.‎