2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

‎2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试文科数学试题 ‎ (考试时间：120分钟试卷总分：150分)‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上．‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．‎ 第I卷（选择题 60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1.已知（）且，则（   ）‎ A.               B.                   C.                     D. ‎ ‎2. 根据给出的程序框图（如图），计算（   ）‎ ‎ A. 0                           B. 1                                 C. 2                                    D. 4‎ ‎3. 函数的单调递减区间是（   ）‎ A.             B.            C.              D. ‎ ‎4．有一段 “三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎5. 设定点、，动点满足，点的轨迹是（    ）‎ A. 椭圆                                B. 线段                                C. 不存在                                D. 椭圆或线段 ‎6.在用反证法证明“已知，且，则，，中至少有一个大于 ”时，假设应为（   ）‎ A. ，，中至多有一个大于                         B. ，，全都小于 C. ，，中至少有两个大于                         D. ，，均不大于 ‎7. 若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为(   ) ‎ A.B.C.D.‎ ‎8. 已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为(   )‎ A. 1                                         B. ±1                                         C. -1                                         D. -2‎ ‎9. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为(   ) ‎ A.                                       B.                                       C. ‎ ‎                                      D. ‎ ‎10.已知与之间的一组数据：已求得关于与的线性回归方程为，则的值为（   ）‎ A. 1                         B. 0.85                  C. 0.7                         D. 0.5‎ ‎11.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离等于（       ）‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎12.已知是的极小值点，则实数的取值范围是（  ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13. 已知为虚数单位，若，则复数=‎ ‎14. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是________．‎ ‎15. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围________．‎ ‎16.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则 ________ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.‎ ‎17. 某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元/平方米)的统计数据如下表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 销售价格 ‎3‎ ‎3.4‎ ‎3.7‎ ‎4.5‎ ‎4.9‎ ‎5.3‎ ‎6‎ 附：参考公式：，，其中为样本平均值。‎ 参考数据：   ．‎ ‎（1）求关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格。‎ ‎18.函数 , 在处与直线相切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的最大值．‎ ‎19. 目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响，我校随机抽取100名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如表所示：‎ 已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6．‎ 参考公式：，其中．‎ ‎（1）请将上表补充完整（不用写计算过程）；‎ ‎（2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关? ‎ ‎20. 已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．‎ ‎21.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2 .7万元，设该公司年内共生产该特许商品工x千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元， 且，  (I)写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件）的函数解析式； (II)年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大? ‎ ‎22.已知函数 . ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围. ‎ 一、单选题 ‎1.【答案】B ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模 ‎【解析】【解答】根据复数的模的公式，可知，即，因为，所以，即，‎ 故答案为：B．‎ ‎【分析】本题利用复数的模与复数实部与虚部的关系式求出实部a的值，再利用复数与共轭复数实部相等虚部相反的关系式求出共轭复数。‎ ‎2.【答案】 A ‎ ‎【考点】程序框图 ‎【解析】【解答】输入，满足，所以；输入，不满足，所以，即   . ‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】根据程序框图，首先求出f(-1)与f(2)的值，再计算即可。‎ ‎3.【答案】 A ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性 ‎【解析】【解答】函数定义域为，由得，所以减区间为 . ‎ 故答案为：A ‎【分析】本题利用导数的方法求出函数的单调递减区间。‎ ‎4．A【解析】试题分析：∵大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．‎ ‎ 5.【答案】D 【考点】椭圆的定义【解析】【解答】当时，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立.当时，点的轨迹表示线段 ,‎ 当时，点的轨迹表示以位焦点的椭圆,故答案为：D.‎ ‎6.【答案】 D 【考点】反证法 ‎【解析】【解答】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．‎ 而要证命题的否定为：“假设，，均不大于 ”，‎ 故答案为：D．‎ ‎【分析】a，b，c中至少有一个大于 1的否定为a，b，c均不大于1.‎ ‎7.【答案】 C ‎ ‎【考点】直线的斜率，抛物线的标准方程 ‎【解析】【解答】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】将坐标代入抛物线方程可得，即可得直线的斜率 .‎ ‎8.【答案】A ‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】【解答】解：设切点为，‎ 的导数，‎ 则，，‎ 则对应的切线方程为，即，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ 解得 .‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】设切点为(x0, y0 )，求导得相应的切线方程，可得a的值.‎ ‎9.【答案】A ‎ ‎【考点】双曲线的简单性质 ‎【解析】【解答】由条件可得双曲线的渐近线方程为，不妨取，‎ ‎∵渐近线与直线垂直，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴双曲线的离心率为。‎ 故答案为：A。‎ ‎【分析】本题利用双曲线渐近线与已知直线垂直的关系，借助斜率之积等于-1的关系式和离心率求解公式求出双曲线离心率。‎ ‎10.【答案】 D ‎ ‎【考点】线性回归方程 ‎【解析】【解答】通过数据计算得：， . ‎ 得到样本中心，‎ 由线性回归方程为经过样本中心，可得 .‎ 解得 .‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】先求出与的平均数，得到样本中心，再代入线性回归方程，即可求出m的值.‎ ‎11.【答案】 D ‎ ‎【考点】双曲线的定义 ‎【解析】【解答】双曲线化为，‎ 可得，，‎ 设到另一个焦点的距离为，‎ 根据双曲线的定义可得，，‎ 即点到另一个焦点的距离等于，‎ 故答案为：D.‎ ‎12.【答案】 D ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系，函数的零点 ‎【解析】【解答】依题意，它的两个零点为，要是函数的极小值点，则必须，此时函数在上递减，在上递增，在处取得极小值. ‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】利用求导的方法求出函数的极值点，再利用极小值点与函数单调性的关系求出a 的取值范围。‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎14.【答案】‎ ‎【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 ‎【解析】【解答】由已知可知离心率，，‎ 即，双曲线焦点在轴，渐近线方程为，即．‎ 故答案为：‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率公式结合双曲线a,b,c三者的关系式找出a,b的关系式，再利用双曲线焦点的位置结合双曲线渐近线方程求出双曲线的渐近线方程。‎ ‎15.【答案】‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 ‎【解析】【解答】，在内恒成立，所以，‎ 由于，所以，，所以．‎ 故答案为：‎ ‎【分析】利用求导的方法借助不等式恒成立问题的解决方法，用求函数最值的方法求出a的取值范围。‎ ‎16.【答案】‎ ‎【考点】归纳推理 ‎【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式  ，‎ ‎∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方 ‎  ‎ 即答案为 .‎ ‎【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）由题意知：，‎ ‎，‎ 所以  ‎ ‎  ‎ 所以线性回归方程为：  ‎ ‎（2）由（1）得到，所以2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，平均每年每平方增加0.5千元。‎ 将代入线性回归方程得到：  ‎ 故预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格为6.9千元/平方米.‎ ‎【考点】线性回归方程，回归分析的初步应用 ‎【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件，结合线性回归方程求解方法求出关于x的线性回归方程. (2)利用（1）问求出的线性回归方程，用线性回归分析的方法结合实际问题的要求分析出2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测出该市2019年新开楼盘的平均销售价格。‎ ‎18.【答案】（1）解：．由函数在处与直线相切，得，即，解得： （2）解：由（1）得：，定义域为．此时，，令，解得，令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的极大值为．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】【分析】（1）先求导，再由已知在处与直线相切列式，即可求出a的值. （2）先由（1）得到函数，再求导，利用导数的单调性，即可求出在闭区间上的最大值.‎ ‎19.【答案】（1）解：列联表如图：‎ ‎ （2）解：由表，‎ 故有的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关.‎ ‎【考点】独立性检验的应用，可线性化的回归分析 ‎【解析】【分析】（1）根据已知条件，即可将表格补充完整； （2）运用独立性检验的方法，由（1）表格的数据，求出的值，即可判断学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关.‎ ‎20.【答案】（1）解：显然k≠0．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1， y1），B（x2， y2），则x1≠0，x2≠0，由根与系数的关系可得y1+y2=– ，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以 =–x1， =–x2， · =x1x2．因为kOA·kOB= · =–1，所以OA⊥OB． （2）解：设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN= ON·|y1|+ ON·|y2| = ON·|y1–y2|= ×1× ，所以，解得k=± ．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系 ‎【解析】【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合两直线斜率乘积为-1，即可说明两直线垂直； （2）求出直线与x轴交点，表示出三角形OAB的面积，根据面积为，解方程即可求出实数k的值.‎ ‎21.【答案】解：（I）当时， 当时， （II）①当时，由 当   ‎ ‎∴当时，W取最大值，且 ②当时，W=98   当且仅当 综合①、②知时，W取最大值． 所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大 ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，利用导数研究函数的单调性 ‎【解析】【分析】（1）根据利润计算公式，即可得出解析式。（2）对W的解析式求导，结合导函数和原函数单调性的关系，判断最值。‎ ‎22.【答案】（1）   ‎ 若，，在上单调递减；‎ 若，当时，，即在上单调递减，‎ 当时，，即在上单调递增. ‎ ‎ （2）若，在上单调递减，‎ 至多一个零点，不符合题意. ‎ 若，由（1）可知，的最小值为  ‎ 令，，所以在上单调递增，‎ 又，当时，，至多一个零点，不符合题意，‎ 当时，‎ 又因为，结合单调性可知在有一个零点 令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以 当时，‎ ‎   ‎ 结合单调性可知在有一个零点 综上所述，若有两个零点，的范围是 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理 ‎【解析】【分析】(1)利用对a 进行分类讨论结合求导的方法讨论出函数的单调性。 (2)利用求导的方法判断出函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合零点存在性定理求出a 的取值范围。‎