北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试卷

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北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试卷

北京市第一七一中学2019-2020学年度第一学期高二数学 ‎12月月考考试 一、选择题 ‎1.已知向量,,,则( )‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 9 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出坐标,按空间向量数量积坐标运算,即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算,属于基础题.‎ ‎2.设抛物线的焦点为,点在此抛物线上且横坐标为,则等于( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由抛物线方程得到,再由抛物线定义,即可求出结果.‎ ‎【详解】解:因为抛物线方程,所以,‎ 由抛物线的定义可得:.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离,熟记抛物线的定义即可,属于基础题型.‎ ‎3.已知等差数列的前15项和,那么等于  ‎ A. 6 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出,由此能求出的值.‎ ‎【详解】∵等差数列的前15项和,‎ ‎,‎ 解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列中两项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎4.设等比数列的公比,前n项和为,则( )‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】,选A.‎ ‎5.已知椭圆的一个焦点是,那么实数  ‎ A. B. C. 3 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过椭圆的焦点,确定,利用a,b,c的关系,求出k的值即可.‎ ‎【详解】因为椭圆的一个焦点是,‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质,属于基础题.‎ ‎6.已知为数列的前n项和,,,那么  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎【详解】时,,,可得:,化为.‎ 时,.‎ 数列从第二项起为等比数列,公比为2,首项为.‎ 那么.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎7.“直线平面”是“直线在平面外”的  ‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线l在平面外则直线l与平面平行或相交可判定“直线l与平面平行”与“直线l在平面外”的关系.‎ ‎【详解】“直线l与平面平行”“直线l在平面外”‎ ‎“直线l在平面外”则直线l与平面平行或相交,故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”‎ 故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面的位置关系,以及充要条件的判定,熟悉定理是解题的关键,同时考查了分析问题的能力,属于基础题.‎ ‎8.已知为直线l的方向向量,,分别为平面,的法向量不重合那么下列说法中:‎ ‎;;;正确的有  ‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线的方向向量与平面的法向量的关系,即可判断.‎ 详解】∵平面,不重合;‎ 平面,的法向量平行垂直等价于平面,平行垂直;‎ 正确;‎ 直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面;‎ 都错误.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】考查了对平面的法向量概念及直线的方向向量概念的理解,属于基础题.‎ ‎9.三棱柱的侧棱与底面垂直,,,N是BC的中点,点P在上,且满足,当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时,的值为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系,利用向量的夹角公式,求出直线PN与平面ABC所成的角,即可求得结论.‎ 详解】‎ 如图,以AB,AC,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则0,,,‎ 平面ABC的一个法向量为0,‎ 设直线PN与平面ABC所成的角为 ‎,‎ 当时,,此时角最大.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法,考查了函数最值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎10.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推那么该数列的前50项和为  ‎ A. 1044 B. ‎1024 ‎C. 1045 D. 1025‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知数列分组,使每组第一项均为1,第一组:,第二组:,,第三组:,,,第k组:,,,,,根据等比数列前n项和公式,能求出该数列的前50项和.‎ ‎【详解】将已知数列分组,使每组第一项均为1,‎ 即:第一组:,‎ 第二组:,,‎ 第三组:,,,‎ 第k组:,,,,,‎ 根据等比数列前n项和公式,‎ 求得每项和分别为:,,,,,‎ 每项含有的项数为:1,2,3,,k,‎ 总共的项数为,‎ 当时,,‎ 故该数列的前50项和为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查类比推理,考查等比数列、分组求和等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11.设等差数列的前n项和为,若 ,则__________,的最小值为__________.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). -10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的基本量的运算求出公差,可分析出数列项的符号变化规律,即可求解.‎ ‎【详解】等差数列中,,得,公差,,‎ 由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前n项和的最值,属于中档题.‎ ‎12.已知双曲线C与椭圆的焦点相同,且双曲线C的一条渐近线方程为,则双曲线C的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程,转化求解即可.‎ ‎【详解】解:双曲线C与椭圆的焦点相同,即,直线,为双曲线C的一条渐近线,‎ 可得,又,可知,.‎ 则双曲线C的方程是:.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,双曲线法方程的求法,考查计算能力.‎ ‎13.已知抛物线C的顶点在原点,准线方程为,则抛物线C的标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可设抛物线C的方程为,,由已知准线方程为可解得p,则抛物线方程可求.‎ ‎【详解】由题意可设抛物线C的方程为,,‎ 准线方程,,解得.‎ 抛物线C标准方程为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法,是基础的计算题 ‎14.正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围 是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.‎ 则、、、、.∴、.∵点在线段上运动,∴,且.∴‎ ‎,∴,故答案为.‎ 考点:空间向量数量积的运算.‎ ‎15.已知,是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若是等边三角形,则这个椭圆的离心率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是正三角形,且直线AB与椭圆长轴垂直,得到是正三角形的高,在中,设,可得,所以,用勾股定理算出,得到椭圆的长轴及焦距,得到椭圆的离心率.‎ ‎【详解】是正三角形,‎ ‎,‎ 直线AB与椭圆长轴垂直,‎ 是正三角形的高,,‎ 中,设,,‎ ‎,‎ 因此,椭圆的长轴,焦距 椭圆的离心率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法,着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.‎ ‎16.如图所示,四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,,E是棱PB的中点,M是棱PC上的动点,当直线PA与直线EM所成的角为时,那么线段PM的长度是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系,易得各点坐标,设出点M的坐标,可得向量,代入异面直线所成角公式,可得点M的坐标,问题得解.‎ ‎【详解】‎ 如图建立空间直角坐标系,‎ 则0,,0,,2,,‎ ‎,‎ 是棱PB的中点,1,,‎ 设2-m,,则,‎ ‎∴‎ ‎=,‎ 解得,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了向量法求解异面直线所成角,要合理建立空间坐标系写出各点的坐标是关键,难度适中.‎ 三、解答题 ‎17.等差数列中,,.‎ Ⅰ求数列的通项公式;‎ Ⅱ若,分别是等比数列的第4项和第5项,试求数列的通项公式.‎ ‎【答案】Ⅰ;Ⅱ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ在等差数列中,由已知求得d,代入等差数列的通项公式即可;‎ Ⅱ在等比数列中,分别求得第4项和第5项,进一步求得公比,代入等比数列的通项公式得答案.‎ ‎【详解】Ⅰ在等差数列中,由,,‎ 得,‎ ‎;‎ Ⅱ在等比数列中,有,,‎ 公比,‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式,求出基本量是关键,是基础的计算题.‎ ‎18.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线C经过点.‎ Ⅰ求抛物线C的标准方程;‎ Ⅱ经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A,B两点,求线段AB的长.‎ ‎【答案】Ⅰ;Ⅱ15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ利用待定系数法求出p的值,写出抛物线C的标准方程;‎ Ⅱ写出抛物线C的焦点坐标和准线方程,写出过焦点且斜率为2的直线方程,与抛物线方程联立,消去y得关于x的方程,利用根与系数的关系求得的值,结合抛物线定义再求线段AB的长.‎ ‎【详解】Ⅰ由题意设抛物线C的标准方程为,‎ 又经过点,‎ 则,‎ 解得,‎ 抛物线C的标准方程为;‎ Ⅱ抛物线C的标准方程为,焦点,准线方程为;‎ 过焦点且斜率为2的直线l方程为,‎ 由,‎ 消去y,整理得,‎ 由根与系数的关系得,‎ 线段AB的长为.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题,将直线方程椭圆方程与联立构建二次方程,运用韦达定理和弦长公式是常用方法,注意焦点弦的公式的应用,是中档题.‎ ‎19.如图,在三棱锥中,底面ABC,点D,E分别为棱PA,PC的中点,M是线段AD的中点,N是线段BC的中点,,.‎ Ⅰ求证:平面BDE;‎ Ⅱ求直线MN到平面BDE的距离;‎ Ⅲ求二面角的大小.‎ ‎【答案】Ⅰ见解析;Ⅱ;Ⅲ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明平面BDE.‎ Ⅱ求出0,,利用向量法得直线MN到平面BDE的距离.‎ Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量,利用向量法能求出二面角的大小.‎ ‎【详解】Ⅰ在三棱锥中,底面ABC,点D,E分别为棱PA,PC的中点,‎ M是线段AD的中点,N是线段BC的中点,,‎ ‎.‎ 以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ ‎0,,0,,4,,‎ ‎2,,0,,0,,‎ ‎2,,‎ ‎2,,0,,‎ ‎2,,‎ 设平面BDE的法向量y,,‎ 则,取,得0,,‎ ‎,平面BDE,‎ 平面BDE.‎ Ⅱ,0,,‎ 直线MN到平面BDE的距离:‎ ‎.‎ Ⅲ平面BDE的法向量0,,‎ 平面DEP的法向量0,,‎ 设二面角的大小为,‎ 则.‎ ‎.‎ 二面角的大小为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查二面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎20.已知是等差数列,满足,,数列满足,,且是等比数列.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1),;(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用等差数列,等比数列的通项公式先求得公差和公比,即得到结论;(2)利用分组求和法,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由题意得 d=== 3.∴an=a1+(n﹣1)d=3n 设等比数列{bn﹣an}的公比为q,则 q3===8,∴q=2,‎ ‎∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1, ∴bn=3n+2n﹣1‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=3n+2n﹣1, ∵数列{3n}的前n项和为n(n+1),‎ 数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为;‎ 考点:1.等差数列性质的综合应用;2.等比数列性质的综合应用;3.数列求和.‎ ‎21.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为,离心率为.‎ Ⅰ求椭圆C的方程;‎ Ⅱ若过点的直线与椭圆C交于A,B两点,且P点平分线段AB,求直线AB的方程;‎ Ⅲ一条动直线l与椭圆C交于不同两点M,N,O为坐标原点,面积为求证:为定值.‎ ‎【答案】Ⅰ;Ⅱ;Ⅲ见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ设椭圆方程为,由题意可得b,运用离心率公式和a,b,c的关系可得b,进而得到椭圆方程;‎ Ⅱ设,,运用中点坐标公式和点满足椭圆方程,作差,由直线的斜率公式可得AB的斜率,进而得到所求直线方程;‎ Ⅲ设,,则,分别讨论直线MN的斜率是否存在,设出直线方程,联立椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,点到直线的距离公式,三角形的面积公式,化简整理即可得到所求定值.‎ ‎【详解】Ⅰ设椭圆方程为,‎ 即有,即,,即,‎ 由,可得,‎ 则椭圆方程为;‎ Ⅱ设,,点为AB的中点,可得 ‎,,‎ 由,,相减可得 ‎,‎ 可得,‎ 即有直线AB的方程为,化为;‎ Ⅲ设,,则,‎ 当直线l的斜率不存在时,M,N关于x轴对称,即,,‎ 由,的面积为,可得,‎ 即有,,可得;‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,‎ 代入椭圆方程,可得,‎ 可得,,‎ ‎,可得,‎ ‎,‎ O到直线l的距离为,‎ 则,‎ 化为,‎ 即有,‎ ‎,‎ 则,‎ 综上可得,为定值5.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线方程的求法和定值的证明,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎
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