【数学】2018届一轮复习人教A版笔记七立体几何学案

【数学】2018届一轮复习人教A版笔记七立体几何学案

笔记七　立体几何 易错点36　三视图识图出错 典例36　若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　　　　. ‎ ‎【错因分析】本题易出错的地方有两处,(1)由三视图还原几何体时出错;(2)在计算几何体的体积时出错.‎ ‎【正确解答】由三视图知该几何体为水平放置的三棱柱,底面为两直角边分别为1和的直角三角形,高为,故V=×1×=1.故填1.‎ 易错点37　错误理解异面直线所成的角 典例37　已知在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,点E,F分别是边BC和AD上的点,并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF=,求异面直线AB和CD所成的角.‎ ‎【错因分析】对异面直线所成的角的概念和范围不熟悉,造成计算结果出现错误.异面直线所成的角的范围是(0,90°].‎ ‎【正确解答】如图,在BD上取靠近点B的三等分点G,连接FG,GE,‎ 在△BCD中,可得,故有EG∥DC,‎ 同理在△ABD中,可得GF∥AB,‎ 所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成的角,‎ 在△BCD中,由GE∥CD,CD=3,,得EG=1,‎ 在△ABD中,由FG∥AB,AB=3,,得FG=2,‎ 在△EFG中,由EG=1,FG=2,EF=,‎ 由余弦定理可得 cos∠EGF==-,‎ 所以∠EGF=120°,‎ 所以异面直线AB和CD所成的角为60°.‎ 易错点38　线面位置关系定理使用不当 典例38　正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点.点P在对角线BD1上,且BP=BD1,给出下面四个命题:‎ ‎①A,P,M三点共线;‎ ‎②C1Q∥平面APC;‎ ‎③MN∥平面APC;‎ ‎④平面MNQ∥平面APC.‎ 其中的所有正确命题的序号为 (　　)‎ A.②③ B.①④‎ C.①② D.③④‎ ‎【错因分析】考生对空间线面关系模糊,定理不熟悉,未能推出MN在平面APC内而导致错误.证明有关线线,线面、面面平行或垂直时使用定理应注意找足条件,书写规范,推理严谨.‎ ‎【正确解答】①由已知条件易证△APB∽△D1MP,又由点P在对角线BD1上和AB∥D1C1可得A,P,M三点共线,故①正确;②由①知,C,P,N也三点共线,将平面APC延展,可知点M,N在平面APC上,又因为AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC,故②正确;③由②知,M,N都在平面APC上,故MN⊂平面APC,故③错误;④由③知MN⊂平面APC,由②知点Q在平面APC外面,所以平面MNQ与平面APC相交,故④错误.故选C.‎ 易错点39　线面角计算错误 典例39　如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点,若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成的角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎【错因分析】本题在求得平面DCEF的一个法向量及后,可得.考生就会误认为就是正确答案.其实是错误的,计算线面角我们容易出错的有以下三点:①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值;③不清楚线面角的范围.‎ ‎【正确解答】设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,-2).‎ 又∵=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,‎ ‎∴cos<>==-.‎ ‎∴MN与平面DCEF所成的角的正弦值为|cos<>|=.‎ 易错点40　二面角计算错误 典例40　如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°.‎ ‎(1)证明:M为侧棱SC的中点;‎ ‎(2)求二面角S-AM-B的余弦值.‎ ‎【错因分析】若两个平面的法向量分别为a,b,若两个平面所成的锐二面角为θ,则；若两个平面所成二面角为钝角,则.考生在解此类题时,应先求出两个平面的法向量及其夹角,然后视二面角的大小而定,避免出现二面角的余弦值的正负问题.‎ ‎【正确解答】(1)分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A(,0,0),B(,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).‎ 设M(0,a,b)(a>0,b>0),则=(0,-2,0),=(-,a-2,b),=(0,a,b-2),=(0,2,-2),‎ 由题得 解方程组得a=1,b=1即M(0,1,1),‎ 所以M是侧棱SC的中点.‎ ‎(2)由(1)得M(0,1,1),=(,-1,-1),‎ 又=(-,0,2),=(0,2,0),‎ 设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面SAM、平面MAB的法向量,‎ 则 即 分别令x1=x2=,则z1=1,y1=1,y2=0,z2=2,‎ 即n1=(,1,1),n2= (,0,2),‎ 所以cos=,‎ 又因为二面角S-AM-B为钝角,‎ 所以二面角S-AM-B的余弦值为-.‎ 二面角的平面角的取值范围是所以求二面角的余弦值时一定要讨论二面角是锐角还是钝角.‎