河北省沧州市2020届高三9月教学质量检测数学理试题

河北省沧州市2020届高三9月教学质量检测数学理试题

普通高中2019年9月高三教学质量监测 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项＝是符合题目要求的 ‎1.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，复数，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则A∩B=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求集合，再求.‎ ‎【详解】或，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.‎ ‎3.已知抛物线，则焦点到准线的距离是（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简抛物线的方程，求得，所以焦点到准线的距离，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，抛物线，即，解得，‎ 所以焦点到准线的距离是，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.设a＝log35，b＝log45，c＝2，则（ ）‎ A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. a＞b＞c D. a＞c＞b ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性以及不等式的性质可以比较，又结合指数函数的单调性可得，从而可得出答案．‎ ‎【详解】解：∵，∴>1，‎ 又，∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，通常先与中间值等进行比较，属于基础题．‎ ‎5.某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有种方法，当男生来自高二时，有种方法，并求概率.‎ ‎【详解】当两名男生来自高一年级，，当两名男生来自高二， ‎ ‎,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.‎ ‎6.函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.‎ ‎【详解】，函数是奇函数，排除，‎ 时，，时，，排除，‎ 当时，， ‎ 时，，排除，‎ 符合条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.‎ ‎7.《九章算术》是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容‎4升，较瘦的上4节共容‎3升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先用和表示已知条件，建立方程，最后代入前项和的计算方法.‎ ‎【详解】设首项，公差 ‎ ‎ 即 ， ， ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型.‎ ‎8.已知（1）（1+x）6的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中x2的系数为（ ）‎ A. 15 B. ‎21 ‎C. 30 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把所给的式子按照二项式定理展开，可得展开式中的系数．‎ ‎【详解】解：由题意得，∴，‎ ‎∴，‎ 故展开式中的系数为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎9.在以BC为斜边的直角△ABC中，，，则（ ）‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法和减法转化，然后根据数量积的运算公式计算.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量加减法，以及数量积的运算，意在考查向量转化和计算的问题，属于基础题型.‎ ‎10.在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在上取点，使得，连接，可得，得到异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，在中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.‎ ‎【详解】在长方体中，，点为棱上的点，且，如图所示，在上取点，使得，连接，可得，‎ 所以异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，‎ 设，‎ 又由在直角中，，所以，‎ 直角中，，所以，‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得,‎ 所以所以异面直线与所成角的正弦值，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎11.将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数f（x）的图象，则下列说法中正确的个数是（ ）‎ ‎①函数f（x）的最小正周期为2π；‎ ‎②函数f（x）的最大值为2；‎ ‎③函数f（x）图象的对称轴方程为；‎ ‎④设x1，x2为方程的两个不相等的根，则的最小值为.‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图象变换，得到函数 ，然后根据函数性质依次判断，得到正确结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到的函数是，所得各点向右平移个单位长度后得到的函数是，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍后得到的函数是，函数的最小正周期是，所以①正确；函数的最大值是，所以②不正确；令,所以③不正确；，解得，解得，解得，即 或 ，，则的最小值是，所以④不正确.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.‎ ‎12.已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF‎1F2，△BF‎1F2的内心，则|HG|的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面几何和内心的性质，可知的横坐标都是，得到轴，设直线的倾斜角为，和分别表示和，根据，将表示为的三角函数求最值.‎ ‎【详解】内切圆与各边相切于点，‎ 有的横坐标相等，，， ‎ ‎，‎ 在双曲线上，即是双曲线的顶点， ‎ 与双曲线相切于顶点（如图）‎ 的横坐标都是，‎ 设直线的倾斜角为 ，那么 , ‎ 中， ‎ ‎ ‎ 双曲线 ， ，‎ 可得 ，‎ ‎，‎ 的范围是 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定的横坐标都是，2.设倾斜角为，将表示为的三角函数.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求和，代入.‎ ‎【详解】，， ‎ ‎，‎ 切线方程为.‎ 故填：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.‎ ‎14.在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N（100，100），且的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件.‎ 参考数据，若，则，，.‎ ‎【答案】40000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据条件判断，可知，根据条件求得概率，最后再计算样本总量.‎ ‎【详解】‎ 可知 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 又（件）.‎ 故填：40000.‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于对称，对称轴两侧的概率均为.‎ ‎15.已知等比数列{an}，an＞0，n∈N*，且‎2a1+‎3a2＝33，，则a2020＝_____‎ ‎【答案】32020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】解：由题意设数列的公比为，‎ 由题意有，解得，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题．‎ ‎16.在四面体ABCD中，，，，二面角D-AC-B的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，和的中心，点是外接圆的圆心，点是外接圆的圆心，过点分别作平面和平面的垂线，交于点，‎ 在四边形中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积.‎ ‎【详解】由条件可知是等边三角形，‎ 取的中点，和的中心，‎ 过点分别作平面和平面的垂线，交于点，‎ ‎，，‎ 如图：‎ 由条件可知，， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 ‎（一）必考题：共60分 ‎17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎（2）若，求a的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据正弦定理边角互化公式，转化为，再根据两角和的正弦公式化简，最后求的值；（2）根据基本不等式求得，再代入余弦定理并化简为，最后求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）由已知及正弦定理，‎ 得， ‎ 即，且，‎ 所以. ‎ ‎（2）由，可得，‎ 则，解得，当且仅当时，等号成立 ‎ 由余弦定理可得， ‎ 所以a的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查三角函数恒等变形，以及正余弦定理的变形和应用，尤其记住公式，代入后转化为三角函数的问题，和余弦定理中常用变形：.‎ ‎18.某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次．按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为，，，.‎ ‎（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？‎ ‎（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）16种；（2）见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）每个同名次的对抗有2种结果，共有4个名次的对抗，所以有种结果；（2）由条件可知共5种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，所以一共有（种） ‎ ‎（2）X的可能取值分别为4，3，2，1，0，则 ‎ ‎ ‎； ‎ ‎ ； ‎ ‎； ‎ ‎ ‎ X的分布列为 X ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布列中的概率时，需分类准确，不要漏掉某一类.‎ ‎19.如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD的中点.现分别沿BE，EC将△ABE 和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2.‎ ‎（1）若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE ‎，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由.‎ ‎（2）求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)点G的轨迹是直线MN，见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别取和中点和，连接，，，根据线线平行可证明平面平面,则可判断点的轨迹；（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，代入公式求解.‎ ‎【详解】（1）点G的轨迹是直线MN.‎ 理由：如图，分别取BC和CE的中点N和M，连接DM，MN，ND，则MN//BE.‎ 又MN平面BEA，BE平面BEA，所以MN//平面BEA. ‎ 依题意有△ABE，△BCE，△ECD均为边长为2的正三角形，所以MD⊥CE.‎ 又平面ECD⊥平面BCE，则MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE，所以MD//平面BEA.‎ 所以平面NMD//平面BEA，则点G的轨迹是直线MN. ‎ ‎（2）如图，以点M为坐标原点，MB所在直线为x轴，MC所在直线为y轴，MD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，-1，0），D（0，0，），A，所以，. ‎ 设平面AED的法向量为，则 取，得. 取平面BCE的一个法向量为， ‎ 则， 所以平面AED与平面BCE所成锐二面角余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.‎ ‎20.已如椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k＇.若，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）△OPQ的面积为定值，且此定值为，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰直角三角形可知，，根据求解椭圆方程；（2）当与轴垂直时，设，代入和椭圆方程，得到面积，当与轴不垂直时，设直线l的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，并表示面积，得到面积是定值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2.依题查，有得 ‎，则，‎ 所以椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）证明：①当直线1与x轴垂直时，设直线l的方程为，，.‎ 由，且，解得，或，，所以. ‎ ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，，.‎ 联立直线l和椭圆C的方程，得整理得.‎ ‎，，. ‎ 由，则，即，‎ 所以，‎ 即，整理得，则. ‎ 又，‎ 点O到直线PQ距离为，所以.‎ 综上，△OPQ的面积为定值，且此定值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积定值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时，讨论函数的零点个数；‎ ‎(2)当时，，证明：恒成立.‎ ‎【答案】（1）有且只有一个零点；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，令，则.‎ 根据的正负，判断的单调性，求得，根据判断的单调性和求零点个数；（2）不等式转化为证明，，这个式子就是（1）证得的当时函数在上单调递增，且，即可证得不等式.‎ ‎【详解】(1)解：，令，则.‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以.‎ 当时，，即函数在上单调递增，且.‎ 所以此时有且只有一个零点.‎ ‎(2)证明：要证 即证，.‎ 由(1)知，当时，函数在在上单调递增，且，‎ 所以，恒成立，‎ 即不等式恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性和零点个数问题，意在考查转化与推理变形能力，属于中档题型，判断函数单调性的时候，先求函数的导数，如果此时确定不了导数的正负，需要拿出影响正负的那部分另设函数，并求其导数，再推理函数的单调性.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程，‎ ‎（2）设直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C的极坐标方程.‎ ‎（2）将代人曲线的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（1）将曲线的参数方程消去参数，得.‎ 将及代入上式，得.‎ ‎（2）依题意有.‎ 将代人曲线的极坐标方程，得.‎ 设，则.‎ 所以.‎ 因为，所以，则，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎23.函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值，‎ ‎（2）若，且，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案.‎ ‎（2）由（1）知，，则，利用基本不等式，即可求得的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值；‎ 当时，函数的最小值为，‎ 所以函数的最小值为，即.‎ ‎（2）由（1）知，，则，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当且时，即时取等号，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎