2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省南通市通州区、海安县高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．函数在[0，π]上的平均变化率为( )‎ A．1 B．2 C．π D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.‎ ‎【详解】‎ 平均变化率为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.‎ ‎2．命题：“，”的否定是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到否定结论而不是否定条件，所以AC选项错误，D选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3．已知直线l的方向向量＝(﹣1，1，2)，平面的法向量＝(，，﹣1)．若l∥，则实数的值为( )‎ A．﹣2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于线面平行，所以，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，即，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的向量表示，考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎4．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】分成或两种情况，求得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 当椭圆焦点在轴上时，，则，所以椭圆方程为.‎ 当椭圆焦点在轴上时，，则，所以椭圆方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆长轴、短轴关系.‎ ‎5．已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，代入选项，由此判断出最大的数.‎ ‎【详解】‎ 令，则，其中最大.‎ 由于为互不相等的正实数，所以所以.而，所以.而.所以最大.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.‎ ‎6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分， 光源放在焦点F处．己知灯口直径为60cm，光源距灯口的深度为40cm，则光源到反射镜的顶点的距离为( )‎ A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm ‎【答案】A ‎【解析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，由此求得光源到反射镜的顶点的距离.‎ ‎【详解】‎ 以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则抛物线上一点的坐标为，代入抛物线方程得，解得，所以光源到反射镜的顶点的距离为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题.‎ ‎7．直线能作为下列函数图象的切线的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对四个选项逐一分析函数的导函数的值能否为，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，，切线的斜率不可能为，故A选项错误.‎ 对于B选项，，切线的斜率不可能为，故B选项错误.‎ 对于C选项，，故切线的斜率可能为，故C选项正确.‎ 对于D选项，，切线的斜率不可能为，故D选项错误.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数导数的运算，考查切线的斜率，属于基础题.‎ ‎8．已知x，y均为正实数，且x＋y＝1，若的最小值为9，则正实数a的值为( )‎ A．2 B．4 C．8 D．80‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用“的代换”的方法，利用基本不等式，以 的最小值为9列式，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎9．设U是全集，A，B均是非空集合，则“存在非空集合C，使得CA，BC”是“AB＝”成立的( )‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】‎ 当“存在非空集合C，使得CA，BC”时，如，但，所以不能推出“AB＝”.‎ 当“AB＝”时，则的非空子集的补集，必包含，也即“存在非空集合C，使得CA，BC”.‎ 故“存在非空集合C，使得CA，BC”是“AB＝”成立的必要不充分条件.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查集合子集、补集等知识的运用，属于基础题.‎ ‎10．设等比数列共有2n＋1()项，奇数项之积为S，偶数项之积为T，若S，T{100，120}，则＝( )‎ A． B． C．20 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】分别求得奇数项之积，偶数项之积，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的首项为，公比为.则 ‎，‎ ‎，‎ 由于，所以，而为正整数，所以，，即，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列的通项公式，考查分析、思考与解决问题的能力，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二、多选题 ‎11．设，，是空间一个基底，则( )‎ A．若⊥，⊥，则⊥‎ B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使 D．则＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底 ‎【答案】BCD ‎【解析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.‎ 对于B选项，根据基底的概念可知，，两两共面，但，，不可能共面.‎ 对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.‎ 对于D选项，由于，，是空间一个基底，所以，，不共面.假设＋，＋，＋共面，设，化简得，即，所以，，共面，这与已知矛盾，所以＋，＋，＋‎ 不共面，可以作为基底.所以D选项正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量基本定理，考查基底的概念，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．已知双曲线C：，则( )‎ A．双曲线C的离心率等于半焦距的长 B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线 C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为 D．直线y＝kx＋b(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，准线方程为.‎ 对于A选项，双曲线的离心率为，所以A选项正确.‎ 对于B选项，双曲线的渐近线为，与曲线的渐近线不相同，故B选项错误.‎ 对于C选项，双曲线的一条准线方程为代入，解得，所以弦长为，所以C选项正确.‎ 对于D选项，直线与双曲线的公共点个数可能为，故D选项正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.‎ ‎13．设等差数列的前n项和为，公差为d．已知，，，则( )‎ A． B．‎ C．时，n的最小值为13 D．数列中最小项为第7项 ‎【答案】ABCD ‎【解析】将已知条件化简，根据判断出.由此判断A是否正确.‎ 利用将已知条件转化为的形式列不等式组，解不等式组求得的取值范围.由此判断B是否正确.‎ 利用，判断出时，的最小值，由此判断C是否正确.‎ 根据数列中项的符号和分子分母的变化规律，判断D是否正确.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，而，所以，A选项正确.且，解得，B选项正确.由于，而，所以时，的最小值为.由上述分析可知，时，，时，；当时，，当时，.所以当时，，，且当时，为递增数列，为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项.‎ 故选：ABCD ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查数列的单调性，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.‎ 三、填空题 ‎14．已知函数，是函数的导函数．若，则实数a的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，由得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的计算，属于基础题.‎ ‎15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3m，则该椭圆的离心率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意求得，由此求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，所以椭圆离心率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆离心率的计算，属于基础题.‎ ‎16．今年10月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km/h．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24m/s时加速度为_______(m/s2)．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得时对应的时间，然后利用导数求得此时的加速度.‎ ‎【详解】‎ 当时，，解得（负根舍去）.，当时，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的计算，考查数学在实际生活中的应用，属于基础题.‎ ‎17．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°．△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，且AC＝1．将△ABD沿边AB折叠后，‎ ‎（1）若二面角C—AB—D为直二面角，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为_______；‎ ‎（2）若二面角C—AB—D的大小为150°，则线段CD的长为_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】作出二面角的平面角.‎ ‎（1）当二面角为直角时，判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得线面角的正切值.‎ ‎（2）当二面角大小为时，结合余弦定理进行解三角形，由此求得的长.‎ ‎【详解】‎ 依题意ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°．△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，且AC＝1．所以，.设分别是的中点，所以,‎ ‎，所以是二面角的平面角，.‎ ‎（1）当二面角为直角时，由于，根据面面垂直的性质定理可知平面，所以是直线与平面所成的角.在中.‎ ‎（2）当二面角大小为时，即，在三角形中，由余弦定理得.在三角形和三角形中，，由余弦定理得，，.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据二面角求线面角、线段长度，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查余弦定理，属于中档题.‎ 四、解答题 ‎18．已知命题p：方程表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x 的不等式x2﹣mx≤2m2(m＞0)的解集中恰有两个正整数解．‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）判断p是q成立什么条件?并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）命题是命题成立的必要不充分条件，理由见解析.‎ ‎【解析】（1）利用焦点在轴上的椭圆的条件，求得为真命题时，的取值范围.‎ ‎（2）求得命题中的取值范围，由此判断是成立的必要不充分条件.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于方程表示焦点在y轴的椭圆，所以，记得.所以当为真命题时，.‎ ‎（2）不等式，即，由于，所以不等式解得，由于不等式的解集中恰有两个正整数解，所以，解得.所以当为证明题时，.所以命题是命题成立的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的焦点与标准方程，考查一元二次不等式的解法，考查充分、必要条件的段，属于基础题.‎ ‎19．已知数列满足：，前n项和，．‎ ‎（1）求实数p的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）在等比数列中，，．若的前n项和为，求证：数列为等比数列．‎ ‎【答案】（1）.（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）利用求得的值.利用求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用基本元的思想求得等比数列的首项和公比，由此求得，进而证得是等比数列.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，所以.所以.当时，.也符合上式，所以.‎ ‎（2）设等比数列的公比为，由，得①，由，得②，联立①②解得，所以，所以.所以当时，，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知求，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等比数列前项和公式，考查等比数列的证明，属于中档题.‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点F在y轴上，其准线与双曲线的下准线重合．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设A(，)(＞0)是抛物线上一点，且AF＝，B是抛物线的准线与y轴的交点．过点A作抛物线的切线l，过点B作l的平行线l′，直线l′与抛物线交于点M，N，求△AMN的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据双曲线的下准线求得抛物线的准线方程，由此求得抛物线的标准方程.‎ ‎（2）根据抛物线的定义求得点的坐标，由此求得切线的方程，求得点的坐标，进而求得直线的方程，由此求得弦长，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，进而求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）双曲线的下准线方程为.设抛物线的标准方程为，由题意，，所以，所以抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）由，得，所以.由即，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，所以直线的方程为，即.因为抛物线的准线与轴的交点的坐标为，所以直线的平行线的方程为，由消去得.设的横坐标分别为，则，所以.点到直线的距离为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的准线方程，考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积的求法，属于中档题.‎ ‎21．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N为AD的中点．‎ ‎（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；‎ ‎（2）点M在线段PC上且满足，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】以为空间坐标原点建立空间直角坐标系.‎ ‎（1）利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎（2）由求得，结合平面的法向量，利用直线与平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为平面，平面，所以，又因为，所以两两垂直.以为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.由，为的中点，得，.所以，设异面直线与所称的角的大小为，则.所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）设平面的法向量，因为，由得，取，得，所以.‎ 因为，所以，所以.依题意 ‎，化简得，解得或，由于在线段上，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线线角的求法，考查根据线面角求参数值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22．设等差数列的公差d大于0，前n项的和为．已知＝18，，，成等比数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的，都有k(＋18)≥恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）设()．若s，t，s＞t＞1，且，求s，t的值．‎ ‎【答案】（2）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）结合等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的通项公式.‎ ‎（2）由（1）求得，将不等式分离常数，利用换元法，结合基本不等式，求得的取值范围.‎ ‎（3）求得的表达式，利用判断出数列的项的大小关系，由此确定的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于成等比数列，所以，依题意有 ‎，由于，故方程组解得，所以.即的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，由于对任意的，都有恒成立，所以对任意的恒成立.‎ 设，令，则.因为，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，即的最大值为，此时，所以实数的取值范围是.‎ ‎（3）由条件，，则，所以.因为，所以.即符合条件的的值分别为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）己知A，B分别为椭圆E的左、右顶点，过x轴上一点P（异于原点）作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C，D两点，且直线AC与BD相交于点Q．①若k＝1，求线段CD中点横坐标的取值范围；②判断是否为定值，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②为定值，理由见解析 ‎【解析】（1）根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）①当时，设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列不等式求得的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得中点的横坐标，根据的取值范围，求得中点的横坐标的取值范围.‎ ‎②将两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线的方程为，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理.利用直线和直线的方程进行化简，求得点的横坐标，由此求得 ‎【详解】‎ ‎（1）由于椭圆离心率为，且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①当时，设直线的方程为，，中点坐标为，由，得.所以.由，解得.故中点横坐标为，当时，即的中点为原点时，与重合，不满足条件.所以线段中点横坐标的取值范围是.‎ ‎②为定值，理由如下：因为分别为椭圆的左右顶点，所以，因为在椭圆上，所以，所以，所以.‎ 设直线的方程为，则.由得，所以，，也是要，又直线与直线的方程分别为与，两方程相除得，解得，所以为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的离心率和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆交点坐标，考查直线和直线交点坐标，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎