2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题(理科)(a卷)(解析版)

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2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题(理科)(a卷)(解析版)

‎2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期中数学试卷(理科)(A卷)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)若a>b,则下列不等式中正确的是(  )‎ A.< B.+a>+b C.ac2>bc2 D.a2+b2≥2ab ‎2.(5分)不等式(x+)(2﹣3x)≤0的解集为(  )‎ A.{x|x≥或x≤﹣} B.{x|﹣≤x≤} C.{x|x>或x<﹣} D.{x|﹣<x<}‎ ‎3.(5分)等差数列{an}中,a2+a4+a9+a11=36,则a5+a8的值为(  )‎ A.12 B.18 C.9 D.20‎ ‎4.(5分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示三角形△ABC的面积,且满足S=(a2+c2﹣b2),则∠B=(  )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎5.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1,bn=an+2n﹣1,则数列{bn}的前n项和为(  )‎ A.2n﹣1+n2﹣1 B.2n﹣1+2n2﹣1 C.2n+n2﹣1 D.2n﹣1+n2+1‎ ‎6.(5分)不等式(x﹣)≥0的解集为(  )‎ A.[,+∞) B.[,2] C.[3,+∞) D.[,2]∪[3,+∞)‎ ‎7.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=,∠A=30°,则c等于(  )‎ A.2 B. C.2或 D.以上都不对 ‎8.(5分)在数列{an}中,a1=2,an=2n•an﹣1(n≥2),则an=(  )‎ A.2 B.2n+1﹣2 C.2 D.2n ‎9.(5分)在60米高的山顶上,测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°,则河流的宽度为(  )‎ A.240米 B.120()米 C.180(﹣1)米 D.30(+1)米 ‎10.(5分)已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=x+2y的最小值为2,则m=(  )‎ A.2 B.1 C. D.﹣2‎ ‎11.(5分)设x∈R,对于使2x﹣x2≤M恒成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做2x﹣x2的上确界.若a,b∈R*,且a+b=1.则﹣﹣的上确界为(  )‎ A.﹣5 B.﹣ C. D.‎ ‎12.(5分)在△ABC中,有正弦定理:=定值,这个定值就是△ABC的外接圆的直径.如图2所示,△DEF中,已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合),对于M的每一个位置,记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ,那么(  )‎ A.λ先变小再变大 B.仅当M为线段EF的中点时,λ取得最大值 C.λ是一个定值 D.λ先变大再变小 ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)已知数列{an},{bn},an=,bn=an•an+1,则b1+b2+…+b17=   .‎ ‎14.(5分)已知关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1,x2,且x1<1<x2‎ ‎,求实数k的取值范围   .‎ ‎15.(5分)《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把10磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小1份为   磅.‎ ‎16.(5分)如图,在△ABC中,线段AB上的点D满足AB=3AD=3AC,CB=3CD,则=   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.(10分)在△ABC中,AB=6,B=,D是BC边上一点,且AD=3.‎ ‎(Ⅰ)求角∠ADC的大小;‎ ‎(Ⅱ)若CD=2,求AC的长及△ACD的面积.‎ ‎18.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a1+a2=16,S5=40.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=|13﹣an|,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎19.(12分)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,不等式对一切实数x恒成立.‎ ‎(1)求cosC的取值范围;‎ ‎(2)当∠C取最大值,且△ABC的周长为9时,求△ABC面积的最大值,并指出面积取最大值时△ABC的形状.‎ ‎20.(12分)已知关于x的不等式x2﹣mx+3<0的解集为{x|n<x<3}.‎ ‎(Ⅰ)求m,n的值;‎ ‎(Ⅱ)当a<1时,解关于x的不等式ax2﹣2(a+n)x+m>0.‎ ‎21.(12分)某数学建模兴趣小组测量某移动信号塔AE的高度H(单位:m),如图所示,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.‎ ‎(Ⅰ)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请推测H的值;‎ ‎(Ⅱ)该小组对测得的多组数据分析后,发现适当调整标杆到信号塔的距离d(单位:m),使α﹣β较大时,可以提高信号塔测量精确度.若信号塔的实际高度为125m,试问d为多少时,α﹣β最大?‎ ‎22.(12分)已知数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设bn=﹣2log2an﹣2,(n∈N*),数列{cn}满足cn=an•bn.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Tn;‎ ‎(Ⅲ)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N*,不等式Tn≥λ+2Sn﹣1恒成立,求λ的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年山东省菏泽市高二(上)期中数学试卷(理科)(A卷)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)若a>b,则下列不等式中正确的是(  )‎ A.< B.+a>+b C.ac2>bc2 D.a2+b2≥2ab ‎【分析】举出反例a=1,b=﹣1,可判断A,B;举出反例c=0,可判断C;根据完全平方公式及不等式的基本性质,可判断判断D;‎ ‎【解答】解:当a=1,b=﹣1时,<不成立,故A不成立; ‎ 当a=1,b=﹣1时,+a>+b不成立,故B 不成立; ‎ 当c=0时,ac2>bc2不成立,故C不成立; ‎ a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0恒成立,故a2+b2≥2ab,故D成立,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)不等式(x+)(2﹣3x)≤0的解集为(  )‎ A.{x|x≥或x≤﹣} B.{x|﹣≤x≤} C.{x|x>或x<﹣} D.{x|﹣<x<}‎ ‎【分析】根据题意,将原不等式变形可得(x+)(3x﹣2)≥0,由一元二次不等式的解法计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,(x+)(2﹣3x)≤0⇒(x+)(3x﹣2)≥0,‎ 解可得x≥或x≤﹣;‎ 即不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣};‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查不等式的解法,注意将原不等式变形.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)等差数列{an}中,a2+a4+a9+a11=36,则a5+a8的值为(  )‎ A.12 B.18 C.9 D.20‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a5+a8=a2+a11=a4+a9,代入计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}中,a2+a4+a9+a11=36,‎ 由a5+a8=a2+a11=a4+a9,‎ 可得2(a5+a8)=36,‎ 即有a5+a8=18.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示三角形△ABC的面积,且满足S=(a2+c2﹣b2),则∠B=(  )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【分析】运用三角形面积公式和余弦定理,化简可得sinB﹣cosB=0,即有tanB=,即可得到所求角.‎ ‎【解答】解:∵S=(a2+c2﹣b2)=acsinB,‎ ‎∴×2accosB=acsinB,‎ 解得:sinB﹣cosB=0,‎ 可得:tanB==,‎ ‎∵B∈(0,π),‎ ‎∴B=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,考查了转化思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1,bn=an+2n﹣1,则数列{bn}的前n项和为(  )‎ A.2n﹣1+n2﹣1 B.2n﹣1+2n2﹣1 C.2n+n2﹣1 D.2n﹣1+n2+1‎ ‎【分析】利用等差数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵bn=an+2n﹣1,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和=Sn+1+3+…+(2n﹣1)‎ ‎=2n﹣1+‎ ‎=2n﹣1+n2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)不等式(x﹣)≥0的解集为(  )‎ A.[,+∞) B.[,2] C.[3,+∞) D.[,2]∪[3,+∞)‎ ‎【分析】根据题意,分析可得(x﹣)≥0⇒,解可得x的取值范围,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,(x﹣)≥0⇒,‎ 解可得≤x≤2或x≥3,‎ 即不等式的解集为[,2]∪[3,+∞);‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查其他不等式的解法,注意根式的范围以及对x的取值范围的限制.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=,∠A=30°,则c等于(  )‎ A.2 B. C.2或 D.以上都不对 ‎【分析】由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,代入解出即可得出.‎ ‎【解答】解:由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,a=,b=,∠A=30°,‎ ‎∴,‎ 化为:c2﹣3c+10=0,‎ 解得c=或2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了解三角形、余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)在数列{an}中,a1=2,an=2n•an﹣1(n≥2),则an=(  )‎ A.2 B.2n+1﹣2 C.2 D.2n ‎【分析】根据题意,将an=2n•an﹣1变形可得=2n,由累乘法分析可得an=××…××a1=(2n)×(2n﹣1)×…×22×2,计算即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,若an=2n•an﹣1,即=2n,‎ 则an=××…××a1=(2n)×(2n﹣1)×…×22×2=;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】‎ 本题考查数列的递推公式,涉及数列通项公式的求法,注意用累乘法分析.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)在60米高的山顶上,测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°,则河流的宽度为(  )‎ A.240米 B.120()米 C.180(﹣1)米 D.30(+1)米 ‎【分析】利用角的三角函数定义求出CD,BD,从而可得BC.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 过A作CB延长线的高,垂足为D,‎ 由题意可知∠ABD=75°,∠ACB=30°,AD=60,‎ ‎∴BD==60(2﹣),‎ CD==60,‎ ‎∴BC=CD﹣BD=120(﹣1).‎ 故选:B ‎【点评】本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=x+2y的最小值为2,则m=(  )‎ A.2 B.1 C. D.﹣2‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由变量x,y满足约束条件,作出可行域如图,‎ 化目标函数z=x+2y为y=﹣+,由图可知,当直线y=﹣+过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为2.‎ 由,解得A(m,m),A代入z=x+2y,可得m+2m=2,解得m=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)设x∈R,对于使2x﹣x2≤M恒成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做2x﹣x2的上确界.若a,b∈R*,且a+b=1.则﹣﹣的上确界为(  )‎ A.﹣5 B.﹣ C. D.‎ ‎【分析】根据新定义可知“上确界”就是最小值M的意思,利用“乘1法”结合基本不等式即可求解;‎ ‎【解答】解:a,b∈R*,且a+b=1.‎ 则﹣﹣=(a+b)(﹣﹣)=≤.‎ ‎∴得M的最小值.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了新定义的理解和“乘1法”基本不等式性质的运用.属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)在△ABC中,有正弦定理:=定值,这个定值就是△ABC的外接圆的直径.如图2所示,△DEF中,已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合),对于M的每一个位置,记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ,那么(  )‎ A.λ先变小再变大 B.仅当M为线段EF的中点时,λ取得最大值 C.λ是一个定值 D.λ先变大再变小 ‎【分析】设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半径为R2,由题意=λ,由正弦定理得R1=,R2=,结合DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF,得λ=1,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半径为R2,‎ 由题意=λ,‎ 点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合),‎ 对于M的每一个位置,‎ 由正弦定理得R1=,R2=,‎ 又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF,‎ ‎∴R1=R2,∴λ=1.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的应用,考查三角形的外接圆、正弦定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)已知数列{an},{bn},an=,bn=an•an+1,则b1+b2+…+b17=  .‎ ‎【分析】利用数列的通项公式,化简bn=an•an+1,利用裂项相消法求和即可.‎ ‎【解答】解:数列{an},{bn},an=,‎ bn=an•an+1==,‎ 则b1+b2+…+b17===.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1,x2,且x1<1<x2,求实数k的取值范围 (﹣)∪(1+,+∞) .‎ ‎【分析】利用方程的根与函数的零点的关系列出不等式求解即可.‎ ‎【解答】解:关于x的方程x2+2kx﹣k2=0有两根x1,x2,且x1<1<x2,‎ 可得:1+2k﹣k2<0,即k2﹣2k﹣1>0,解得k或k.‎ 实数k的取值范围:(﹣)∪(1+,+∞).‎ ‎【点评】本题考查零点判定定理的应用,不等式的解法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)《莱茵德纸草书》Rhind ‎ Papyrus是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把10磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小1份为  磅.‎ ‎【分析】设此等差数列为{an},公差为d,可得d=10,(a3+a4+a5)×=a1+a2,解出即可得出.‎ ‎【解答】解:设此等差数列为{an},公差为d,‎ 则d=10,(a3+a4+a5)×=a1+a2,即=2a1+d.‎ 解得a1=,d=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)如图,在△ABC中,线段AB上的点D满足AB=3AD=3AC,CB=3CD,则=  .‎ ‎【分析】设AC=x,CD=y,则AB=3x,BC=3y;利用余弦定理求出x2、y2的关系,再用二倍角化简,利用正弦、余弦定理即可求出结果.‎ ‎【解答】解:设AC=AD=x,CD=y,则AB=3x,CB=3y,BD=2x;‎ ‎∴cosA==,‎ 化简得x2=y2;‎ ‎∴==2••===,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题,数形结合思想,是综合题,难度中档.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.(10分)在△ABC中,AB=6,B=,D是BC边上一点,且AD=3.‎ ‎(Ⅰ)求角∠ADC的大小;‎ ‎(Ⅱ)若CD=2,求AC的长及△ACD的面积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)在△ABC中,由已知利用正弦定理即可计算得解sin∠ADB的值,即可.‎ ‎(Ⅱ) 在△ACD中,由余弦定理可求AC的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中由正弦定理得.‎ ‎∴,‎ 又∵∠ADB∈(0,π),∴‎ ‎∵AD>AB,∴∠B>∠ADB,‎ ‎∴..‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC ‎∴‎ ‎△ACD的面积S==9‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a1+a2=16,S5=40.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=|13﹣an|,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.‎ ‎(II)bn=|13﹣an|=,设数列{an}的前n项和为Sn==﹣n2+10n.对n分类讨论即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a2=16,S5=40.∴2a1+d=16,d=40,‎ 解得a1=9,d=﹣2.‎ ‎∴an=9﹣2(n﹣1)=11﹣2n.‎ ‎(2)bn=|13﹣an|=,‎ 设数列{an}的前n项和为Sn==﹣n2+10n.‎ 当n≤5时,Tn=Sn=﹣n2+10n.‎ 当n≥6时,Tn=2S5﹣Sn=50+n2﹣10n.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,不等式对一切实数x恒成立.‎ ‎(1)求cosC的取值范围;‎ ‎(2)当∠C取最大值,且△ABC的周长为9时,求△ABC面积的最大值,并指出面积取最大值时△ABC的形状.‎ ‎【分析】(1)由已知条件及二次函数的性质得cosC>0,且2cos2C+3cosC﹣2≥0,由此解得cosC的值. ‎ ‎(2)根据角C的范围可得当∠C取最大值时∠C=,由余弦定理和基本不等式求得ab≤9,从而得到△ABC面积的最大值,根据不等式中等号成立条件判断△ABC的形状.‎ ‎【解答】解:(1)当cosC=0时,sinC=1,‎ 原不等式即为对一切实数x不恒成立,‎ 当cosC≠0时,应有,‎ ‎∴,‎ 解得或cosC≤﹣2(舍去),‎ ‎∵0<C<π,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵0<C<π,,‎ ‎∴∠C的最大值为.‎ 此时,‎ ‎∴,‎ ‎∴ab≤9(当且仅当a=b时取等号).‎ ‎∴(当且仅当a=b时取等号).‎ 此时,△ABC面积的最大值为,△ABC为等边三角形.‎ ‎【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,一元二次不等式的解法,余弦定理、基本不等式的得应用,考查了转化思想,求出角C的最大值是解题的关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知关于x的不等式x2﹣mx+3<0的解集为{x|n<x<3}.‎ ‎(Ⅰ)求m,n的值;‎ ‎(Ⅱ)当a<1时,解关于x的不等式ax2﹣2(a+n)x+m>0.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据韦达定理求出n,m的值即可;‎ ‎(Ⅱ)通过讨论a的范围,求出不等式的解集即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得n,3是方程x2﹣mx+3=0的两个实根,‎ ‎∴,解得,‎ 故m=4,n=1;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得不等式ax2﹣2(a+n)x+m>0可化为:‎ ax2﹣2(a+1)x+4>0,即(ax﹣2)(x﹣2)>0,‎ ‎①a=0时,不等式的解集是{x|x<2},‎ ‎②a<0时,不等式为(x﹣)(x﹣2)<0,∵<2,‎ 故不等式的解集是{x|<x<2},‎ ‎③0<a<1时,不等式为(x﹣)(x﹣2)>0,∵>2,‎ 故不等式的解集是{x|x>或x<2},‎ 综上,a=0时,不等式的解集是{x|x<2},‎ a<0时,不等式的解集是{x|<x<2},‎ ‎0<a<1时,不等式的解集是{x|x>或x<2}.‎ ‎【点评】本题考查了解二次不等式问题,考查韦达定理以及分类讨论思想,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)某数学建模兴趣小组测量某移动信号塔AE的高度H(单位:m),如图所示,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.‎ ‎(Ⅰ)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请推测H的值;‎ ‎(Ⅱ)该小组对测得的多组数据分析后,发现适当调整标杆到信号塔的距离d(单位:m),使α﹣β较大时,可以提高信号塔测量精确度.若信号塔的实际高度为125m,试问d为多少时,α﹣β最大?‎ ‎【分析】(Ⅰ)在Rt△ABE中可得AD=,在Rt△ADE中可得AB=,BD=,再根据AD﹣AB=DB即可得到H.‎ ‎(Ⅱ)先用d分别表示出tanα和tanβ,再根据两角和公式,求得tan(α﹣β),再根据均值不等式可知当d=55时,tan(α﹣β)有最大值即α﹣β有最大值,得到答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)=tanβ⇒AD=,同理:AB=,BD=.‎ AD﹣AB=DB,故得﹣=,‎ 得:H===124.‎ 因此,算出的电视塔的高度H是124m.‎ ‎(Ⅱ)由题设知得tanα=,由AB=AD﹣BD=﹣,‎ 得tanβ=,‎ tan(α﹣β)==≤‎ 当且仅当d==,即d===55时,取等号,‎ 故当d=55时,tan(α﹣β)最大.‎ 因为0<β<α<,则0<α﹣β<,所以当d=55时,α﹣β最大.‎ 故所求的d是55m.‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用.当涉及最值问题时,可考虑用不等式的性质来解决.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)已知数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设bn=﹣2log2an﹣2,(n∈N*),数列{cn}满足cn=an•bn.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Tn;‎ ‎(Ⅲ)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N*,不等式Tn≥λ+2Sn﹣1恒成立,求λ的取值范围.‎ ‎【分析】(I)数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,利用通项公式即可得出an.代入可得bn=﹣2log2an﹣2.‎ ‎(II)由(I)可得:cn=an•bn=.利用错位相减法可得Tn.‎ ‎(III)利用等比数列的求和公式可得数列{an}的前n项和为Sn,代入不等式Tn≥λ+2Sn﹣1,利用数列的单调性即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,∴an==.‎ ‎∴bn=﹣2log2an﹣2=﹣2×(﹣n﹣1)﹣2=2n;‎ ‎(II)由(I)可得:cn=an•bn=.‎ ‎∴Tn=+…+,‎ ‎∴=+…+(n﹣1)×+n×,‎ 相减可得:=+…+﹣n×=,‎ 可得:Tn=2﹣.‎ ‎(Ⅲ)数列{an}的前n项和为Sn==,‎ 对任意n∈N*,不等式Tn≥λ+2Sn﹣1恒成立,即2﹣≥+1﹣﹣1,化为:2﹣≥,‎ 令f(n)=,可得f(n+1)﹣f(n)=<0,∴f(n)关于n单调递减,‎ ‎∴≥λ,解得λ≤2.‎ ‎∴λ的取值范围为(﹣∞,2].‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法、数列的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎
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