2014届高三理科数学一轮复习试题选编18:空间的平行与垂直关系(教师版)

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2014届高三理科数学一轮复习试题选编18:空间的平行与垂直关系(教师版)

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编18:空间的平行与垂直关系 一、选择题 .(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )平面平面的一个充分条件是(  )‎ A.存在一条直线 ‎ B.存在一条直线 C.存在两条平行直线 D.存在两条异面直线 ‎【答案】D .(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是 (  )‎ A.若,则 ‎ B.若,则 ‎ C.若,则⊥ ‎ D.若,则 ‎【答案】C 解:C中,当,所以,或当,所以⊥,所以正确。‎ .(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知,B正确. ‎ .(2013届北京大兴区一模理科)已知平面,直线,下列命题中不正确的是 (  )‎ A.若,,则∥  ‎ B.若∥,,则 C.若∥,,则∥ ‎ D.若,,则.‎ ‎【答案】C .(2013届北京市高考压轴卷理科数学)已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,则;②若,且则;③若,则;④若,,且,则.其中正确命题的序号是 (  )‎ A.①④ B.②③ C.②④ D.①③‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】①当时,不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④,,且,也可能相交,所以错误.所以选 B. ‎ 二、填空题 .(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:‎ ‎① 若 则 ②若,,则 ‎③ 若,则 ④若,则 其中所有真命题的序号是_____‎ ‎【答案】 ①③ ‎ 三、解答题 .(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,,.点分别为侧棱上的点,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)当时,求异面直线与所成角的余弦值; ‎ ‎(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.‎ P D A B C F E ‎【答案】证明:(Ⅰ)由已知,, ‎ 所以 . ‎ 因为,所以. ‎ 而平面,平面, ‎ 所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)因为平面平面, ‎ 平面平面,且, ‎ 所以平面. ‎ 所以,. ‎ 又因为, ‎ 所以两两垂直 ‎ 如图所示,建立空间直角坐标系,P D A B C F E x yx zx ‎ 因为,, ‎ 所以 ‎ ‎. ‎ 当时,为中点, ‎ 所以, ‎ 所以. ‎ 设异面直线与所成的角为, ‎ 所以, ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 ‎ ‎(Ⅲ)设,则. ‎ 由已知,所以, ‎ 所以 所以. ‎ 设平面的一个法向量为,因为, ‎ 所以 即 ‎ 令,得. ‎ 设平面的一个法向量为,因为, ‎ 所以 即 ‎ 令,则. ‎ 若平面平面,则,所以,解得. ‎ 所以当时,平面平面 ‎ .(2013北京西城高三二模数学理科)如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示. ‎ ‎(Ⅰ)证明:平面; ‎ ‎(Ⅱ)证明:∥平面; ‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由. ‎ ‎【答案】【方法一】 ‎ ‎(Ⅰ)证明:由俯视图可得,, ‎ 所以 ‎ 又因为 平面, ‎ 所以 , ‎ 所以 平面 ‎ ‎(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结, ‎ 由左视图知 ,所以 ∥, ‎ 在△中,易得,所以 .又 , 所以, . ‎ 又因为 ∥,,所以 ∥,. ‎ 所以四边形为平行四边形,所以 ∥ ‎ 因为 平面,平面, ‎ 所以 直线∥平面 ‎ ‎(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下: ‎ 因为 平面,,建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 所以 . ‎ 设 ,其中 ‎ 所以,. ‎ 要使与所成角的余弦值为,则有 , ‎ 所以 ,解得 或,均适合 ‎ 故点位于点处,此时;或中点处,此时, ‎ 有与所成角的余弦值为 ‎ ‎【方法二】(Ⅰ)证明:因为平面,,建立如图所示 的空间直角坐标系. ‎ ‎ ‎ 在△中,易得,所以 , ‎ 因为 , 所以, . ‎ 由俯视图和左视图可得: ‎ ‎. ‎ 所以 ,. ‎ 因为 ,所以 ‎ 又因为 平面,所以 , ‎ 所以 平面 ‎ ‎(Ⅱ)证明:设平面的法向量为,则有 ‎ 因为 ,, ‎ 所以 取,得 ‎ 因为 ,所以 ‎ 因为 平面, 所以 直线∥平面 ‎ ‎(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下: ‎ 设 ,其中 ‎ 所以 ,. ‎ 要使与所成角的余弦值为,则有 , ‎ 所以 ,解得或,均适合 ‎ 故点位于点处,此时;或中点处,此时, ‎ 有与所成角的余弦值为 ‎ .(北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满分14分)在四棱锥中,底面是正方形,为的中点. (Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:;‎ ‎(Ⅲ)若在线段上是否存在点,使?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(I)连接. ‎ 由是正方形可知,点为中点.‎ ‎ 又为的中点,‎ 所以∥………………….2分 又 ‎ 所以∥平面………….4分 ‎(II) 证明:由 所以 由是正方形可知, ‎ 又 所以………………………………..8分 ‎ 又 所以…………………………………………..9分 ‎(III)解法一:‎ 在线段上存在点,使. 理由如下:‎ 如图,取中点,连接.‎ 在四棱锥中,,‎ 所以.…………………………………………………………………..11分 由(II)可知,而 所以,‎ 因为 所以…………………………………………………………. 13分 故在线段上存在点,使.‎ 由为中点,得…………………………………………… 14分 解法二:‎ 由且底面是正方形,如图,‎ 建立空间直角坐标系 由已知设,‎ 则 设为线段上一点,且,则 ‎…………………………..12分 由题意,若线段上存在点,使,则,.‎ 所以,,‎ 故在线段上存在点,使,且…………………… 14分 .(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形.‎ ‎(Ⅰ)求此几何体的体积V的大小;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)试探究在棱DE上是否存在点Q,使得 AQBQ,若存在,求出DQ的长,不存在说明理由.‎ 侧视图 俯视图 正视图 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎【答案】解:(1)由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ,BD=1,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 即该几何体的体积V为.----------------------------------4分 ‎(2)以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.‎ 则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)‎ ‎∴,∴ ‎ ‎∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为.----------------------------------4分 ‎(3) ∵点Q在棱DE上,∴存在使得 同理 ‎,即 ‎∴,满足题设的点Q存在,DQ的长为1 ----------------------------------14分 .(北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小题满分13分) 在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明:底面为矩形 ‎ ‎ …………………………………4分 ‎(2)证明:取,连接 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 是平行四边形,‎ ‎//,,‎ ‎// ……………………………………8分 ‎(3) ,以为坐标原点,以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 假设在线段上存在一点,使得平面平面,‎ 设,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎ , , ‎ 令 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 令 ‎ ‎ ,解得 ‎ 线段上存在点,且当时,使得平面平面. ……………13分 .(2013届北京海滨一模理科)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】证明:(I) 因为是正三角形,是中点,‎ 所以,即………………1分 又因为,平面,………………2分 又,所以平面………………3分 又平面,所以………………4分(Ⅱ)在正三角形中,………………5分 在中,因为为中点,,所以 ‎,所以,所以………………6分 在等腰直角三角形中,,,‎ 所以,,所以………………8分 又平面,平面,所以平面………………9分 ‎(Ⅲ)因为,‎ 所以,分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,‎ 所以 由(Ⅱ)可知,‎ 为平面的法向量………………10分 ‎,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,即,‎ 令则平面的一个法向量为………………12分 设二面角的大小为, 则 所以二面角余弦值为………………14分 .(2010年高考(北京理))如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎【答案】证明:(I) 设AC与BD交与点G。 ‎ 因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1. ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG, ‎ 因为平面BDE,AF平面BDE, 所以AF//平面BDE. ‎ ‎(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC, ‎ 所以CE平面ABCD. ‎ 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-. ‎ 则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0). ‎ 所以,,. ‎ 所以, ‎ 所以,. 所以BDE. ‎ ‎(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量. ‎ 设平面ABE的法向量,则,. ‎ 即 所以且 令则. ‎ 所以. ‎ 从而。 因为二面角为锐角, ‎ 所以二面角的大小为. ‎
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