2014届高三理科数学一轮复习试题选编25：概率与统计（学生版）

2014届高三理科数学一轮复习试题选编25：概率与统计（学生版）

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编25：概率与统计 一、选择题 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数满足，则关于的方程有实数根的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012北京理）8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高.m值为 ‎ ‎ （　　）‎ A．5 B．‎7 ‎C．9 D．11‎ ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中的值等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图,在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,则图形面积的估计值为 ‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2012北京理）2.设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在下列命题中, ‎ ‎①“”是“”的充要条件;②的展开式中的常数项为;‎ ‎③设随机变量~,若,则.‎ 其中所有正确命题的序号是 （　　）‎ A．② B．③ ‎ C．②③ D．①③‎ ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）在平面区域内任取一点,若满足的概率大于,则的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．‎ ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）‎ 40 50 60 70 80 90 分数(分)‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.020‎ ‎0.030‎ ‎ a ‎ ‎ 从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为　　　. ‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知随机变量的分布列如下，则的值等于　　　　‎ ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是_______.‎ ．（2010年高考（北京理））从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知a=_________ ｡若要从身高在[120 , 130),[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为_________｡‎ ．（2013北京西城高三二模数学理科）右图是甲,乙两组各名同学身高(单位:)数据的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为和,则 ______. (填入:“”,“”,或“”)‎ ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, ,,,,.由图中数据可知_______;样本中平均气温不低于‎23.5℃‎的城市个数为________.‎ ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知区域，，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为 . ‎ ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_____________(填，，)‎ ‎．‎ ．（2013届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取 ‎100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。‎ ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）设不等式组 表示的平面区域为.在区域内随机取一个点,则此点到直线的距离大于2的概率是________‎ 三、解答题 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：‎ 甲厂 乙厂 ‎ 9 0‎ ‎3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3‎ ‎1 5 0 3 2 1 0 3 ‎ 规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.‎ ‎（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；‎ ‎（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；‎ ‎（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．‎ ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求 ‎(Ⅰ)摸出3个白球的概率；‎ ‎(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；‎ ‎（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。‎ ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）‎ 汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: ‎ A型车 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎5‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎15‎ ‎3‎ ‎2‎ B型车 出租天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 车辆数 ‎14‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；‎ ‎（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.‎ ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投次，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得分，在处每投进一球得分，否则得分. 将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮.甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.‎ ‎（Ⅰ） 甲同学选择方案1.‎ ① 求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；‎ ② 求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.‎ ．（2010年高考（北京理））某同学参加3门课程的考试｡假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,(>),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立｡记 ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ b ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;‎ ‎(Ⅱ)求,的值;‎ ‎(Ⅲ)求数学期望ξ.‎ ．（2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。‎ ‎（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值。‎ ．（2012北京理）17.近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率;‎ ‎(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a>0,=600.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.‎ ‎(注:,其中为数据的平均数)‎ ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）‎2 1 2 4‎ ‎4 3 1 1 1 1 0 2 5‎ ‎7 1 0 8 9‎ 甲 乙 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.‎ ‎（Ⅰ ‎）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；‎ ‎（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过‎2克的概率． ‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．‎ ‎(1) 试估计这40名学生成绩的众数；‎ ‎(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；‎ ‎(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ ‎0.045‎ ‎0.050‎ ‎0‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 分数 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取40位市民,对他们的生活满意指数进行统计分析,得到如下分布表:‎ 满意级别 ‎ 非常满意 ‎ 满意 ‎ 一般 ‎ 不满意 满意指数(分)‎ ‎ 90‎ ‎ 60‎ ‎ 30‎ ‎ 0‎ 人数(个)‎ ‎ 15‎ ‎ 17‎ ‎ 6‎ ‎ 2‎ ‎(I)求这40位市民满意指数的平均值;‎ ‎(II)以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很多)中任选3人,记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求的分布列;‎ ‎(III)从这40位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为,然后再随机选另一个人,记他的满意指数为,求的概率.‎ ．（2011年高考（北京理））甲组 乙组 ‎ 9 9 0 X 8 9‎ ‎ 1 1 1 0‎ 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树,乙组记录中有数据模糊,无法确认,在图中以X表示.‎ ‎(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;‎ ‎(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.‎ ‎(注:方差,其中为的平均数)‎ ．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：‎ 学生 数学 ‎89‎ ‎91‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ 物理 ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。‎ 从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．‎ ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 元件A 元件B ‎（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，‎ ‎（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．‎ ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为,获得50元奖金的概率为.‎ ‎(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率;‎ ‎(II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求的取值范围.‎ ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）小明从家到学校有两条路线,路线1上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;路线2上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为.‎ ‎(Ⅰ)若小明上学走路线1,求最多遇到1次红灯的概率;‎ ‎(Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数的数学期望;‎ ‎(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.‎ ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）国家对空气质量的分级规定如下表:‎ 污染指数 ‎0~50‎ ‎51~100‎ ‎101~150‎ ‎151~200‎ ‎201~300‎ ‎>300‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 ‎ 某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下:‎ ‎34‎ ‎140‎ ‎18‎ ‎73‎ ‎121‎ ‎210‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎78‎ ‎23‎ ‎65‎ ‎79‎ ‎207‎ ‎81‎ ‎60‎ ‎42‎ ‎101‎ ‎38‎ ‎163‎ ‎154‎ ‎22‎ ‎27‎ ‎36‎ ‎151‎ ‎49‎ ‎103‎ ‎135‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎48‎ 根据以上信息,解决下列问题:‎ ‎(Ⅰ)写出下面频率分布表中,b, ,y的值;‎ ‎(Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良的天数用X表示,求X的分布列和均值EX.‎ 频率分布表 分组 频数 频率 ‎[0,50] ‎ ‎14‎ ‎(50,100] ‎ ‎(100,150]‎ ‎5‎ ‎(150,200]‎ b y ‎(200,250]‎ ‎2‎ 合计 ‎30‎ ‎1‎ ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：‎ 组距 频率 成绩（分）‎ 频率分布直方图 ‎0.040‎ x ‎▓‎ ‎0.008‎ ‎▓‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎100‎ y 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 ‎[50，60）‎ ‎8‎ ‎0.16‎ 第2组 ‎[60，70）‎ a ‎▓‎ 第3组 ‎[70，80）‎ ‎20‎ ‎0.40‎ 第4组 ‎[80，90）‎ ‎▓‎ ‎0.08‎ 第5组 ‎[90， 100]‎ ‎2‎ b 合计 ‎▓‎ ‎▓‎ ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.‎ ．（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：‎ 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测．‎ ‎（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；‎ ‎（Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,‎ 其中年龄分组区间是:.‎ ‎(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;‎ ‎(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ 年龄/岁 频率/组距 ‎0．07‎ ‎0．02‎ x ‎0．04‎ ‎0．01‎ O ．（2013北京西城高三二模数学理科）‎ 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:‎ 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.‎ ‎(Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;‎ ‎(Ⅱ)记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ．（2013北京东城高三二模数学理科）某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人)‎ 优秀 良好 合格 男 女 按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取人,其中成绩为优的有人.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本,从中任选人,记为抽取女生的人数,求的分布列及数学期望.‎ ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的值；‎ ‎（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.‎ ‎(I)求该射手恰好命中两次的概率;‎ ‎(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;‎ ‎(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.‎ ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.‎ 石景山古城地区‎2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.‎ ‎(Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率; ‎ ‎(Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;‎ ‎(Ⅲ)从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列及期望.‎ ．（2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:‎ ‎3 2 0 4 ‎ ‎5 5 ‎ ‎6 4 ‎ ‎7 6 9 7 ‎ ‎8 8 0 7 ‎ ‎9 1 8 0 9 ‎ ‎ ‎ 乙城市 ‎ ‎3 0 2 2 4 ‎ ‎4 8 9 6 ‎ ‎6 1 5 1 ‎ ‎7 8 ‎ ‎8 2 3 0 ‎ ‎9 8 ‎ 甲城市 ‎ 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:‎ ‎（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内 哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由) ‎ ‎（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率；‎ ‎(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,‎ 求的分布列及数学期望.‎ ．（2009高考(北京理)）某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; ‎ ‎(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:‎ 成绩等级 A B C D E 成绩(分)‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎30‎ 人数(名)‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)‎ 根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的概率;‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求的分布列及其数学期望;‎ ‎(Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于分”的概率.‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字.称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响). ‎ ‎(Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率;‎ ‎(Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;‎ ‎(Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为,试求随机变量的分布列与数学期望.‎ ．（2013届北京海滨一模理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. ‎ ‎（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；‎ ‎（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.‎ ‎（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； ‎ ‎(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10‎ 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望. ‎ ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）本小题共14分 为了参加年全省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级中选出人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表:‎ 班级 高三()班 高三(‎ 高二(‎ 高二(‎ ‎)班 ‎)班 ‎)班 人数 ‎(I)从这名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率;‎ ‎(II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中来自高三(7)班的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ 北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编25：概率与统计参考答案 一、选择题 C 【答案】C 解：从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.‎ 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.‎ ‎【答案】C C ‎ C ‎ 【解析】题目中表示的区域如图正方形所示,而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此,故选D.‎ ‎【答案】D 【答案】D 解：不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以 ‎,根据几何概型可知所求概率为,选D. ‎ D ‎ C ‎ D ‎ C ‎ 【答案】B 解：将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为 ‎，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.‎ 二、填空题 【答案】20‎ 解：高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。‎ 0.035,64.5 ‎ ‎ ‎ 0.030 , 3 ;解:组距是10,所以10×(0.005+0.010+0.020+0.035+a)=1,解得a=0.030, ‎ 在[120 , 130),[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,他们的人数比例是3:2:1,用分层抽样的方法选取18人,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数为(人). ‎ ; ‎ 答案0.18,33因为,所以.不低于‎23.5℃‎的频率为,所以样本中平均气温不低于‎23.5℃‎的城市个数为. ‎ ‎ 【答案】 ‎ ‎【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲乙都有5组数据，此时甲乙的平均数为，，所以。‎ 30； ‎ ‎ ‎【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时,点D到直线的距离等于2,所以要使点D到直线的距离大于2,则点D应在三角形BCF中.各点的坐标为,所以 ‎ ‎,根据几何概型可知所求概率为. ‎ ‎ ‎ 三、解答题 解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为………………..2分 ‎（II）的取值为0，1，2，3.‎ 所以的分布列为 ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故……………………9分 ‎(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”‎ 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分 解：（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ………………..3分 ‎(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B，则，又 ‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以 ………………..6分 ‎（Ⅲ） X的所有可能取值为0，1，2.‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ………………..13分 解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为 ‎ ‎ 这辆汽车是A型车的概率为0.6 ………………3分 ‎（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，‎ ‎“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ‎ ………………5分 ‎ ………………7分 该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 ‎………………9分 ‎（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎0.05‎ ‎0.10‎ ‎0.30‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.03‎ ‎0.02‎ 设为B型车出租的天数，则的分布列为 ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎0.14‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.16‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎ ………12分 一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ………………13分 （Ⅰ）在处投篮命中记作,不中记作；在处投篮命中记作,不中记作；‎ ① 甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件,则 ‎ ………………2分 ‎②的所有可能取值为，则 ‎ ‎ ‎ ………………6分 的分布列为：‎ ‎ 0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.02‎ ‎0.16‎ ‎0.5‎ ‎0.32‎ ‎………………7分 ‎， ………………9分 ‎（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 , ‎ ‎ ‎ ‎=‎ 因为 ‎ 所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 ………………13分 解:事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”,=1,2,3,由题意知,, ‎ ‎(I)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是, ‎ ‎(II)由题意知 ‎ ‎, 整理得 , ‎ 由,可得,. ‎ ‎(III)由题意知 ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ 解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ………………………………1分 ‎ 则P（A）=， ‎ 答：甲和乙都不获奖的概率为. ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………6分 P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= , ‎ P(X=1000)= , …………………………………………10分 ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ P ‎ ……………11分 ‎∴E(X)=0×+400×+600×+1000×=500(元). ‎ 答: 甲获奖的金额的均值为500(元). …………………………13分 解:(1)由题意可知:.‎ ‎(2)由题意可知:.‎ ‎(3)由题意可知:,因此有当,,时,有.‎ 解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 、，方差分别为 、， 则， ……………………1分 ， ……………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ……………………4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ……………………6分 由于 ，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分 ‎（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：‎ ‎ ．………………9分 设所抽取两件样品重量之差不超过‎２克的事件为A，则事件A共有4个结果：‎ ‎． ………………11分 所以　． ………………13分 解：(1) 77.5； ………………………………………3分 ‎(2) 所求为：直线与直线之间的直方图的面积，‎ 因此， ………………………7分 答：这40名学生的成绩在之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分 ‎(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件，‎ 因为 ……………………………………10分 所以 ……………………………………12分 答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0．3087． ………13分 解:(Ⅰ)记表示这40位市民满意指数的平均值,则 ‎ ‎(分) ‎ ‎(Ⅱ)的可能取值为0、1、2、3. ‎ ‎ , ‎ ‎ , ‎ 的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)设所有满足条件的事件为 ‎ ‎①满足的事件数为: ‎ ‎②满足的事件数为: ‎ ‎③满足的事件数为: ‎ 所以满足条件的事件的概率为 ‎ 【命题立意】本题考查了样本的平均数和方差的计算,考查离散型随机变量的分布列和数学期望.考查学生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力. ‎ ‎【解析】(Ⅰ)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, ‎ 所以平均数为, ‎ 方差为 ‎ ‎(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是9,9,11,11,乙组同学的植树棵数是:,9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果, ‎ 这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21, ‎ 事件“Y=‎17”‎等价于“甲组选取的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有两种可能的结果,因此 ‎ 同理可得;;,, ‎ 所以随机变量Y的分布列为 Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P ‎ ‎ EY=17×P(Y=17)+ 18×P(Y=18)+ 19×P(Y=19)+ 20×P(Y=20)+ 21×P(Y=21) ‎ ‎= ‎ 解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:‎ ‎5名学生数学成绩的方差为: ‎ ‎5名学生物理成绩的平均分为:‎ ‎5名学生物理成绩的方差为: ‎ 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，，，‎ 随机变量的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P（X）‎ （Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为． ………………1分 元件B为正品的概率约为． ………………2分 ‎（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为． ………………3分 ‎； ；‎ ‎； ． ………………7分 所以，随机变量的分布列为:‎ ‎………………8分 ‎． ………………9分 ‎（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.‎ 依题意，得 ， 解得 ．‎ 所以 ，或． ………………11分 设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，‎ 则 ． ………………13分 解:(I)设至少一张中奖为事件 ‎ 则 ‎ ‎(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ‎ 则可以取 ‎ 的分布列为 ‎ ‎ 所以的期望为 ‎ ‎ ‎ 所以当 时,即 ‎ 所以当时,福彩中心可以获取资金资助福利事业 ‎ (Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件,则 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)依题意,的可能取值为0,1,2. ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 随机变量的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为,则, ‎ 所以 ‎ 因为,所以选择路线1上学最好 ‎ 解:(Ⅰ), ‎ ‎(Ⅱ)由题意,该市4月份空气质量为优或良的概率为P=, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为: ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ X~B(4,), ‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，． ………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．‎ 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有 种情况． ………………………………………………………………6分 设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则 ‎.‎ 所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． …………………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为，则 ‎，，．‎ 所以，的分布列为 ‎…………………………………………12分 所以，． ……………………………………13分 （Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ，…………1分 所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．…2分 设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， ……3分 则 ，‎ 故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为． …………5分 ‎（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为． ………6分 ‎， ，‎ ‎， ．……………10分 所以，随机变量的分布列为: ‎ ‎ ………………11分 ‎． ………………13分 解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除外的频率和为0.70, ‎ ‎ ‎ ‎500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人). ‎ ‎(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, ‎ ‎“年龄不低于35岁”的人有8名. ‎ 故的可能取值为0,1,2,3, ‎ ‎,, ‎ ‎,, ‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎ (Ⅰ)解:设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件, 则 , ‎ 故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为 ‎ ‎(Ⅱ)解:随机变量的所有取值为 ‎ ‎, , ‎ ‎, , ‎ ‎ ‎ 所以,随机变量的分布列为: ‎ ‎ ‎ (共13分)解:(Ⅰ)设该年级共人,由题意得,所以. ‎ 则. ‎ ‎(Ⅱ)依题意,所有取值为. ‎ ‎,,. ‎ 的分布列为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有 且相互独立.‎ ‎（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 ‎. …………………3分 ‎（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有 ‎＝， …………………5分 所以，. ……………………7分 ‎（Ⅲ）的所有可能取值为. ……………………8分 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎=＝ . ……………………11分 分布列为：‎ ‎……………………12分 所以，. ………………13分 解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件. ‎ 由题意知,, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4. ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 故的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好. ………2分 ‎（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， ………4分 乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， ………6分 在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.‎ ‎………8分 ‎(Ⅲ)的取值为， ………9分 ‎，，‎ 的分布列为：‎ 数学期望 ………13分 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min). ‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),‎ ‎∴, ‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ 解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这30名学生中任选一人,分数等级为“或”的频率为. ‎ 从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ 或”的概率约为 ‎ ‎(Ⅱ)由已知得,随机变量的可能取值为0,1,2,3. ‎ 所以;; ‎ ‎;. ‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以 ‎ ‎(Ⅲ)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分. ‎ 设从这30名学生中,随机选取2人,记其比赛成绩分别为. ‎ 显然基本事件的总数为. ‎ 不妨设, ‎ 当时,或或,其基本事件数为; ‎ 当时,或,其基本事件数为; ‎ 当时,,其基本事件数为; ‎ 所以. ‎ 所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分的概率为 ‎ 解:(Ⅰ)设事件A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则 ‎ ‎. ‎ 答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 ‎ ‎(Ⅱ)设事件B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. ‎ 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是. ‎ 所以. ‎ 答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 ‎ ‎(Ⅲ)由题意可知,的可能取值为,所以随机变量的可能取值为. ‎ ‎; ; ‎ ‎; ; ‎ ‎; . ‎ 所以随机变量的分布列为 所以 ‎ 解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，‎ 所以该考场有人………………1分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为………………3分 ‎(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 ‎………………7分 ‎（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20………………8分 ‎， ‎ ‎， ‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎………………11分 所以 所以的数学期望为………………13分 解:(I)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件, ‎ 则 ‎ ‎(II)的所有可能取值为 ‎ 则 ‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎