2019年湖南省长沙市中考数学试卷含答案

2019年湖南省长沙市中考数学试卷含答案

‎2019年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 ‎ C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2‎ ‎4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）‎ A．购买一张彩票，中奖 ‎ B．射击运动员射击一次，命中靶心 ‎ C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 ‎ D．任意画一个三角形，其内角和是180°‎ ‎5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．110°‎ ‎6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 ‎8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（　　）‎ A．2π B．4π C．12π D．24π ‎9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）‎ A．20° B．30° C．45° D．60°‎ ‎10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）‎ A．30‎3‎nmile B．60nmile ‎ C．120nmile D．（30+30‎3‎）nmile ‎11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）‎ A．y=x+4.5‎‎0.5y=x-1‎ B．y=x+4.5‎y=2x-1‎ ‎ C．y=x-4.5‎‎0.5y=x+1‎ D．‎y=x-4.5‎y=2x-1‎ ‎12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD‎+‎‎5‎‎5‎BD的最小值是（　　）‎ A．2‎5‎ B．4‎5‎ C．5‎3‎ D．10‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）式子x-5‎在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．‎ ‎14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝　 　．‎ ‎15．（3分）不等式组x+1≥0‎‎3x-6＜0‎的解集是　 　．‎ ‎16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：‎ 摸球实验次数 ‎100‎ ‎1000‎ ‎5000‎ ‎10000‎ ‎50000‎ ‎100000‎ ‎“摸出黑球”的次数 ‎36‎ ‎387‎ ‎2019‎ ‎4009‎ ‎19970‎ ‎40008‎ ‎“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）‎ ‎0.360‎ ‎0.387‎ ‎0.404‎ ‎0.401‎ ‎0.399‎ ‎0.400‎ 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是　 　．（结果保留小数点后一位）‎ ‎17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是　 　m．‎ ‎18．（3分）如图，函数y‎=‎kx（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B 两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：‎ ‎①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2‎+‎‎3‎；④若MF‎=‎‎2‎‎5‎MB，则MD＝2MA．‎ 其中正确的结论的序号是　 　．（只填序号）‎ 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）‎ ‎19．（6分）计算：|‎-‎‎2‎|+（‎1‎‎2‎）﹣1‎-‎6‎÷‎3‎-‎2cos60°．‎ ‎20．（6分）先化简，再求值：（a+3‎a-1‎‎-‎‎1‎a-1‎）‎÷‎a‎2‎‎+4a+4‎a‎2‎‎-a，其中a＝3．‎ ‎21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．‎ 等级 频数 频率 优秀 ‎21‎ ‎42%‎ 良好 m ‎40%‎ 合格 ‎6‎ n%‎ 待合格 ‎3‎ ‎6%‎ ‎（1）本次调查随机抽取了　 　名学生；表中m＝　 　，n＝　 　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．‎ ‎22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．‎ ‎（1）求证：BE＝AF；‎ ‎（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．‎ ‎23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．‎ ‎（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；‎ ‎（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？‎ ‎24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．‎ ‎（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．‎ ‎①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　 　命题）‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　命题）‎ ‎③两个大小不同的正方形相似．（　 　命题）‎ ‎（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，ABA‎1‎B‎1‎‎=BCB‎1‎C‎1‎=‎CDC‎1‎D‎1‎．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．‎ ‎（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S‎2‎S‎1‎的值．‎ ‎25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．‎ ‎（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；‎ ‎（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；‎ ‎（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好m‎2m+1‎‎≤‎1‎y+2‎≤‎n‎2n+1‎，求m，n的值．‎ ‎26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．‎ ‎①如图1，求证：CE＝DE；‎ ‎②如图2，连接AC，BE，BO，当a‎=‎‎3‎‎3‎，∠CAE＝∠OBE时，求‎1‎OD‎-‎‎1‎OE的值．‎ ‎2019年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，‎ 所以比﹣3小的数是﹣5，‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011‎ ‎【解答】解：数据150 0000 0000用科学记数法表示为1.5×1010．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 ‎ C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2‎ ‎【解答】解：A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；‎ B、（a3）2＝a6，故选项B符合题意；‎ C、a6÷a3＝a3，故选项C不符合题意；‎ D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）‎ A．购买一张彩票，中奖 ‎ B．射击运动员射击一次，命中靶心 ‎ C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 ‎ D．任意画一个三角形，其内角和是180°‎ ‎【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；‎ B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；‎ C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；‎ D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）‎ A．80° B．90° C．100° D．110°‎ ‎【解答】解：∵∠1＝80°，‎ ‎∴∠3＝100°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠3＝100°．‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 ‎【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，‎ 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（　　）‎ A．2π B．4π C．12π D．24π ‎【解答】解：S‎=‎120×π×‎‎6‎‎2‎‎360‎=‎12π，‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）‎ A．20° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，‎ 由作图可知MN为AB的中垂线，‎ ‎∴DA＝DB，‎ ‎∴∠DAB＝∠B＝30°，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）‎ A．30‎3‎nmile B．60nmile ‎ C．120nmile D．（30+30‎3‎）nmile ‎【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，‎ ‎∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．‎ 在Rt△ACD中，cos∠ACD‎=‎CDAC，‎ ‎∴CD＝AC•cos∠ACD＝60‎×‎3‎‎2‎=‎30‎3‎．‎ 在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，‎ ‎∴CD＝BD＝30‎3‎，‎ ‎∴AB＝AD+BD＝30+30‎3‎．‎ 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30‎3‎）nmile．‎ 故选：D．‎ ‎11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）‎ A．y=x+4.5‎‎0.5y=x-1‎ B．y=x+4.5‎y=2x-1‎ ‎ C．y=x-4.5‎‎0.5y=x+1‎ D．‎y=x-4.5‎y=2x-1‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ y=x+4.5‎‎0.5y=x-1‎‎，‎ 故选：A．‎ ‎12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD‎+‎‎5‎‎5‎BD的最小值是（　　）‎ A．2‎5‎ B．4‎5‎ C．5‎3‎ D．10‎ ‎【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．‎ ‎∵BE⊥AC，‎ ‎∴∠ABE＝90°，‎ ‎∵tanA‎=BEAE=‎2，设AE＝a，BE＝2a，‎ 则有：100＝a2+4a2，‎ ‎∴a2＝20，‎ ‎∴a＝2‎5‎或﹣2‎5‎（舍弃），‎ ‎∴BE＝2a＝4‎5‎，‎ ‎∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，‎ ‎∴CM＝BE＝4‎5‎（等腰三角形两腰上的高相等））‎ ‎∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，‎ ‎∴sin∠DBH‎=DHBD=AEAB=‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴DH‎=‎‎5‎‎5‎BD，‎ ‎∴CD‎+‎‎5‎‎5‎BD＝CD+DH，‎ ‎∴CD+DH≥CM，‎ ‎∴CD‎+‎‎5‎‎5‎BD≥4‎5‎，‎ ‎∴CD‎+‎‎5‎‎5‎BD的最小值为4‎5‎．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）式子x-5‎在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥5　．‎ ‎【解答】解：式子x-5‎在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，‎ 故实数x的取值范围是：x≥5．‎ 故答案为：x≥5．‎ ‎14．（3分）分解因式：am2﹣9a＝　a（m+3）（m﹣3）　．‎ ‎【解答】解：am2﹣9a ‎＝a（m2﹣9）‎ ‎＝a（m+3）（m﹣3）．‎ 故答案为：a（m+3）（m﹣3）．‎ ‎15．（3分）不等式组x+1≥0‎‎3x-6＜0‎的解集是　﹣1≤x＜2　．‎ ‎【解答】解：‎x+1≥0①‎‎3x-6＜0②‎ 解不等式①得：x≥﹣1，‎ 解不等式②得：x＜2，‎ ‎∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，‎ 故答案为：﹣1≤x＜2．‎ ‎16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：‎ 摸球实验次数 ‎100‎ ‎1000‎ ‎5000‎ ‎10000‎ ‎50000‎ ‎100000‎ ‎36‎ ‎387‎ ‎2019‎ ‎4009‎ ‎19970‎ ‎40008‎ ‎“摸出黑球”的次数 ‎“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）‎ ‎0.360‎ ‎0.387‎ ‎0.404‎ ‎0.401‎ ‎0.399‎ ‎0.400‎ 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是　0.4　．（结果保留小数点后一位）‎ ‎【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，‎ 故摸到白球的频率估计值为0.4；‎ 故答案为：0.4．‎ ‎17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是　100　m．‎ ‎【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴AB＝2DE＝2×50＝100米．‎ 故答案为：100．‎ ‎18．（3分）如图，函数y‎=‎kx（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：‎ ‎①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2‎+‎‎3‎；④若MF‎=‎‎2‎‎5‎MB，则MD＝2‎ MA．‎ 其中正确的结论的序号是　①③④　．（只填序号）‎ ‎【解答】解：①设点A（m，km），M（n，kn），‎ 则直线AC的解析式为y‎=-‎kmnx‎+kn+‎km，‎ ‎∴C（m+n，0），D（0，‎(m+n)kmn），‎ ‎∴S△ODM‎=‎1‎‎2‎×‎n‎×‎(m+n)kmn=‎‎(m+n)k‎2m，S△OCA‎=‎1‎‎2‎×‎（m+n）‎×km=‎‎(m+n)k‎2m，‎ ‎∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；‎ ‎∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，‎ ‎∴O是AB的中点，‎ ‎∵BM⊥AM，‎ ‎∴OM＝OA，‎ ‎∴k＝mn，‎ ‎∴A（m，n），M（n，m），‎ ‎∴AM‎=‎‎2‎（n﹣m），OM‎=‎m‎2‎‎+‎n‎2‎，‎ ‎∴AM不一定等于OM，‎ ‎∴∠BAM不一定是60°，‎ ‎∴∠MBA不一定是30°．故②错误，‎ ‎∵M点的横坐标为1，‎ ‎∴可以假设M（1，k），‎ ‎∵△OAM为等边三角形，‎ ‎∴OA＝OM＝AM，‎ ‎1+k2＝m2‎+‎k‎2‎m‎2‎，‎ ‎∴m＝k，‎ ‎∵OM＝AM，‎ ‎∴（1﹣m）2‎+(k-km‎)‎‎2‎=‎1+k2，‎ ‎∴k2﹣4k+1＝0，‎ ‎∴k＝2‎±‎‎3‎，‎ ‎∵m＞1，‎ ‎∴k＝2‎+‎‎3‎，故③正确，‎ 如图，作MK∥OD交OA于K．‎ ‎∵OF∥MK，‎ ‎∴FMBM‎=OKKB=‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴OKOB‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴OKOA‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴OKKA‎=‎‎2‎‎1‎，‎ ‎∵KM∥OD，‎ ‎∴DMAM‎=OKAK=‎2，‎ ‎∴DM＝2AM，故④正确．‎ 故答案为①③④．‎ 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）‎ ‎19．（6分）计算：|‎-‎‎2‎|+（‎1‎‎2‎）﹣1‎-‎6‎÷‎3‎-‎2cos60°．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2‎+‎2‎-‎6÷3‎-‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎ ‎=‎2‎+‎‎2‎-‎2‎-‎1‎ ‎＝1．‎ ‎20．（6分）先化简，再求值：（a+3‎a-1‎‎-‎‎1‎a-1‎）‎÷‎a‎2‎‎+4a+4‎a‎2‎‎-a，其中a＝3．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎a+2‎a-1‎•‎a(a-1)‎‎(a+2‎‎)‎‎2‎ ‎=‎aa+2‎‎，‎ 当a＝3时，原式‎=‎3‎‎3+2‎=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．‎ 等级 频数 频率 优秀 ‎21‎ ‎42%‎ 良好 m ‎40%‎ 合格 ‎6‎ n%‎ 待合格 ‎3‎ ‎6%‎ ‎（1）本次调查随机抽取了　50　名学生；表中m＝　20　，n＝　12　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查随机抽取了21÷42%＝50名学生，m＝50×40%＝20，n‎=‎6‎‎50‎×‎100＝12，‎ 故答案为：50，20，12；‎ ‎（2）补全条形统计图如图所示；‎ ‎（3）2000‎×‎21+20‎‎50‎=‎1640人，‎ 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．‎ ‎22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．‎ ‎（1）求证：BE＝AF；‎ ‎（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，‎ ‎∵DE＝CF，‎ ‎∴AE＝DF，‎ 在△BAE和△ADF中，AB=AD‎∠BAE=∠ADFAE=DF，‎ ‎∴△BAE≌△ADF（SAS），‎ ‎∴BE＝AF；‎ ‎（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，‎ ‎∴∠EBA＝∠FAD，‎ ‎∴∠GAE+∠AEG＝90°，‎ ‎∴∠AGE＝90°，‎ ‎∵AB＝4，DE＝1，‎ ‎∴AE＝3，‎ ‎∴BE‎=AB‎2‎+AE‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎5，‎ 在Rt△ABE中，‎1‎‎2‎AB×AE‎=‎‎1‎‎2‎BE×AG，‎ ‎∴AG‎=‎4×3‎‎5‎=‎‎12‎‎5‎．‎ ‎23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．‎ ‎（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；‎ ‎（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？‎ ‎【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意，得 ‎2（1+x）2＝2.42，‎ 解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．‎ 答：增长率为10%．‎ ‎（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．‎ 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．‎ ‎24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．‎ ‎（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．‎ ‎①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　假　命题）‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　假　命题）‎ ‎③两个大小不同的正方形相似．（　真　命题）‎ ‎（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，ABA‎1‎B‎1‎‎=BCB‎1‎C‎1‎=‎CDC‎1‎D‎1‎．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．‎ ‎（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S‎2‎S‎1‎的值．‎ ‎【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．‎ ‎③两个大小不同的正方形相似．是真命题．‎ 故答案为假，假，真．‎ ‎（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．‎ ‎∵∠BCD＝∠B1C1D1，且BCB‎1‎C‎1‎‎=‎CDC‎1‎D‎1‎，‎ ‎∴△BCD∽△B1C1D1，‎ ‎∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，‎ ‎∵ABA‎1‎B‎1‎‎=BCB‎1‎C‎1‎=‎CDC‎1‎D‎1‎，‎ ‎∴BDB‎1‎D‎1‎‎=‎ABA‎1‎B‎1‎，‎ ‎∵∠ABC＝∠A1B1C1，‎ ‎∴∠ABD＝∠A1B1D1，‎ ‎∴△ABD∽△A1B1D1，‎ ‎∴ADA‎1‎D‎1‎‎=‎ABA‎1‎B‎1‎，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，‎ ‎∴，ABA‎1‎B‎1‎‎=BCB‎1‎C‎1‎=CDC‎1‎D‎1‎=‎ADA‎1‎D‎1‎，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，‎ ‎∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．‎ ‎（3）如图2中，‎ ‎∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．‎ ‎∴DEAE‎=‎EFAB，‎ ‎∵EF＝OE+OF，‎ ‎∴DEAE‎=‎OE+OFAB，‎ ‎∵EF∥AB∥CD，‎ ‎∴DEAD‎=‎OEAB，DEAD‎=OCAB=‎OFAB，‎ ‎∴DEAD‎+DEAD=OEAB+‎OFAB，‎ ‎∴‎2DEAD‎=‎DEAE，‎ ‎∵AD＝DE+AE，‎ ‎∴‎2‎DE+AE‎=‎‎1‎AE，‎ ‎∴2AE＝DE+AE，‎ ‎∴AE＝DE，‎ ‎∴S‎1‎S‎2‎‎=‎1．‎ ‎25．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．‎ ‎（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；‎ ‎（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；‎ ‎（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好m‎2m+1‎‎≤‎1‎y+2‎≤‎n‎2n+1‎，求m，n的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．‎ ‎∴b-2=4‎c-2020=-1‎．‎ ‎∴b＝6，c＝2019．‎ ‎（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），‎ 代入解析式可得：y‎0‎‎=-2x‎0‎‎2‎+(b-2)x‎0‎+(c-2020)‎‎-y‎0‎=-2x‎0‎‎2‎-(b-2)x‎0‎+(c-2020)‎．‎ ‎∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．‎ ‎∴c＝2x02+2020，‎ ‎∴c≥2020；‎ ‎（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．‎ ‎∴y≤1．‎ ‎∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好m‎2m+1‎‎≤‎1‎y+2‎≤‎n‎2n+1‎，‎ ‎∴‎1‎n‎≤‎1‎y+2‎≤‎‎1‎m．‎ ‎∴‎1‎n‎≤y≤‎‎1‎m．‎ ‎∴‎1‎m‎≤‎1，即m≥1．‎ ‎∴1≤m＜n．‎ ‎∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，‎ ‎∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．‎ ‎∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．‎ 当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．‎ 又‎1‎n‎≤y≤‎‎1‎m，‎ ‎∴‎1‎n‎=-2n‎2‎+4n-1①‎‎1‎m‎=-2m‎2‎+4m-1②‎．‎ 将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，‎ 变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．‎ ‎∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．‎ ‎∵n＞1，‎ ‎∴2n2﹣2n﹣1＝0．‎ 解得n1‎=‎‎1-‎‎3‎‎2‎（舍去），n2‎=‎‎1+‎‎3‎‎2‎．‎ 同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．‎ ‎∵1≤m＜n，‎ ‎∴2m2﹣2m﹣1＝0．‎ 解得m1＝1，m2‎=‎‎1-‎‎3‎‎2‎（舍去），m3‎=‎‎1+‎‎3‎‎2‎（舍去）．‎ 综上所述，m＝1，n‎=‎‎1+‎‎3‎‎2‎．‎ ‎26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．‎ ‎①如图1，求证：CE＝DE；‎ ‎②如图2，连接AC，BE，BO，当a‎=‎‎3‎‎3‎，∠CAE＝∠OBE时，求‎1‎OD‎-‎‎1‎OE的值．‎ ‎【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，‎ ax（x+6）＝0，‎ ‎∴A（﹣6，0）；‎ ‎（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，‎ ‎∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，‎ ‎∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，‎ 又∵PC＝PB，‎ ‎∴∠PCB＝∠PBC，‎ ‎∵CE为切线，‎ ‎∴∠PCB+∠ECD＝90°，‎ 又∵∠BDP＝∠CDE，‎ ‎∴∠ECD＝∠COE，‎ ‎∴CE＝DE．‎ ‎②解：设OE＝m，即E（m，0），‎ 由切割线定理得：CE2＝OE•AE，‎ ‎∴（m﹣t）2＝m•（m+6），‎ ‎∴m=‎t‎2‎‎6+2t①，‎ ‎∵∠CAE＝∠CBD，‎ ‎∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，‎ 由角平分线定理：BDBE‎=‎ODOE，‎ 即：‎(3+t‎)‎‎2‎+27‎‎(3+m‎)‎‎2‎+27‎‎=‎‎-tm，‎ ‎∴m=‎‎6t‎-t-6‎②，‎ 由①②得t‎2‎‎6+2t‎=‎‎6t‎-t-6‎，‎ 整理得：t2+18t+36＝0，‎ ‎∴t2＝﹣18t﹣36，‎ ‎∴‎1‎OD‎-‎1‎OE=-‎1‎t-‎1‎m=-‎3t+6‎t‎2‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 10:04:29；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎