数学卷·2018届浙江省绍兴一中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届浙江省绍兴一中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年浙江省绍兴一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（　　）‎ A．AD B．CD C．PC D．PD ‎5．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（　　）‎ A． B． a C． a D． a ‎6．已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是 ‎ （　　）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β ‎7．在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎9．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．‎ ‎10．如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为　　（用V表示）‎ ‎11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为　　．‎ ‎12．平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积　　．‎ ‎13．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面AB B1A1=n，则m，n所成角的正弦值为　　．‎ ‎14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为　　．‎ ‎15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎16．（8分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．‎ ‎17．（8分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3）．且实数m∈[﹣﹣1，﹣1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ ‎18．（10分）一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．‎ ‎（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；‎ ‎（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；‎ ‎（3）求该多面体的表面积．‎ ‎19．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1=，‎ ‎（1）试在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；‎ ‎（2）在（Ⅰ）的条件下，求AE和BC1所成角．‎ ‎20．（12分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．‎ ‎（1）当x=2时，①求证：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；‎ ‎（2）三棱锥D﹣FBC的体积是否可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省绍兴一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（　　）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．‎ ‎【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．‎ ‎∴tanθ=﹣1，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据所给的锥体的体积和锥体的高，得到这个锥体的底面面积的值，根据面积确定图形，这是选择题目特有的方法．‎ ‎【解答】解：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，‎ 根据锥体的体积是知=，‎ ‎∴s=1，‎ 即底面面积是1，‎ 在所给的四个图形中，只有正方形是一个面积为1的图形，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查由几何体确定俯视图，本题是一个基础题，题目的解决方向非常明确，只要得到一个底面面积是1的图形就可以．‎ ‎　‎ ‎3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个倒放的圆锥，由正视图和侧视图都是边长为•的正三角形可知此圆锥的半径与圆锥的高，故解三角形求出其高即可求得几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，其底面半径为，且其高为正三角形的高 由于此三角形的高为，故圆锥的高为 此全面积为=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．‎ ‎　‎ ‎4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（　　）‎ A．AD B．CD C．PC D．PD ‎【考点】直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，可得CD⊥面MNO即可．．‎ ‎【解答】解：连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，如图所示：‎ ‎∵N、O分别为PC、AC中点，‎ ‎∴NO∥PA，‎ ‎∵PA⊥面ABCD，‎ ‎∴NO⊥面ABCD，‎ ‎∴NO⊥CD．‎ 又∵M、O分别为AB、AC中点，‎ ‎∴MO⊥CD，‎ ‎∵NO∩MO=O，‎ ‎∴CD⊥面MNO，‎ ‎∴CD⊥MN．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了通过线面垂直判定线线垂直，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（　　）‎ A． B． a C． a D． a ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．‎ ‎【解答】解：连接A1C、MC可得 ‎=‎ ‎△A1DM中，A1D=，A1M=MD=‎ ‎∴=‎ 三棱锥的体积：‎ 所以d ‎ ‎（设d是点C到平面A1DM的距离）‎ ‎∴=‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是 （　　）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在C中，m与n平行或异面；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．‎ ‎【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；‎ 在B中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B正确；‎ 在C中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；‎ 在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．‎ ‎【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，‎ 则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线．‎ ‎∴2r==5，‎ ‎∴r=，‎ 由球的体积公式得：S=πr3=π．‎ 故选B．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键．‎ ‎　‎ ‎8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；‎ 由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，故MN∥平面A1B1C1D1；‎ MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；‎ ‎⑤EF与AC成30°时，MN与 A1C1成30°．‎ ‎【解答】解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，‎ ‎∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，‎ ‎∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；‎ 由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1，‎ 故③正确；‎ MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；‎ ‎⑤EF与AC成30°时，MN与 A1C1成30°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查线面平行、垂直，考查线面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎9．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围；‎ ‎【解答】解：∵过P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，‎ ‎∴直线的斜率小于0，‎ 即＜0，即，解得﹣2＜a＜1，‎ 故a的取值范围为（﹣2，1）．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．‎ ‎　‎ ‎10．如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为　　（用V表示）‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】利用AA1到对面距离不变，转化P到A点，利用棱锥与棱柱的体积关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，所以AA1到对面距离不变，移动P到A点，由棱锥的体积的推导方法可知：四棱锥P﹣BCC1B1的体积=×三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为　线段CB1　．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，即BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，得到点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是CB1．‎ ‎【解答】解：如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，‎ 连接AC，AB1，B1C，‎ 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC；‎ 则BD1⊥面ACB1，‎ 又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，‎ 根据平面的基本性质得：‎ 点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．‎ 故答案为线段CB1．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积　3π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，‎ 所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：‎ 所以球的表面积为： =3π．‎ 故答案为：3π．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎13．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面AB B1A1=n，则m，n所成角的正弦值为　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，由△CB1D1是正三角形，即可得出m、n所成角．‎ ‎【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，‎ 可知：n∥CD1，m∥B1D1，‎ ‎∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．‎ 则m、n所成角的正弦值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为　3　．‎ ‎【考点】由三视图还原实物图．‎ ‎【分析】由几何体的侧视图的面积为求出几何体的高AD，再四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平，在平面内利用余弦定理求得线段AM+MN+NB长为所求．‎ ‎【解答】解：取AB中点F，∵AE=BE=，∴EF⊥AB，‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，‎ 易求EF=，‎ 左视图的面积S=AD•EF=AD=，‎ ‎∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，‎ 将四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，‎ 则AB2=AE2+BE2﹣2AE•BE•cos120°=3+3﹣2×3×（﹣）=9，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∴AM+MN+BN的最小值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查由三视图还原实物图，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空间想象能力、转化、计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A﹣BCD的体积，又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠‎ BAC=60°，AB=AC=AD=4，‎ 则棱锥A﹣BCD的体积V==‎ 又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，‎ ‎∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上 则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为：‎ ‎：（﹣）=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】连接BD，BD∩AC=O，连接A1O，则BD⊥AC，BD⊥平面ACC1A1，∠BA1O是直线A1B与平面ACC1A1所成角．‎ ‎【解答】解：连接BD，BD∩AC=O，连接A1O，则BD⊥AC，BD⊥平面ACC1A1，∠BA1O是直线A1B与平面ACC1A1所成角．‎ ‎∵DA=DC=4，DD1=3，‎ ‎∴BO=2，A1B=，‎ ‎∴直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值=．‎ ‎【点评】此题考查了直线与平面所成的角，找出直线与平面所成的角是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．已知两点A（﹣1，2），B（m，3）．且实数m∈[﹣﹣1，﹣1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】分类讨论，当m=﹣1时，直线AB倾斜角α=；②当m≠﹣1时，直线AB的斜率为，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 ‎【解答】解：①当m=﹣1时，直线AB倾斜角α=；‎ ‎②当m≠﹣1时，直线AB的斜率为，‎ ‎∵m+1∈[﹣，]，‎ ‎∴k=∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），‎ ‎∴α∈[，）∪（，]，‎ 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈∈[，]．‎ ‎【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2012•安徽模拟）一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．‎ ‎（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；‎ ‎（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；‎ ‎（3）求该多面体的表面积．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；简单空间图形的三视图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图．‎ ‎（2）连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，可得OE为△AA1C的中位线，OE∥A1C，从而证得OE∥平面A1C1C．‎ ‎（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，SABCD=a2，，再求出，的值，由表面积，运算求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下：‎ ‎（2）证明：如图，连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，O为AC的中点，所以在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，‎ 所以OE∥A1C，∵OE⊄平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，‎ 所以OE∥平面A1C1C．‎ ‎（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，SABCD=a2，，，，‎ 所以表面积．‎ ‎【点评】本题考查几何体的三视图，证明直线和平面平行的方法，求几何体的表面积，体现了数形结合的数学思想，是一道中档题 ‎　‎ ‎19．（10分）（2016秋•越城区校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 中，已知AB⊥侧面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1=，‎ ‎（1）试在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；‎ ‎（2）在（Ⅰ）的条件下，求AE和BC1所成角．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】（1）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．‎ ‎（2）取BC中点D，则DE∥BC1，连接AD，所以∠AED或其补角为异面直线AE和BC1所成角所成的角．‎ 利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，‎ 从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E．‎ 不妨设 CE=x，则C1E=2﹣x，‎ ‎∵∠BCC1=60°，∴BE2=1+x2﹣x，‎ ‎∵∠BCC1=60°，∴∠B1C1C=120°，∴．‎ 在Rt△BEB1中有1+x2﹣x+x2﹣5x+7=4，‎ 从而x=1或x=2（当x=2时E与C1重合不满足题意）．‎ 故E为CC1的中点时，EA⊥EB1．‎ ‎（2）取BC中点D，则DE∥BC1，连接AD，‎ 所以∠AED或其补角为异面直线AE和BC1所成角所成的角．‎ ‎∵，‎ ‎∴cos∠AED==，‎ ‎∴∠AED=60°．‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•越城区校级期中）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．‎ ‎（1）当x=2时，①求证：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；‎ ‎（2）三棱锥D﹣FBC的体积是否可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半？并说明理由．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）①：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH，由已知得四边形ADHE是正方形，四边形EHGB是正方形，由此能证明BD⊥EG．‎ ‎②以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣BF﹣C的余弦值．‎ ‎（2）由已知得三棱锥D﹣BCF的体积为V===，VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF=＞2V，从而棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．‎ ‎【解答】（1）①证明：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH．如图．‎ ‎∵AE=AD=2　且AE∥DH，AD∥EF，∠A=．‎ ‎∴四边形ADHE是正方形 ‎∵EH=2‎ ‎∴四边形EHGB是正方形 即：BH⊥EG（正方形对角线互为垂直）‎ ‎∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，‎ ‎∴EG⊥△BDH所在平面 即：BD⊥EG．‎ ‎②解：以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，‎ EA为z轴，建立空间直角坐标系，‎ B（2，0，0），F（0，3，0），‎ D（0，2，2），C（2，4，0），‎ ‎=（﹣2，3，0），=（﹣2，2，2），‎ 设平面BDF的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=3，得=（3，2，1），‎ 又平面BCF的法向量=（0，0，1），‎ cos＜＞===．‎ ‎∴二面角D﹣BF﹣C的余弦值为．‎ ‎（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，‎ 平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD．‎ ‎∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，‎ ‎∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，‎ 故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x，‎ 又∵S△BCF=BC•BE==8﹣2x．‎ ‎∴三棱锥D﹣BCF的体积为V===，‎ VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF ‎=‎ ‎=‎ ‎=＞2V，‎ ‎∴棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．‎ ‎【点评】本题给出平面折叠问题，求证直线与直线垂直，求体积的最大值并求此时异面直线所成角大小．着重考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角大小的求法等知识，属于中档题．‎ ‎　‎