2010年中考数学压轴题(二)及解答
2010 年中考数学压轴题（二）及解答
27、（2010 年甘肃省兰州市）27.（本题满分 10 分）已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点
O，AC=10，BD=8．
（1）若 AC⊥BD，试求四边形 ABCD 的面积 ；
（2）若 AC 与 BD 的夹角∠AOD= ，求四边形 ABCD 的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形 ABCD”改为“四边形
ABCD”，且∠AOD= ，AC= ，BD= ，试求四边形 ABCD 的面积
（用含 ， ， 的代数式表示）．
【解答】
27. （本题满分 10 分）
解：（1）∵AC⊥BD
∴四边形 ABCD 的面积是 ……………2 分
（2）过点 A 分别作 AE⊥BD，垂足为 E …………………………………3 分
∵四边形 ABCD 为平行四边形
在 Rt⊿AOE 中，
∴ …………4 分
∴ ………………………………5 分
∴四边形 ABCD 的面积 ……………………………………6 分
(3）如图所示过点 A,C 分别作 AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E,F …………7 分
在 Rt⊿AOE 中，
∴
同理可得
……………8 分
∴四边形 ABCD 的面积
60
θ a b
θ a b
52
1 === ACCOAO 42
1 === BDDOBO
AO
AEAOE =∠sin
2
35
2
3560sinsin =×=×=∠•= oAOAOEAOAE
3552
342
1
2
1 =×××=•=∆ AEODS AOD
3204 == ∆AODSS
AO
AEAOE =∠sin
θsinsin ×=∠•= AOAOEAOAE
θsinsin ×=∠•= COCOFCOCF
1 1AC BD= 10 8=402 2
⋅ × ×
θ
θ
θ
sin2
1
sin2
1
)(sin2
1
2
1
2
1
ab
ACBD
COAOBD
CFBDAEBDSSS CBDABD
=
•=
+=
•+•=+= ∆∆
…………………………………10
分
（第 27 题图）
28、（2010 年甘肃省兰州市）28.（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB
分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3；抛物线 经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E
（4,0）
（1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时
一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线
AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）.
① 当 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可
能，请说明理由．
图 1 第 28 题图 图 2
【解答】
28. （本题满分 11 分）
解：（1）因抛物线 经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0）
故可得 c=0,b=4
所以抛物线的解析式为 …………………………………………1 分
由
得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分
（2）① 点 P 不在直线 ME 上.
已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，
设直线 ME 的关系式为 y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. …………………………………………3 分
由已知条件易得，当 时，OA=AP= ， …………………4 分
∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]
∴ 当 时，点 P 不在直线 ME 上. ……………………………………5 分
②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5
∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分
cbxxy ++−= 2
4
11=t
cbxxy ++−= 2
xxy 42 +−=
xxy 42 +−= ( )22 4y x=− − +
=+
=+
42
04
bk
bk
=
−=
8
2
b
k
4
11=t 4
11 )4
11,4
11(P
4
11=t
a b
c
d
ac bc
ad bd
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
…………………………………………………………………………………7 分
（ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为 AD，∴
S= DC·AD= ×3×2=3.
（ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S= (CD+PN)·AD= [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分
当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分
而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5
综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5，
当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分
当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分
说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,
不扣分）
29、(2010 年广东省佛山市)24、新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，
“字母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓广等方式产生的知识，
大多数知识是这样一类。
（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？
（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）
（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的？（用
（a+b）(c+d)来说明）
【解答】
24.（1）第二类知识，
（2）单项式乘以单项式，分配律，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等
（3） ，
30、（2010 年广东省佛山市）25、一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。将数学对象分为
不同种类的数学思想叫“分类”的思想。将事物分类，然后对划分的每一类
进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和
分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在 中， >
（1）若 是锐角,请探索在直线 AB 上有多少个点 D，能保证 ∽
（不包括全等）
（2）请对 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线 AB 上能保证
∽ （不包括全等）的点 D 的个数。
2
1
2
1
2
1
2
1
( )( )a b c d ac ad bc bd+ + = + + +
ABC∆ ACB∠ ABC∠
BAC∠ ACD∆
ABC∆
BAC∠ ACD∆
ABC∆
A
B
C
【解答】
25. （1）若点 D 在线段 AB 上，存在点 D，满足要求。
若点 D 在线段 AB 的延长线上，则不存在点 D，满足要求。
若点 D 在线段 AB 的反向延长线上，则不存在点 D，满足要求。
综上所述，这样的点 D 只有一个。
（2）若∠BAC 为锐角，由（1）知，这样的点 D 只有一个。
若∠BAC 为直角，这样的点 D 有两个，
若∠BAC 为钝角，这样的点 D 只有一个。
31、（2010 年广东省广州市）24．（14 分）如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上
一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是 上任一点（与端点 A、B 不重
合），DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A、B
作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C．
（1）求弦 AB 的长；
（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理
由；
（3）记△ABC 的面积为 S，若 ＝4 ，求△ABC 的周长.
【分析】（1）连接 OA，OP 与 AB 的交点为 F，则△OAF 为直角三角形，且 OA＝1，OF＝ ，借助勾
股定理可求得 AF 的长；
（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内
切圆，所以 AD 和 BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA 是定值，那么 CAB＋∠
ABC 就是定值，而∠DAE＋∠DBA 等于弧 AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半；
（ 3 ） 由 题 可 知 ＝ DE (AB ＋ AC ＋ BC) ， 又 因 为 ， 所 以
，所以 AB＋AC＋BC＝ ，由于 DH＝DG＝DE，所以在 Rt△CDH 中，
CH＝ DH＝ DE，同理可得 CG＝ DE，又由于 AG＝AE，BE＝BH，所以 AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋
AG＋AB＋BH＝ DE＋ ，可得 ＝ DE＋ ，解得：DE＝ ，代入 AB＋AC＋BC＝
APB
2
S
DE 3
1
2
F
C
P D
O
BA E
H
G
ABD ACD BCDS S S S∆ ∆ ∆= + + 1
2 2 4 3S
DE
=
2
1 ( )2 4 3
DE AB AC BC
DE
+ +
= 8 3DE
3 3 3
2 3 2 3 8 3DE 2 3 2 3 1
3
C
P D
O
BA E
，即可求得周长为 ．
【解答】解：（1）连接 OA，取 OP 与 AB 的交点为 F，则有 OA＝1．
∵弦 AB 垂直平分线段 OP，∴OF＝ OP＝ ，AF＝BF．
在 Rt△OAF 中，∵AF＝ ＝ ＝ ，∴AB＝2AF＝ ．
（2）∠ACB 是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点 D 为△ABC 的内心，所以，连结 AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝ ∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC 的周长为 l，取 AC，BC 与⊙D 的切点分别为 G，H，连接 DG，DC，DH，则有 DG＝DH
＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝ AB•DE＋ BC•DH＋ AC•DG＝ (AB＋BC＋AC) •DE＝ l•DE．
∵ ＝4 ，∴ ＝4 ，∴l＝8 DE.
∵CG，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD＝ ∠ACB＝30°，
∴在 Rt△CGD 中，CG＝ ＝ ＝ DE，∴CH＝CG＝ DE．
又由切线长定理可知 AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2 ＋2 DE＝8 DE，解得 DE＝ ，
∴△ABC 的周长为 ．
【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需
要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
8 3DE 8 3
3
F
C
P D
O
BA E
H
G
1
2
1
2
2 2OA OF− 2 211 ( )2
− 3
2 3
1
2
ABD ACD BCDS S S S∆ ∆ ∆= + +
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
S
DE 3 2
1
2 l DE
DE
3 3
1
2
tan30
DG
3
3
DE 3 3
3 3 3 1
3
8 3
3
32、（2010 年广东省广州市）25．（14 分）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，
0），（0，1），点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 ＝－ ＋ 交折线
OAB 于点 E．
（1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与 的函数关系式；
（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，试探究
OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改
变，请说明理由.
【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点 E 在 OA 边上，只需求出这个三
角形的底边 OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点 E 在 AB 边上，
这时△ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积
是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化．
【解答】（1）由题意得 B（3，1）．
若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝
若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝
若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1
①若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ ，如图 25-a，
此时 E（2b，0）∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b
②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 ＜b＜ ，如图 2
此时 E（3， ），D（2b－2，1）
∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝
y 1
2 x b
b
C D B
AEO x
y
3
2
5
2
3
2
1
2
1
2
3
2
5
2
3
2b −
1
2
1
2
5
2 b− 1
2
3
2b − 25
2 b b−
图 1
D
E x
y
C B
A
O
D
E
x
y
C B
AO
图 2
∴
（2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，
则矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形
DNEM 的面积。
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形
根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形
DNEM 为菱形．
过点 D 作 DH⊥OA，垂足为 H，
由题易知，tan∠DEN＝ ，DH＝1，∴HE＝2，
设菱形 DNEM 的边长为 a，
则在 Rt△DHM 中，由勾股定理知： ，∴
∴S 四边形 DNEM＝NE·DH＝
∴矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ．
【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个
面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，
具有明显的区分度．
33、（2010 年广东省河源市）21．本题满分 9 分．
如图 9， 中，点 P 是边 上的一个动点，过 P 作直线 MN
∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点
F．
（1）求证:PE=PF；
（2）当点 P 在边 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说
明理由；
（3）若在 AC 边上存在点 P,使四边形 AECF 是正方形,且
.求此时∠A 的大小.
【解答】
21、⑴，证明：∵CE 平分∠BCA ,
∴∠BCE=∠PCE
又 MN∥BC，
∴∠BCE=∠PEC
2
31 2
5 3 5
2 2 2
b b
S
b b b
< ≤=
− < <
1
2
2 2 2(2 ) 1a a= − + 5
4a =
5
4
5
4
ABC△ AC
AC
2
3=
BC
AP
图 3
H N
M
C1
A1
B1
O1
D
E x
y
C
B
A
O
∴∠PCE=∠PEC
∴PE=PC┄┄2′
同理 PF=PC
∴PE=PF┄┄3′
⑵不能。┄┄4′，理由是：
∵由⑴可知，PE＝PF＝PC，
又 PC+PF>CF,
∴PE+PF>CF
即 EF>CF┄┄5′
又菱形的四条边都相等，
所以四边形 BCFE 不可能是菱形。┄┄6′
⑶若四边形 AECF 是正方形。则 AP=CP, ∠ACE=
∵∠BCE=∠PCE
∴∠BCA= ┄┄7′
又∵
∴ 即 tan∠B＝ ┄┄8′
∴∠B＝60°∴∠A=90°-∠B=30°┄┄9′
34、（2010 年广东省河源市）22．本题满分 9 分．
如图 10，直角梯形 OABC 中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC
为直径的圆交 轴于 E，D 两点（D 点在 E 点右方）.
（1）求点 E,D 的坐标;
（2）求过 B,C,D 三点的抛物线的函数关系式；
(3)过 B,C,D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使△BDQ 是以 BD 为
直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐
标.
【解答】
22、解：⑴,在 BC 上取中点 G,并过 G 作 GH⊥x 轴于 H ,连接 GD,
∵ ,
∴G ∴H(2,0) ┄┄1′
∵BC= ,GH=2-0=2
又 DG=BG=
090
0
0
452
90
2
==∠ECF
2
3=
BC
AP
3=
BC
AC 3
x
22
40 =+
22
13 =+
( )2,2
( ) 52134 22 =−+
52
=BC
图 10
∴HD=
∴D(3,0),E(1,0) ┄┄2′
⑵设过 B、C、D 三点的抛物线表达式为 则，
┄┄3′
解得， ┄┄4′
∴ ┄┄5′
⑶设 Q ，由（2）可得 Q 。过 Q 作 QN⊥X 轴于 N
分 2 种情况：
①当∠BDQ=90 时，∴∠NDQ+∠BDA=90°
∵∠DNQ=∠BAD=90 ∴∠NDQ+∠NQD=90°∴∠NQD=∠BDA
∴△NDQ∽△ABD ∴ ┄┄6′
即 解得 ，
当 ，当 ，
∴ , (与点 D 重合，舍去) ┄┄7′
② 当∠DBQ=90 时，则有 ,
∵B(4,1),D(3,0),Q ，
∴BD =
( ) 125 22 =−
cbxaxy ++= 2
=++
=
=++
1416
3
039
cba
c
cba
=
−=
=
3
2
5
2
1
c
b
a
32
5
2
1 2 +−= xxy
( )yx,
+− 32
5
2
1, 2 xxx
0
AB
ND
AD
NQ =
1
3
1
32
5
2
1 2
xxx −=
+−
3,0 21 == xx
30 11 == yx 时， 32 =x 02 =y
( )3,01Q ( )0,32Q
0 222 BQBDDQ =+
+− 32
5
2
1, 2 xxx
2 ( ) ( ) 20134 222 =−+−=BD
( ) 2
222 132
5
2
14
−+−+−= xxxBQ
( ) 2
222 32
5
2
13
+−+−= xxxDQ
∴ +2＝
整理得， ，解得 ， ┄┄8′
∴当 时， ＝1,（此时，Q 点与 B 点重合，舍去）当 时，
∴ (与点 B 重合，舍去)，
综上所述符合条件的点有 2 个，分别是 ， 。┄┄9′
35（2010 年广东省深圳市）22．（本题 9 分）如图 9，抛物线 y＝ax2＋c
（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其
中 A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3 分）
（2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为
最小时，求此时点 M 的坐标；（2 分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 S△PAD＝4S△ABM 成
立，求点 P 的坐标．（4 分）
【解答】
22、（1）、因为点 A、B 均在抛物线上，故点 A、B 的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得： ；故 为所求
（2）如图 2，连接 BD，交 y 轴于点 M，则点 M 就是所求作的点
设 BD 的解析式为 ，则有 ， ，
故 BD 的解析式为 ；令 则 ，故
(3)、如图 3，连接 AM，BC 交 y 轴于点 N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
易知 BN=MN=1，易求
；设 ，
依题意有： ，即：
解之得： ， ，故 符合条件的 P 点有三个：
4 0
3
a c
a c
+ =
+ = −
1
4
a
c
=
= −
2 4y x= −
y kx b= + 2 0
3
k b
k b
+ =
− + = −
1
2
k
b
=
= −
2y x= − 0,x = 2y = − (0, 2)M −
90AMB∠ = °
2 2, 2AM BM= =
1 2 2 2 22ABMS = × × =
2( , 4)P x x −
21 4 4 22 AD x − = ×
21 4 4 4 22 x× − = ×
2 2x = ± 0x =
1 2 3(2 2,4), ( 2 2,4), (0, 4)P P P− −
( ) 2
22 32
5
2
13
+−+− xxx ( ) 2
22 132
5
2
14
−+−+− xxx
0452 =−− xx 43 =x 14 −=x
43 =x 3y 14 −=x 6=y
( )1,43Q ( )6,14 −Q
( )3,01Q ( )6,12 −Q
x
y
N
M
O
P2 P1
B
DA
P3
C
图 3
x
y
M
CB
DA
O
图 2
36、（2010 年广东省深圳市）23．（本题 9 分）如图 10，以点 M（－1,0）为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交
于点 A、B、C、D，直线 y＝－
3
3 x－
5 3
3 与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F．
（1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；（3 分）
（2）如图 11，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP:PH＝3:2，求 cos∠QHC 的值；（3 分）
（3）如图 12，点 K 为线段 EC 上一动点（不与 E、C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT 交 x 轴于
点 N．是否存在一个常数 a，始终满足 MN·MK＝a，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在，
请说明理由．（3 分）
【解答】
23、（1）、如图 4，OE=5， ，CH=2
（2）、如图 5，连接 QC、QD，则 ，
易知 ，故 ，
， ，由于 ，
；
（3）、如图 6，连接 AK，AM，延长 AM，
与圆交于点 G，连接 TG，则
，
由于 ，故， ；
而 ，故
在 和 中， ；
故 ；
;
即：
故存在常数 ，始终满足
常数
2r =
90CQD∠ = ° QHC QDC∠ = ∠
CHP DQP∆ ∆
DP DQ
PH CH
=
3
2 2
DQ= 3DQ = 4CD =
3cos cos 4
QDQHC QDC CD
∴ ∠ = ∠ = =
90GTA∠ = °
2 4 90∴∠ + ∠ = °
3 4∠ = ∠ 2 3 90°∴∠ + ∠ =
3 90BKO∠ + ∠ = ° 2BKO∠ = ∠
1BKO∠ = ∠ 1 2∠ = ∠
AMK∆ NMA∆ 1 2∠ = ∠ AMK NMA∠ = ∠
AMK NMA∆
MN AM
AM MK
=
2 4MN MK AM= =
a MN MK a=
4a =
xD
A
B
H
CE M O
F
图 10
x
y
D
A
B
H
CE M O
图 11
P
Q
x
y
D
A
B
H
CE M O
F
图 12
NK
y
图 5
x
y
P
D
A
B
H
C
E
M
O
Q
F
4 3
2
1 x
y
NT
D
A
B
H
CE
M O
K
G
F
图 6
1
x
y
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图 4
AB O
C
P E
F
37、（2010 年广东省肇庆市）24．(10 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，且 AC＝AB，CO 交
⊙O 于点 P，CO 的延长线交⊙O 于点 F，BP 的延长线交 AC 于点 E，连接 AP、AF．
求证：(1)AF∥BE；(2)△ACP∽△FCA；(3)CP＝AE．
【解答】
24．(本小题满分 10 分)
(1)∵∠B、∠F 同对劣弧 AP ，∴ ∠B ＝∠F (1 分)
∵BO＝PO，∴∠B ＝∠B PO (2 分)
∴∠F＝∠B P F，∴AF∥BE (3 分)
(2)∵AC 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠BAC＝90°
∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠B PA＝90° (4 分)
∴∠EA P ＝90°—∠BE A，∠B＝90°—∠BE A，
∴∠EA P ＝∠B＝∠F (5 分)
又∠C＝∠C，∴△ACP∽△FCA (6 分)
(3)∵ ∠C PE＝ ∠B PO＝∠B＝∠EA P， ∠C＝∠C
∴△P C E ∽△ACP ∴ (7 分)
∵∠EA P＝∠B，∠E P A ＝∠A P B ＝90°
∴△EA P ∽△A B P ∴ (8 分)
又 AC＝AB，∴ (9 分)
于是有 ∴CP＝AE． (10 分)
38、(2010 年广东省肇庆市)25．(10 分)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c＋1 的图象过点 P(2，1)．
(1)求证：c＝―2b―4；
(2)求 bc 的最大值；
(3)若二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1，0)、B(x2，0)，△ABP 的面积是
3
4，求 b 的值．
【解答】
25．(本小题满分 10 分)
(1)证明：将点 P(2，1)代入 得： (1 分)
整理得： (2 分)
(2)解：∵ ∴ ＝ (4 分)
∵—2<0 ∴当 ＝ —1 时， 有最大值 2； (5 分)
AP
AC
PE
PC =
AP
AB
PE
AE =
AP
AC
PE
AE =
PE
AE
PE
PC =
12 +++= cbxxy 1221 2 +++= cb
42 −−= bc
42 −−= bc bc 2)1(2)42( 2 ++−=−− bbb
b bc
· AB O
C
P E
F
图 7
(3)解：由题意得： ，
∴ ＝︱ — ︱＝ ，即︱ — ︱ ＝ (6 分)
亦即 (7 分)
由根与系数关系得： ， (8 分)
代入 得： ，
整理得： (9 分)
解得： ，经检验均合题意． (10 分)
39、（2010 年广东省中山市）22．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，
DF=2。动点 M、N 分别
从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），
当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动。连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，
可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的
时间为 x 秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）。试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角形？
当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？
（3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值。
【解答】
22、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF
同理可得：∠PQW =∠NFM 或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP
（2）当 时，△PQW 为直角三角形；
当 0≤ x< ，
MN 成立的 x 的取值范围。
【解答】
解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°
在△ABE 中，AB＝6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B( ，6) D(0,2)
设 BD 所在直线的函数解析式是 y=kx+b
∴
5
5
2
1
5
5=
PA
AE
5
cbxaxy ++= 2
3430cos
=°
AB
34
2
634
=
=+
b
bk
2
3
3
=
=
b
k
所以 BD 所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
又∵FG⊥OA
∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=
又 H 为 FG 中点
∴H（ ， ） …………4 分
∵B( ，6) 、 D(0,2)、 H（ ， ）在抛物线 图象上
∴
∴抛物线的解析式是
(2)∵MP=
MN=6-
H=MP-MN=
由 得
该函数简图如图所示：
当 00，即 HP>MN
42、（2010 年广西桂林市）25．（本题满分 10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外
接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F，
FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的平分线 BD 交 AF 于 D，连结
BF．
（1）证明：AF 平分∠BAC；
23
3 += xy
32
3 3
3 2
3
34 3 2
3 cbxaxy ++= 2
2
333
2
63448
=++
=
=++
cba
c
cba
2
3
3
6
1
=
−=
=
c
b
a
23
3
6
1 2 +−= xxy
xxxxx 3
32
6
1)23
3
6
1()23
3( 22 +−=+−−+
xx 3
34)23
3( −=+
436
1)3
34()3
32
6
1( 22 −+−=−−+− xxxxx
0436
1 2 =−+− xx 34,32 21 == xx
32
32
32 34
A
B C
D
E
F
O
H
（2）证明：BF＝FD；
（3）若 EF＝4，DE＝3，求 AD 的长．[来源:Zxxk.Com]
【解答】
25．(本题 10 分)证明（1）连结 OF
∵FH 是⊙O 的切线，∴OF⊥FH ……………1 分
∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分 BC ………2 分
∴ ∴AF 平分∠BAC …………3 分
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4 分
∴∠1+∠4=∠2+∠3，∴∠1+∠4 =∠5+∠3 ……………5 分
∠FDB=∠FBD，∴BF=FD ………………6 分
（3）解： 在△BFE 和△AFB 中
∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F
∴△BFE∽△AFB ………………7 分
∴ ， ……………8 分
∴ ，∴ ……………………9 分
∴ ，∴AD= = …………………10 分
43、（2010 年广西桂林市）26．（本题满分 12 分）如图，过 A（8，0）、B（0， ）两点的直线与直线
交于点 C．平行于 轴的直线 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 轴向右平移，
到 C 点时停止； 分别交线段 BC、OC 于点 D、E，以 DE 为边向左侧作等边△ DEF，设△DEF 与△BCO
重叠部分的面积为 S（平方单位），直线 的运动时间为 t（秒）．
（1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围；
（2）求 S 与 t 的函数关系式；
（3）设直线 与 轴交于点 P，是否存在这样的点 P，使得以 P、O、F 为顶点的三角形为等腰三角形，
若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
BF FC=
BF AF
FE BF
=
2BF FE FA= ⋅
2BFFA FE
=
27 49
4 4FA = = 49 74
− 21
4
8 3
xy 3= y l x
l
l
l x
A
8
C
O
B
备用图1
8 3
x
y
3y x=
A
8P
C
E
O
D
F
B
l
3y x=
x
y
8 3
A
B C
D
E
F
O
1 2
34
5
H
A
B C
D
E
F
O
1 2
H
【解答】
26．(本题 12 分)解（1）C（4， ） ……………………………2 分
的取值范围是：0≤ ≤4 ……………………………… 3 分
（2）∵D 点的坐标是（ ， ），E 的坐标是（ ， ）
∴DE= - = ……………………4 分
∴等边△DEF 的 DE 边上的高为：
∴当点 F 在 BO 边上时： = ，∴ =3 ……………………5 分
① 当 0≤ <3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为： - …7 分
S=
=
= …… …………………………8 分
② 当 3≤ ≤4 时，重叠部分为等边三角形
S= ………………… 9 分
= ……………………10 分
（3）存在，P（ ，0） ……………………12 分
说 明：∵FO≥ ，FP≥ ，OP≤4
∴以 P，O，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO，FP,
若 FO=FP 时， =2（12-3 ）， = ，∴P（ ，0）
44、（2010 年广西柳州市）25．（本题满分 10 分）
如图 12， 为 直径，且弦 于 ，过点
的
切线与 的延长线交于点 ．
（1）若 是 的中点，连接 并延长 交 于
．求证： ．
（2）若 ，求 的半径．
4 3
t t
t 3 8 3t− + t 3t
3 8 3t− + 3t 8 3 2 3t−
12 3t−
12 3t− t t
t 8 3 2 3t− 2 3
3 t
2 3(8 3 2 3 8 3 2 3 )2 3
t t t t− + − −
14(16 3 3 )2 3
t t−
27 3 8 33 t t− +
t
1 (8 3 2 3 )(12 3 )2 t t− −
23 3 24 3 48 3t t− +
24
7
4 3 4 3
t t t 24
7
24
7
AB O⊙ CD AB⊥ E B
AD F
M AD ME ME BC
N MN BC⊥
4cos 35C DF∠ = =， O⊙
A
8P
C
E
O
D
F
B
l
3y x=
x
y
8 3
图 12
【解答】
25．本题满分 10 分
（1）（方法一）
连接 ．
为 的直径，且 于 ，
由垂径定理得：点 是 的中点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
又 是 的中点
是 的中位线 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
为 直径， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（方法二）
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
是 的中点， ，即有 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又 ，由 与 同对 知
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
又
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（方法三）
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
由于 是 的中点， ，即有
又 与 同对 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
又
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
即有 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）连接
与 同对 ，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
为 的切线，
在 中，
设 ，则 ，由勾股定理得：
AC
AB O⊙ AB CD⊥ E
E CD
M AD
ME∴ DAC△
MN AC∴ ∥
AB O⊙ 90ACB∴∠ = °
90MNB∴∠ = ° MN BC⊥
AB CD⊥ 90AED BEC∴∠ = ∠ = °
M AD ME AM∴ = MEA A∠ = ∠
MEA BEN∠ = ∠ A∠ C∠ BD C A∠ = ∠
C BEN∴∠ = ∠
90C CBE∠ + ∠ = °
90CBE BEN∴∠ + ∠ = °
90BNE∴∠ = ° MN BC⊥
AB CD⊥ 90AED∴∠ = °
M AD ME MD∴ = MED EDM∠ = ∠
CBE∠ EDA∠ AC CBE EDA∴∠ = ∠
MED NEC∠ = ∠
NEC CBE∴∠ = ∠
90C CBE∠ + ∠ = °
90NEC C∴∠ + ∠ = °
90CNE∠ = ° MN BC∴ ⊥
BD
BCD∠ BAF∠ BD C A∴∠ = ∠
4cos cos 5A C∴ ∠ = ∠ =
BF O⊙ 90ABF∴∠ = °
Rt ABF△ 4cos 5
ABA AF
∠ = =
4AB x= 5AF x= 3BF x=
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
又 为 直径，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
即
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
直径
则 的半径为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
（说明：其他解法参照此法给分）
45、（2010 年广西柳州市）26．（本题满分 12 分）
如图 13，过点 作 轴、 轴的垂线，分别交 轴、 轴于 A、
B 两点，交双曲线 于 两点．
（1）点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；（均用含 的
式子表示）
（2）判断 与 的位置关系，并证明你的结论；
（3）记 ， 是否有最小值？若有，求出其最小值；
若没有，请说明理由．
【解答】
26．本题满分 12 分．
解：（1） ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
（说明：只写对一个点的坐标给 2 分，写对两个点的坐标给 3 分）
（2）（证法一）结论： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
证明： ， ，
即得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
AB O⊙ BD AD∴ ⊥
ABF BDF∴△ ∽△
BF DF
AF BF
∴ =
3 3
5 3
x
x x
=
5
3x =
∴ 5 204 4 3 3AB x= = × =
O⊙ 10
3
( 4 3)P − ， x y x y
( 2)ky kx
= ≥ E F、
E F k
EF AB
PEF OEFS S S= −△ △ S
4 4
kE − − ， 33
kF
，
EF AB∥
( 4 3)P − ， 4 4
kE ∴ − − ， 33
kF
，
3 44 3
k kPE PF= + = +，
3 12 4 12
12 123 44 3
PA PB
k kPE k PF k
= = = =+ ++ + ，
APB EPF∠ = ∠
PAB PEF∴△ ∽△
PAB PEF∴∠ = ∠
图 13
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（证法二）结论： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
证明： ， ，
即得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
在 中，
在 中，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（3）（方法一）
有最小值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
=
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
由（2）知，
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
又 ，此时 的值随 值增大而增大，
当 时，
的最小值是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
（方法二）
有最小值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
分别过点 作 的平行线，交点为
由（2）知，
四边形 为矩形
EF AB∴ ∥
EF AB∥
( 4 3)P − ， 4 4
kE ∴ − − ， 33
kF
，
3 44 3
k kPE PF= + = +，
Rt PAB△ 4tan 3
PBPAB PA
∠ = =
Rt PEF△
4 43tan 33 4
k
PFPEF kPE
+
∠ = = =
+
tan tanPAB PEF∴ ∠ = ∠
PAB PEF∴∠ = ∠
EF AB∴ ∥
S
EAO FBOPAOBPEOFS S S= + △ △矩形四边形 +S
12 k+
12EOF PEF PEFPEOFS S S S k∴ = − = − +△ △ △四边形
1 1 3 42 2 4 3PEF
k kS PE PF = = + + △ · ·
2 12PEF OEF PEFS S S S k∴ = − − −△ △ △=
2
21 ( 6) 312 12
k k k= + = + −
2k ≥ S k
∴ 2k = 7
3S =最小
S∴ 7
3
S
E F、 PF PE、 P′
3 4
k kP ′ − ，
PEP F′
P EF PEFS S′∴ =△ △
=
= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
= ………10 分
=
= ………11 分
又 ，此时 的值随 值增大而增大，
当 时，
的最小值是 ．………12 分
（说明：其他解法参照此法给分）
46、（2010 年广西南宁市）七、（本大题满分 10 分）
25．如图 11-①， 为 的直径， 与 相切于点 与 相切于点 ，点 为 延
长线上一点，且
（1）求证： 为 的切线；
（2）连接 ， 的延长线与 的延长线交于点（如图 11-②所示）.若 ，求线段
和 的长.
【解答】
七、（本大题满分 10 分）
25．（1）连接 ………………（1 分）
PEF OEFS S S∴ = −△ △
P EF OEFS S′ −△ △
OME ONFOMP NS S S′+ +△ △矩形
2
2 12 2
k k k+ +
2
12
k k+
21 ( 6) 312 k + −
2k ≥ S k
∴ 2k = 7
3S =最小
S∴ 7
3
AB ⊙ O AD ⊙ O A DE， ⊙ O E C DE
.CE CB=
BC ⊙ O
AE AE BC 2 5 2AB AD= =，
BC EG
OE OC，
CB CE OB OE OC OC= = = ， ， ，
( )OBC OEC SSS∴△ ≌△ ，
B
图 11-②
G
O
A D
E
C
图 11-①
B
O
A D
E
C
B
O
A D
E
C
………………………（2 分）
又 与 相切于点 ，
…………………………（3 分）
为 的切线.…………………………（4 分）
（2）过点 作 于点 ，
分别切 于点
………………………………（5 分）
设 为 ，则 .
在 中，
解得： ……………………………（6 分）
………………………………………………………………（7 分）
……………………………………………（8 分）
解法一：连接
…………………………………………………………………………（9 分）
在 中， …………………（10 分）
解法二：
…………………………………………………………………（9 分）
解得： …………………………………………………………………（10 分）
OBC OEC∴∠ = ∠ ．
DE O⊙ E
90OEC∴∠ = °．
90OBC∴∠ = °．
BC∴ O⊙
D DF BC⊥ F
AD DC BG ， ， O⊙ A E B， ， ，
DA DE CE CB∴ = =， ．
BC x 2 2CF x DC x= − = +，
Rt DFC△ ( ) ( ) ( )22 22 2 2 5x x+ − − = ，
5
2x = ．
AD BG ∥ ， DAE EGC∴∠ = ∠ ．
DA DE= ， DAE AED∴∠ = ∠ .
AED CEG∠ = ∠ ， EGC CEG∴∠ = ∠ ，
5
2CG CE CB∴ = = = ，
5BG∴ = ．
( )2 22 5 5 45 3 5AG∴ = + = = ．
BE， 1
2ABG∆ =S AB BG AG BE= 1· · ，
2
2 5 5 3 5BE∴ × = ，
10
3BE∴ = ．
Rt BEG△
2
2 2 2 10 55 53 3EG BG BE = − = − = ．
DAE EGC AED CEG∠ = ∠ ∠ = ∠ ， ，
ADE GCE∴△ ∽△ ，
3 5AD AE EG
CG EG EG
−∴ = =2， ，
2. 5
5 5
3EG = ．
B G
O
A D
E
CF
47、(2010 年广西南宁市)八、（本大题满分 10 分）
26．如图 12，把抛物线 （虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到抛
物线 ，抛物线 与抛物线 关于 轴对称.点 、 、 分别是抛物线 、 与 轴的交点， 、 分
别是抛物线 、 的顶点，线段 交 轴于点 .
（1）分别写出抛物线 与 的解析式；
（2）设 是抛物线 上与 、 两点不重合的任意一点，
点是 点关于 轴的对称点，试判断以 、 、 、
为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.
（ 3 ） 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 ， 使 得
，如果存在，求出 点的坐标，如果不
存在，请说明理由.
【解答】
八、（本大题满分 10 分）
26．解：（1） （或 ）；………………………………（1 分）
（或 ）；………………………………（2 分）（2）以 、
、 、 为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.………………………（3 分）
理由： 点 与点 ，点 与点 关于 轴对称，
轴.
①当 点是 的对称轴与 的交点时，点 、 的坐标分别为（ 1， 3）和（1， 3），而点 、
的 坐 标 分 别 为 （ ） 和 （ 1 ， 1 ）， 所 以 四 边 形 是 矩
形.………………………………………………………………………………………（4 分）
②当 点不是 的对称轴与 的交点时，根据轴对称性质，
有： （或 ），但 .
四边形 （或四边形 ）是等腰梯形.…………………………………（5 分）
（3）存在.设满足条件的 点坐标为 ，连接 依题意得：
2y x= −
1l 2l 1l y A O B 1l 2l x D C
1l 2l CD y E
1l 2l
P 1l D O
Q P y P Q C D
1l M
ABM AOEDS S∆ ∆= 四边形 M
( )2
1 : 1 1l y x= − − + 2 2y x x= − +
( )2
2 : 1 1l y x= − − + 2 2y x x= − − P
Q C D
C D P Q y
CD PQ x∴ ∥ ∥
P 2l l1 P Q − − − C D
1− ，1 CD PQ CP CD= ⊥， ， CPQD
P 2l 1l
CP DQ= CQ DP= CD PQ≠
∴ CPQD CQPD
M ( )x y， MA MB AD， ， ，
A
C DE
B
O
2l 1l
图 12
y
x
A B
DE
O
C
H
A B
DE
O
C
H
，
.……………………………………………………………（6 分）
①当 时，
…………………………………………………………………………………（7 分）
将 代入 的解析式，解得：
， ……………………………………………………………（8 分）
②当 时，
………………………………………………………………………………（9 分）
将 代入 的解析式，解得：
， ……………………………………（10 分）
48、（2010 年广西河池市）25.（本小题满分 10 分）如图 10， 为 的直径， 为弦，且 ，
垂足为 ．
（1）如果 的半径为 4， ，求 的度数；
（2）若点 为 的中点，连结 ， ．求证： 平分 ；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线 距离为 3 的点有多少个？并说明理由．
【解答】
25．解：（1）∵ AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB ∴ CH＝ CD＝2 ……（1 分）
在 Rt△COH 中，sin∠COH= =
∴ ∠COH=60° …………………………………（2 分）
∵ OA=OC ∴∠BAC= ∠COH=30° ………（3 分）
AB O CD CD AB⊥
H
O 4 3CD = BAC∠
E ADB OE CE CE OCD∠
AC
2
1 3
OC
CH
2
3
2
1
( ) ( ) ( )2 0A B E， ， - 2，0 ， 0，1
( )1 2 1 3
2 2AOEDS
+ ×= =梯形
0y > 1 342 2ABMS y∆ = × × = ，
3
4y∴ = ．
3
4y = 1l 1
3
2x = ， 2x 1= ．
2
1
3
2M ∴
3，
4 2
1
2M
3， ．
4
0y < ( )1 342 2ABMS y∆ = × × − = ，
3
4y∴ = − ．
3
4y = − 1l 71 2x = ± ．
3
2 7
2M
+∴
3，- 4 4
2 7
2M
−
3，- ．
4
图 10
（2）∵ 点 E 是 的中点 ∴OE⊥AB ……………（4 分）
∴ OE∥CD ∴ ∠ECD=∠OEC ………………（5 分）
又∵ ∠OEC=∠OCE
∴ ∠OCE=∠DCE …………………………………（6 分）
∴ CE 平分∠OCD …………………………………（6 分）
（3）圆周上到直线 的距离为 3 的点有 2 个. …………………（8 分）
因为劣弧 上的点到直线 的最大距离为 2， 上的点到直线 AC 的最大距离为 6，
，根据圆的轴对称性， 到直线 AC 距离为 3 的点有 2 个. ……………（10 分）
49 、（2010 年广西河池市）26. （本小题满分 12 分）如图 11 ，在
直角梯形 中， ∥ ， ，点 为坐标原
点，点 在 轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点 ，
， ．
（1）线段 的长为 ，点 的坐标为 ；
（2）求△ 的面积；
（3）求过 ， ， 三点的抛物线的解析式；
（4）若点 在（3）的抛物线的对称轴上，点 为该
抛物线上的点，且以 ， ， ， 四点为顶点的四边形
为平行四边形，求点 的坐标．
【解答】
26.解：（1）4 ； . …………………（2 分）
（2）在直角梯形 OABC 中，OA=AB=4，
∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ………（3 分）
又 ∵ OA=2BC
∴ AM＝2CM ，CM＝ AC ………………（4 分）
所以 ………（5 分）
（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）
（3）设抛物线的解析式为
由抛物线的图象经过点 , , .所以
ADB
AC
AC AC ADC
2 3 6< < ADC
OABC CB OA 90OAB∠ = O
A x OB AC M
4OA AB= = 2OA CB=
OB C
OCM
O A C
E F
A O F E
F
2 ( )2,4
90OAB∠ =
CB OA
3
1
1 1 1 84 43 3 2 3OCM OACS S∆ ∆= = × × × =
( )2 0y ax bx c a= + + ≠
( )0,0O ( )4,0A ( )2,4C
y
x
M
C B
O A
图 11
y
x
M
C B
O AD
……………………………（6 分）
解这个方程组，得 ， ， ………………（7 分）
所以抛物线的解析式为 ………………（8 分）
（4）∵ 抛物线 的对称轴是 CD，
① 当点 E 在 轴的下方时，CE 和 OA 互相平分则可知四边形 OEAC 为平行四边形，此时点 F 和点
C 重合，点 F 的坐标即为点 ； …（9 分）
② 当点 E 在 轴的下方，点 F 在对称轴 的右侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且
， 此 时 点 F 的 横 坐 标 为 6 ， 将 代 入 ， 可 得 . 所 以
. ………………………………………（11 分）
同理，点 F 在对称轴 的左侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ，此时点 F 的
横坐标为 ，将 代入 ，可得 .所以 .（12 分）
综上所述，点 F 的坐标为 ， . ………（12 分）
50、（2010 年贵州省毕节地区）27．（本题 16 分）某物流公司的快递车和货车每天往返于 A、B 两地，快
递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离 A 地的路程 （单位：千米）与所用时间 （单位：时）的
函数图象．已知货车比快递车早 1 小时出发，到达 B 地后用 2 小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结
果比快递车最后一次返回 A 地晚 1 小时．
(1) 请在下图中画出货车距离 A 地的路程 （千米）与所用时间 (时)的函数图象；(3 分)
(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3 分）
(3) 求两车最后一次相遇时，距离 A 地的路程和货车从 A 地出发了几小时．（10 分）
=++
=++
=
424
0416
0
cba
cba
c
1a = − 4b = 0c =
2 4y x x= − +
2 4y x x= − + 2x =
x
( )2,4C
x 2x = AOEF OA EF
OA EF= 6x = 2 4y x x= − + 12y = −
( )6, 12F −
2x = OAEF OA FE OA FE=
2− 2x = − 2 4y x x= − + 12y = − ( )2, 12F − −
( )2,4 ( )6, 12− ( ), 2, 12− −
y x
y x
P3
P2
P1
O
BA
【解答】
27． 解：（1）图象如图； 3 分
（2）4 次； 6 分
（3）如图，设直线 的解析式为 ，
∵图象过 ， ，
8 分
．① 10 分
设直线 的解析式为 ，∵图象过 ， ，
12 分
．② 14 分
解由①，②组成的方程组得
最后一次相遇时距离 地的路程为 100km，货车从 地出发 8 小时． 16 分
51、（2010 年贵州省贵阳市）24．（本题满分 12 分）
如图 11，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA＝2cm，∠AOB＝120 .
（1） 求 tan∠OAB 的值（4 分）
（2） 计算 S （4 分）
（3） ⊙O 上一动点 P 从 A 点出发，沿逆时针方向运动，
当 S ＝S 时，求 P 点所经过的弧长（不考虑点 P
与点 B 重合的情形）（4 分）
【解答】
24．解：（1） ………………………………………………………………4 分
（2） （cm ）………………………8 分
（3）如图，延长 BO 交⊙O 于点 ，
EF 1 1y k x b= +
(9 0)， (5 200)，
1 1
1 1
200 5
0 9 .
k b
k b
= +∴ = +
，
1
1
50
450.
k
b
= −∴ =
，
50 450y x∴ = − +
CD 2 2y k x b= + (8 0)， (6 200)，
2 2
2 2
200 6
0 8 .
k b
k b
= +∴ = +
，
2
2
100
800.
k
b
= −∴ =
，
100 800y x∴ = − +
7
100.
x
y
=
=
，
∴ A A
AOB∆
POA∆ AOB∆
3
3
3 2
1P
x (时)
y (千米)
1 2 43 5 6 7 8 9-1
50
100
150
200
O
F
G
CE
D
P O
BA
( 图
11)
（图 12）
AP1
AP2
ABP3
∵点 O 是直径 的中点
∴S ＝S ∠AOP ＝60
∴ 的长度为 （cm）………………………………………………10 分
作点 A 关于直径 的对称点 ，连结 , ．
易得 S ＝S ， ∠AOP ＝120
∴ 的长度为 （cm）………………………………………………11 分
过点 B 作 ∥ 交⊙O 于点
易得 ，
∴ 的长度为 （cm）………………………………………………12 分
52、（2010 年贵州省贵阳市）25. （本题满分 12 分）
如图 12，在直角坐标系中，已知点 的坐标为（1,0），将线段 绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45
，再将其延长到 ，使得 ，得到线段 ；又将线段 绕原点 O 沿逆时针方向旋
转 45 ，再将其延长到 ，使得 ，得到线段 ，如此下去，得到线段 ，
，…， ．
（1）写出点 M5 的坐标；（4 分）
（2）求 的周长；（4 分）
（3）我们规定：把点 （ 0,1,2,3…）
的横坐标 ，纵坐标 都取绝对值后得到的新坐标
称之为点 的“绝对坐标”．根据图中点
的分布规律，请你猜想点 的“绝对坐标”，并写出来．（4 分）
1BP
OAP1∆ AOB∆ 1
π
3
2
1BP 2P 2AP 2OP
OAP2∆ AOB∆ 2
π
3
4
3BP OA 3P
AOBOAP SS ∆∆ =
3
π
3
10
0M 0OM
1M 001 OMMM ⊥ 1OM 1OM
2M 112 OMMM ⊥ 2OM 3OM
4OM nOM
65OMM∆
)( nnn yxM ， =n
nx ny
( )nn yx , nM nM
nM
【解答】
25．（1）M5（―4，―4）………………………………………………………………4 分
（2）由规律可知， , ， ………………6 分
∴ 的周长是 ……………………………………………………8 分
（3）解法一：由题意知， 旋转 8 次之后回到 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点 分别落在坐标
象限的分角线上或 轴或 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点 的“绝对
坐标”可分三类情况：
令旋转次数为
① 当点 M 在 x 轴上时: M0（ ），M4（ ），M8（ ），M12（ ）,…，
即：点 的“绝对坐标”为（ ）。…………………………………………………9 分
② 当点 M 在 y 轴上时: M2 ，M6 ，M10 ，M14 ,……，
即：点 的“绝对坐标”为 。…………………………………………………10 分
③ 当点 M 在各象限的分角线上时：M1 ，M3 ，M5 ，M7
,……，即： 的“绝对坐标”为
。………………………………………………………………12 分
解法二：由题意知， 旋转 8 次之后回到 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点分别落在坐标象限的分
角线上或 轴或 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分
三种情况：
①当 时（其中 =0，1，2，3，…），点在 轴上，则 （ ）…………9 分
②当 时（其中 =1，2，3，…），点在 轴上，点 （ ）…………10 分
③当 =1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点 （ ）………12 分
53、（2010 年贵州省遵义市）26．（12 分）如图，在△ABC 中，∠C= ，AC+BC=8，点 O 是
245 =OM 2465 =MM 86 =OM
65OMM∆ 288 +
0OM x nM
x y nM
n
0,)2( 0 0,)2( 4 0,)2( 8 0,)2( 12
nM 0,)2( n
))2(,0( 2 ))2(,0( 6 ))2(,0( 10 ))2(,0( 14
nM ))2(,0( n
))2(,)2(( 00 ))2(,)2(( 22 ))2(,)2(( 44
))2(,)2(( 66
nM
))2(,)2(( 11 −− nn
0OM x
x y
kn 2= k x nM 2 0,2n
12 −= kn k y nM 2
n2,0
n 12 −nM 11 2,2 −− nn
90
斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的⊙O 分别与 AC、BC 相切于
点 D、E．
（1）当 AC＝2 时，求⊙O 的半径；
（2）设 AC＝ ，⊙O 的半径为 ，求 与 的函数关系式．
【解答】
26．（12 分）(1)(5 分) 解: 连接 OD、OE、OC
∵D、E 为切点
∴OD⊥AC， OE⊥BC， OD=OE
∵
∴ AC·BC= AC·OD+ BC·OE
∵AC+BC=8， AC=2，∴BC=6
∴ ×2×6= ×2×OD+ ×6×OE
而 OD=OE，
∴OD= ，即⊙O 的半径为
（2）（7 分）解：连接 OD、OE、OC
∵D、E 为切点
∴OD⊥AC， OE⊥BC， OD=OE=
∵
∴ AC·BC= AC·OD+ BC·OE
∵AC+BC=8， AC= ，∴BC=8-
∴ （8- ）= + （8- ）
化简：
即：
54、（2010 年贵州省遵义市）27．（14 分）如图，已知抛物线 的顶点坐
标为 Q ，且与 轴交于点 C ，与 轴交于 A、B 两
点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C
沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PD∥ 轴，
交 AC 于点 D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点 E 在 轴上，点 F 在抛物线上，
问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，
求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】
27．（14 分）解：（1）（3 分）
x y y x
BOCAOCABC SSS ∆∆∆ +=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
y
BOCAOCABC SSS ∆∆∆ +=
2
1
2
1
2
1
x x
2
1
x x 2
1
x y 2
1
x y
xyyxyxx −+=− 88 2
xxy +−= 2
8
1
)0(2 ≠++= acbxaxy
( )1,2 − y ( )3,0 x
y
x
（27 题图）
∵抛物线的顶点为 Q（2，-1）
∴设
将 C（0，3）代入上式，得
∴ ， 即
（2）（7 分）分两种情况：
①(3 分)当点 P1 为直角顶点时,点 P1 与点 B 重合(如图)
令 =0, 得
解之得 ,
∵点 A 在点 B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P1(1,0)
②(4 分)解:当点 A 为△APD2 的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2=
当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO 平分∠D2AP2
又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2 关于 轴对称.
设直线 AC 的函数关系式为
将 A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴
∴
∵D2 在 上, P2 在 上,
∴设 D2( , ), P2( , )
∴( )+( )=0
, ∴ , (舍)
∴当 =2 时,
= =-1
∴P2 的坐标为 P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P 点坐标为 P1(1,0), P2(2,-1)
(3)(4 分)解: 由题(2)知,当点 P 的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点 P 的坐标为 P2(2,-1)(即顶点 Q)时,
平移直线 AP(如图)交 轴于点 E,交抛物线于点 F.
当 AP=FE 时,四边形 PAFE 是平行四边形
∵P(2,-1), ∴可令 F( ,1)
∴
解之得: ,
∴F 点有两点,即 F1( ,1), F2( ,1)
( ) 12 2 −−= xay
( ) 1203 2 −−=a
1=a
( ) 12 2 −−= xy 342 +−= xxy
y 0342 =+− xx
11 =x 32 =x
90 45
90 45
y x
bkxy +=
=
+=
b
bk
3
30
=
−=
3
1
b
k
3+−= xy
3+−= xy 342 +−= xxy
x 3+− x x 342 +− xx
3+− x 342 +− xx
0652 =+− xx 21 =x 32 =x
x 342 +−= xxy
32422 +×−
x
x
1342 =+− xx
221 −=x 222 +=x
22 − 22 +
